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考向 36 圆锥曲线中的定点、定值问题
（2022·全国乙理T20文T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
1.求解定点问题常用的方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量
当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②
根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为
坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求
得；
(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
1．已知椭圆＋y2＝1，直线l过点M(1，0)且与椭圆C相交于A，B两点．过点A作直线x＝3的垂线，垂足
为D.则直线BD过x轴上的定点坐标为________．
【答案】(2，0)
【解析】(1)当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
不妨设A，B，D，
此时直线BD的方程为y＝(x－2)，所以直线BD过点(2，0)．
(2)当直线l的斜率存在时，设A(x，y)，B(x，y)，直线AB为y＝k(x－1)，D(3，y)，
1 1 2 2 1
由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
所以x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
直线BD：y－y＝(x－3)，只需证明直线BD过点(2，0)即可，
1
令y＝0，得x－3＝－，
所以x＝＝＝，
即证＝2，即证2(x＋x)－xx＝3，
2 1 1 2
可得2(x＋x)－xx＝－＝＝3，所以直线BD过点(2，0)，
2 1 1 2
综上所述，直线BD恒过x轴上的定点(2，0)．
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另
一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k，k，则k＋k 的值为________．
1 2 1 2
【答案】 0
【解析】设过F的直线x＝my＋1交抛物线于P(x，y)，A(x，y)，M(－1，0)，
1 1 2 2联立方程组得y2－4my－4＝0，
于是有
∴k＋k＝＋＝，
1 2
又yx＋yx＋y＋y＝·yy(y＋y)＋(y＋y)＝·(－4)·4m＋4m＝0，∴k＋k＝0.
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3.已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB＝8.P为直线x＝6上的
动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【答案】（1）＋y2＝1；（2）见解析
【解析】(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则AG＝(a,1)，GB＝(a，－1)．
由AG·GB＝8得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设C(x，y)，D(x，y)，P(6，t)．
1 1 2 2
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－30，即b2<1＋4k2.
∴x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
∵＋yy＝0，
1 2
∴＋(kx＋b)(kx＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0)．
1 2
∴S ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
△POQ综合①②知△POQ的面积S为定值1.
6.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，
M为AB的中点.
(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.
(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.
【答案】（1）2x－y－1＝0；（2）定值为2p
【解析】(1)由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)
即x＝ty＋1－t，设A(x，y)，B(x，y).
1 1 2 2
由得y2－4ty－4＋4t＝0，
∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)＞0，y＋y＝4t，
1 2
∴4t＝2，即t＝.
∴直线l的方程为2x－y－1＝0.
(2)证明 ∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)，∴焦点F的坐标为.
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，设A(x，y)，B(x，y).
1 1 2 2
由，得y2－2pty－p2＝0，
∴y＋y＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0.
1 2
∴x＋x＝t(y＋y)＋p＝2pt2＋p，∴M.
1 2 1 2
∴MN的方程为y－pt＝－t.
令y＝0，解得x＝pt2＋，N，
∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，
∴＝＝2p，为定值.
1．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭圆
相交于A，B两点， 与椭圆 相交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1) ；(2)证明见解析；定点 .
【解析】（1）根据题意直线 ， 的斜率均存在且不为0
直线 ， 分别为 ， ，
联立 得 ，
由 得 ，则 或 ，
同理 ，则 ，
所以k的取值范围为 ．
（2）
设 ， ，由（1）得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
同理 ，
则直线 的方程为 ，
化简整理得 ，因此直线 经过一个定点 ．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知抛物线C： 的焦点为 ，准线与
坐标轴的交点为 ， 、 是离心率为 的椭圆S的焦点.
(1)求椭圆S的标准方程；
(2)设过原点O的两条直线 和 ， ， 与椭圆S交于A、B两点， 与椭圆S交于M、N两点.求证：
原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）化抛物线C： 的方程为标准方程，即C： .得抛物线C的焦点 ，
设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得 ， ，得 .
∴ ，又椭圆S的焦点在y轴上.
∴椭圆S的标准方程为 .
（2）证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且 ，又由椭圆的对称性，知 ，
.
∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.
∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等
下面求原点O到直线AM的距离.
根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.
当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为 和
，且 轴或 轴.
设 ，则 或 .于是，有 ，得 .
原点O到直线AM的距离为 .
当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM： .
由 ，消去 并整理得 ，
且 .
设 ， ，则 ， ，
∴
.
由 ，得 ，即 ，
得 ，满足 .
∴原点O到直线AM的距离为 .
∴原点O到直线BN的距离也为 .
综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值 .
3．（2022·全国·模拟预测）设椭圆 的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的
动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点S，T满足 ， ，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）当M为椭圆的下顶点时， ，则 ．
设C的焦距为2c，则 ，即 ．
因为Q在C上，故 ，解得 ．
则椭圆C的标准方程为 ．
（2）设 ，直线PQ的斜率不为0，设其方程为 ，设 ．
联立直线PQ和C的方程，消x得 ．
， ，
由 得S为弦PQ的中点，故 ．
由 得S是线段FT的中点，故 ．
设T的坐标为 ，则 ， ，故
，即 ，这表明T在中心为原点， 为长轴端点， 为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点
的距离之和为定值．代入得两焦点坐标为 ．
综上所述，平面上存在两定点 ， ，使得T到这两定点距离之和为定值．
4．（2022·山东潍坊·二模）已知M，N为椭圆 和双曲线 的公共顶点，
， 分别为 和 的离心率．
(1)若 ．
（ⅰ）求 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 的直线l交 的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线 相交于 ， 两点，记
A，B， ， 的坐标分别为 ， ， ， ，求证： ；
(2)从 上的动点 引 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三角形
的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析(2)是定值，
【解析】（1）由题意得 ， ，
所以 ，又 ，解得 ，
（ⅰ）故双曲线 的渐近线方程为 ，（ⅱ）设直线AB的方程为 ，
则 消元得， ， ，
且 ，所以 ，故 ，
又直线 的方程为 ，
所以 ，同理 ，
所以
，
故 ；
（2）解：设两个切点 ， ，由题意知 ， 斜率存在，
直线 的方程为 ，
联立 由 得 ，所以 ，同理直线 方程为 ，
由 ， 过P点可得 可得直线 的方程为 ，
不妨设，直线 与双曲线两渐近线 交于两点 ， ，
则围成三角形的面积 ，
因P在双曲线 上， ，
则 为定值.
5．（2022·河北保定·二模）已知抛物线 .
(1)直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点.
从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.
①证明： .
②若 ，求 的值；
(2)已知点 ，直线 与 交于 、 两点（均异于点 ），且 .过 作直线 的垂线，垂
足为 ，试问是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)①证明见解析；② (2)存在，定值为 .
【解析】(1)解：选①：设点 、 ，
联立 可得 ，（*）
当 时，方程（*）即为 ，此时直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，所以， ， ，
则 ， ，
所以
.
因为 经过抛物线 的焦点，
所以 ，
故 .
选②：设点 、 ，
联立 可得 ，（*）
当 时，方程（*）即为 ，此时直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
所以， ， ，
则 ， ，
.
因为
，所以 ，解得 .
(2)
解：若直线 的斜率为零，则直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 得 ， ，
由韦达定理可得 ， .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以直线 的方程为 ，则直线 过定点 .
因为 ，所以当点 为 的中点时， 为定值，
故存在定点 ，使得 为定值.
6．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出
发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从
下焦点 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点 ，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角
形面积最大值为 ，已知椭圆的离心率e .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线 上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点 ，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不
能，请说明理由.
【答案】(1) (2)能，定点为（0， ）
（1）由已知可设椭圆方程为 ，
则 ， ，
又 所以 ，
故椭圆C的标准方程为
（2）设AB方程为 ，由 ，得 ，
设 ，则 ..
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，
由 得 ，则直线BM方程为 ，
令 ，则
又 ，
则 ，所以，直线BM过定点（0， ），同理直线AN也过定点 .
则点（0， ）即为所求点.
7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆 ： 与 轴的两个交点分别为 ， ，
点 为圆 上一动点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，直线 与 交于点 ，试问：是否存在
一个定点 ，当 变化时， 为等腰三角形
【答案】(1) (2)存在，证明见解析
【解析】（1）设点 在圆 上，
故有 ，设 ，又 ，可得 ， ，
即 ，
代入 可得 ，
化简得： ，故点 的轨迹方程为： .
（2）根据题意，可设直线 的方程为 ，
取 ，可得 ， ，
可得直线 的方程为 ，直线 的方程为
联立方程组，可得交点为 ；若 ， ，由对称性可知交点 ，
若点 在同一直线上，则直线只能为 ： 上，
以下证明：对任意的 ，直线 与直线 的交点 均在直线 ： 上.
由 ，整理得
设 ， ，则 ，
设 与 交于点 ，由 ，可得
设 与 交于点 ，由 ，可得 ，
因为
，
因为 ，即 与 重合，
所以当 变化时，点 均在直线 ： 上，
因为 ， ，所以要使 恒为等腰三角形，只需要 为线段 的垂直平分线即可，根据
对称性知，点 .
故存在定点 满足条件.
8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知F（－ ，0），F（ ，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）
1 2
在C上．
(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若 ＋ ，
＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）设双曲线C的方程为 ，
由题意知 ，
∴双曲线C的方程为
（2）设直线AB的方程为 ，A（ 、 ），B（ ， ），P（2，－1）
，
则 ， ，
∴直线PA方程为 ，
令 ，则 ，同理N（0， ），
由 ，可得
∴∴
∴
∴
∴
∴ ，
当 时， ，
此时直线AB方程为 恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴ ，直线AB方程为 恒过定点E（0，－3）
∵ ，∴ ，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴ 为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值 ．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.【解析】（1）由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
(2)［方法一］：通性通法
设点 ，
若直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
可得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
根据 ,代入整理可得：
，
所以 ，
整理化简得 ，
因为 不在直线 上，所以 ，
故 ，于是 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
由 得： ，
得 ，结合 可得： ，解得： 或 （舍）.
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 ，
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 ，
若 与 重合，则 ，故存在点 ，使得 为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为 ，设直
线 的方程为 ．将直线 方程与椭圆方程联立得 ，即
，化简得 ，即
．
设 ，因为 则 ，即 ．
代入直线 方程中得 ．则在新坐标系下直线 过定点 ，则在原坐标系下
直线 过定点 ．
又 ，D在以 为直径的圆上． 的中点 即为圆心Q．经检验，直线 垂直于x轴时也
成立．故存在 ，使得 ．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为 ，即 ．设直线 的方程为 ，直线 的
方程为 ，直线 的方程为 ．由题意得 ．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线 可表示为
（其中 为系数）．
用直线 及点A处的切线可表示为 （其中 为系数）．
即 ．
对比 项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去 并化简得 ，即 ．
故直线 的方程为 ，直线 过定点 ．又 ，D在以 为直径的圆上．
中点 即为圆心Q．
经检验，直线 垂直于x轴时也成立．故存在 ，使得 ．
［方法四］：设 ．
若直线 的斜率不存在，则 ．
因为 ，则 ，即 ．
由 ，解得 或 （舍）．
所以直线 的方程为 ．
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 ．
令 ，则 ．
又 ，令 ，则 ．
因为 ，所以 ，
即 或 ．
当 时，直线 的方程为 ．所以直线 恒过 ，不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，所以直线 恒过 ．
综上，直线 恒过 ，所以 ．
又因为 ，即 ，所以点D在以线段 为直径的圆上运动．
取线段 的中点为 ，则 ．
所以存在定点Q，使得 为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点 ，
再根据平面几何知识可知定点 即为 的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线 的方程为 ，再通过与椭圆方
程联立，构建齐次式，由韦达定理求出 的关系，从而可知直线过定点 ，从而可知定点 即为 的中点，该法是本题的最优解；
方法三：设直线 ，再利用过点 的曲线系，根据比较对应项系数可求出 的关系，
从而求出直线过定点 ，故可知定点 即为 的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解 以及
的计算．
2．（2019·全国·高考真题（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线
x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1） 或 ；（2）见解析.
【解析】（1） 在直线 上 设 ，则
又 ，解得：
过点 ， 圆心 必在直线 上
设 ，圆的半径为
与 相切
又 ，即
，解得： 或
当 时， ；当 时，
的半径为： 或
（2）存在定点 ，使得
说明如下：
， 关于原点对称且
直线 必为过原点 的直线，且①当直线 斜率存在时，设 方程为：
则 的圆心 必在直线 上
设 ， 的半径为
与 相切
又
，整理可得：
即 点轨迹方程为： ，准线方程为： ，焦点
，即抛物线上点到 的距离
当 与 重合，即 点坐标为 时，
②当直线 斜率不存在时，则直线 方程为：
在 轴上，设
，解得： ，即
若 ，则
综上所述，存在定点 ，使得 为定值.
3．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1) ;(2)
【解析】（1）设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
4．（2020·全国·高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的
上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【解析】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
， ，
椭圆方程为：
（2）[方法一]：设而求点法
证明：设 ，则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
当 时，
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
所以直线 过定点 ．
当 时，直线 ： ，直线过点 ．
故直线CD过定点 ．[方法二]【最优解】：数形结合
设 ，则直线 的方程为 ，即 ．
同理，可求直线 的方程为 ．
则经过直线 和直线 的方程可写为 ．
可化为 ．④
易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有 ，代入④式可
得 ．
故 ，可得 或 ．
其中 表示直线 ，则 表示直线 ．
令 ，得 ，即直线 恒过点 ．
5．（2019·北京·高考真题（文））已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直
线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为 ，所以 ；
因为椭圆经过点 ,所以 ，所以 ，故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设
联立 得 ，， ，
.
直线 ，令 得 ，即 ；
同理可得 .
因为 ,所以 ；
，解之得 ，所以直线方程为 ，所以直线 恒过定点 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
6．（2019·全国·高考真题（理））已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，
切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或 .
【解析】(1)证明：设 , ,则 ．
又因为 ，所以 .则切线DA的斜率为 ，
故 ，整理得 .设 ，同理得 .
, 都满足直线方程 .
于是直线 过点 ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线 方程为 .即
，
当 时等式恒成立．所以直线 恒过定点 .
（2）由（1）得直线 的方程为 .
由 ，可得 ，
于是
.
设 分别为点 到直线 的距离，则 .
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 ，
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 ，解得 或 .
当 时， ；当 时
因此，四边形 的面积为3或 .
7．（2017·全国·高考真题（理））已知椭圆C： （a>b>0），四点P（1,1），P（0,1），P（–
1 2 31， ），P（1， ）中恰有三点在椭圆C上.
4
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为–1，证明：l过
2 2 2
定点.
【答案】(1) .(2)证明见解析.
【解析】（1）由于 ， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过 ， 两点.
又由 知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此 ，解得 .
故C的方程为 .
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知 ，且 ，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t，
）.
则 ，得 ，不符合题设.
从而可设l： （ ）.将 代入 得
由题设可知 .设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2= ，x1x2= .
而 .
由题设 ，故 .
即 .
解得 .
当且仅当 时， ，欲使l： ，即 ，
所以l过定点（2， ）
8．（2018·北京·高考真题（理））已知抛物线C： =2px经过点 （1，2）．过点Q（0，1）的直线l与
抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点， ， ，求证： 为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析
【解析】（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由 得 ．
依题意 ，解得k<0或00，
所以 ，等号当且仅当 时取得.
此时 ，即 ，符号题意.
所以直线AB 的斜率的最小值为 .
10．（2016·北京·高考真题（文））已知椭圆 过点 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率；
（Ⅱ）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：
四边形 的面积为定值．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）由题意得， ．
所以椭圆 的方程 ．
又 ，所以离心率 ．
（Ⅱ）设 ，则 ．又 ， ，所以，直线 的方程为 ．
令 ，得 ，从而 ．
直线 的方程为 ．
令 ，得 ，从而
所以四边形 的面积
．
从而四边形 的面积为定值．
