文档内容
专题 15 圆锥曲线中的定点与定值问题
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】、【直线过定点的解题策略】
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊
情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方
程，从而得到定点.
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程
的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特
点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y
＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得
出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点
．
4.只要任意一个限定AP与BP条件（如 定值， 定值），直线AB依然会过定点
【考点2】、【定值问题的常见类型及解题策略】
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形
求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【 知识拓展 】1.设点 是椭圆C： 上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若
，则 时直线AB斜率为定值 ，若 ，则直线AB过定点
；
2. 设点 是双曲线C： 一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，
若 ，则 时直线AB斜率为定值 ，若 ，则直线AB过定点
；
3. 设点 是抛物线C： 一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若
，则 时直线AB斜率为定值 ，若 ，则直线AB过定点
；
三、解法解密
圆锥曲线的第三定义：
平面内的动点到两定点 的斜率乘积等于常数 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,
其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数 时，轨迹为双曲线，如果
时，轨迹为椭圆。
圆锥曲线的第三定义的有关结论：
1.椭圆方程中有关 的经典结论
(x ,y )
(1).AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 0 0 为AB的中点，则 .
(2).椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的
任一点，则有(3). 椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的
任一点，则有
(4). 椭圆的方程为 （a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于 两点，P点是椭圆上异于
两点的任一点，则有
2.双曲线方程中有关 的经典结论
(x ,y )
(1)AB是双曲线 的不平行于对称轴的弦，M 0 0 为AB的中点，则 ，
即 。
(2)双曲线的方程为 （a＞0，b＞0）， 为 双曲线 的实轴顶点 ，P点是双曲线上异于实
轴顶点的任一点，则有
(3)双曲线的方程为 （a＞0，b＞0）， 为 双曲线 的虚轴端点 ，P点是双曲线上异于虚
轴端点的任一点，则有
(4) 双曲线的方程为 （a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于 两点，P点是双曲线上
异于 两点的任一点，则有
四、考点解密
题型一:定点问题
例1、（2022·浙江台州·模拟预测）已知点 是双曲线 与椭圆 的公共点，
直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，设直线 与 的倾斜角分别为 ， ，且满足 .(1)求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
(2)记（1）中直线 恒过定点为 ，若直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）记 ， 的斜率为 ， ，由 可得 ，联立直线与双曲线，用坐
标表示 ，结合韦达定理可得 ，分析即可得解；
（2）用坐标表示 ，结合韦达定理以及 得到 的范围，求解即可.
【详解】（1）由已知得 ，
所以 ， ，
当 ， 斜率不存在时，则直线 ， 为 或 ，与题意不符；
当 ， 斜率存在时，记 ， 的斜率为 ，
所以根据 ，
可得 ，……………………（*）
设 ， ，直线 ，
由 联立可得 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 或 （此时直线 过 ，不符，舍去）
所以直线 恒过定点 ；
（2）由（1）知，可设直线 的方程： ，
设直线 与椭圆 的交点 ， 坐标分别为 ， ，
由 可得
，
所以 ，
因为
，
所以
又因为 可得 或 ，
又因为直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，由
联立可得 ，
又因为 可得 ，
所以 或 ，
所以结合（1）可得 的取值范围为 ，
所以 的取值范围为 .
【变式训练1-1】、（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线
过点
(1)求双曲线的方程；(2)已知点 ，斜率为 的直线 与双曲线交于 两点（不同于点 ），且 ，求证直
线 过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由题意 ，代入点 ，求解即可；
（2）设 ，联立直线和双曲线，用坐标表示 ，结合韦达定理，可得
或 ,分析即得解.
【详解】（1）由等轴双曲线知 ，
又过点 ，所以 ，
解之得 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）设 ， ,
联立 得 ,
当 时， ,
又因为 ，即 ,
即 ，
化简得 解得 或 ,
当 ,直线方程为 ,过定点 ,与 重合，不成立，舍去；
当 ，直线方程为 ，恒过点 .
【变式训练1-2】、（2022·湖南永州·一模）点 在双曲线 上，离心率 .
(1)求双曲线 的方程；
(2) 是双曲线 上的两个动点（异于点 ）， 分别表示直线 的斜率，满足 ，求证：
直线 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据题意列出方程组，求得a,b，可得答案;
（2）分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况，斜率存在，设出直线方程并联立双曲线方程，得到根与系
数的关系，表示出 ，结合根与系数的关系化简，可得参数之间的关系式，结合直线方程，求得答
案.
【详解】（1）由题意点 在双曲线 上，离心率
可得； ，解出， ，
所以，双曲线 的方程是
（2）①当直线 的斜率不存在时，则可设 ，
代入 ，得 ，
则 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ， 其中一个与点 重合，不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，它与双曲线 不相交，故直线 的斜率存在；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程 代入 ，
整理得， ，设 ，
则 ，
由 ，
所以
所以， ，即 ,
整理得 ，
即 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，直线 化为 ，过定点 ；
若 ，则 ，直线 化为 ，它过点 ，舍去
综上，直线 恒过定点
另解：
设直线 的方程为 ①，
双曲线 的方程 可化为 ，
即 ②，
由①②可得 ，
整理可得 ，
两边同时除以 ，
整理得 ③，
，
则 是方程③的两个不同的根，
所以 ，即 ④，
由①④可得 ，解得 ，
故直线 恒过定点 .
【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题，综合性较强，计算
量大，解答时要明确解题思路，注意分类讨论，解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系，并利用
该关系式化简得到参数之间的关系，从而解决直线过定点问题.
题型二:定值问题例2．（2022·江西宜春·模拟预测（理））双曲线 与椭圆 的焦点相
同，且渐近线方程为 ，双曲线 的上下顶点分别为A，B．过椭圆 上顶点R的直线l与双曲线
交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明 为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由 与 的焦点相同，可得 ，又因为渐近线方程为 ，可得 ，即可得
出双曲线 的方程.
（2）设直线 方程为 ，联立双曲线的方程可得韦达定理，可求出
，又因为 ， ，所以代入化简有： ，即可求出答案.
（1）
由椭圆 的焦点 ，即 中 ，渐近线方程为
即 ，则由 ，即可求出 .
所以双曲线 的方程为： .
（2）
，由题意可知，直线 的斜率k存在，所以，设直线 方程为
联立方程 ，得
由韦达定理得 ，两式相除，有 ①
，∴ ②
将①代入②得，
【变式训练2-1】、（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的一条渐近线方程为 ， ，
分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且 ， ，求证：
为定值，并求出该定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定值为 .
【分析】（1）由题意可求 的值，进而求出双曲线C的标准方程；
（2）讨论直线PB的斜率存在与否的两种情况，分别联立方程组化简 和 ，即可得出结论.
(1)
由题意可设双曲线C的标准方程为 ，
由已知得 ，则 ，解得 ， ，
故双曲线C的标准方程为 .
(2)
由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，设 ， ， ，
若直线PB的斜率存在，则 ，
则直线PB的方程为 .
联立 ，消去x整理得 ，
将 代入上式整理得 .， ，
则 ，
故 ，（根据向量的关系转化为坐标间的关系），
同理可得 ，故 .
若直线PB的斜率不存在，则 ，此时 轴， ，直线
PA的方程为 .
联立 ，消去x整理得 ，解得 ，
故 ，此时 .
综上所述， 为定值 .
一题多解：
（2）由于P，N，B三点共线，设 ， ，
又 ，所以由 ， ， ，
得 ①.
由于 ，
将上述两式相减可得 ②.
将①代入②可得 ③.
①+③得 ，解得为 ， ，
故 ，
同理可得 ，故 .【变式训练2-2】、（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中， 分别为双曲线Г：
的左､右焦点，点D为线段 的中点，直线MN过点 且与双曲线右支交于
两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点.
(1)已知点 ，求点D到直线MN的距离；
(2)求证： ；
(3)若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k 1､k
2
.试判断 是否为定值，如果是，请求出 的值；如果
不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) 是定值.
【分析】（1）求得 点坐标和直线 的方程，由此求得 到直线 的距离.
（2）对 的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立.
（3）设出直线 的方程并代入双曲线方程，求得 的坐标，由此计算 是定值.
【详解】（1） ，
所以 ，则 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 .
（2）直线 的斜率不存在时， ，直线 的斜率存在时， ， ，整理得 .
综上所述， 成立.
（3）依题意可知直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 的方程为 ，代入双曲线 并化简得：
①，
由于 ，则 代入①并化简得：
，
设 ，则 ，代入 ，
得 ，即 ，
所以
，
所以 是定值.五、分层训练
A组 基础巩固
1、（2021·全国）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆 的左､右顶点，若在椭圆 上存
在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，得到 ，结合 ，得到 ，结合离心率的定义，
即可求解.
【详解】
由题意，椭圆 ，可得 ， ，
设 ，代入椭圆的方程，可得 ，
则 ，
即 ，即 .
又因为 ，所以 .
故选：A.
2、（2021·全国高二课时练习）已知 ， ， 是双曲线 上不同的三点，且点A， 连线经过坐
标原点，若直线 ， 的斜率乘积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设出点 ，点 的坐标，求出斜率，将点 ， 的坐标代入方程，两式相减，再结合 ，即可求得离心率．
【详解】
设 ， ，
因为点A， 连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则 ，
所以 ．
因为点A， 在双曲线上，所以 ，
两式相减，得 ，
所以 ，所以 ．
故选：D.
3．（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试文科数学试题）已知点 ，
在椭圆 上， 为坐标原点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】联立方程得出 ， ，再由距离公式得出 .
【详解】设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
则直线 ， 的方程分别为 ， ，
由 得， ，即 ，
由 得， ，即 ，
所以
故选：D4．（2021·河南高二期中（理））已知平行四边形 内接于椭圆 ： （ ），且 ，
斜率之积的取值范围为 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先表示出直线 ， 斜率，利用 ， 斜率之积的范围为 ，得到 的范围 ，进而构造出
关于 的不等式，最后解出 的范围.
【详解】
平行四边形 内接于椭圆 ，
假设 不关于原点对称，过点 作互相平行的两条直线，分别交椭圆 于 两点，
则由椭圆的对称性， , 这与条件不符合.
所以由椭圆的对称性可得 关于原点对称， 关于原点对称.
设 ， ， ， ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，则 ，
又 ， 都在椭圆 上，则 ， ，
，
，
，又 ， ，
5.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）已知平行四边形 内接于椭圆
，且 ， 斜率之积的范围为 ，则椭圆 离心率的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】由圆锥曲线的经典结论得： ，
6．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知椭圆 ： 的两个顶点在
直线 上， ， 分别是椭圆的左､右焦点，点 是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过
点 作椭圆 的切线 与直线 交于点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的值为
（ ）
A．- B． C．- D．-
【答案】A
【分析】根据题意求出 ， ，进而写出椭圆的方程，设点 的切线方程为 ，与椭圆联立，
由 得到 ，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出 ，进而化简整理即可
求出结果.
【详解】∵椭圆 的两顶点在直线 上，∴ ， ，∴椭圆 的方程为 ，
∴ ， ，设点 的切线方程为 ， ，联立 ，消去 得
，∵直线 与椭圆 相切，∴ ，即 ，∴
， ，∴ ，∴点 ，又
，∴ ，∴ ，设点 ，又 在切线 上，∴
，∴ ，∴ ，
故选：A.
【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
7．（2022·新疆实验高二期中）已知椭圆 为椭圆 的右顶点，直线 交 于 两点，且
，则 恒过除 点以外的定点（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若直线 的斜率存在，设直线 为 ，与椭圆联立，结合韦达定理得到
，进而可求出结果，注意检验斜率不存在时即可得出结论.
【详解】椭圆 为椭圆 的右顶点，所以 ，
由题意知：若直线 的斜率存在，设直线 为 ，
则 ，联立可得 ，
设 ，则 ，
，
因为 ，即 ，则 ，
即
，
即 ，因此 ，
即 ，所以直线 过定点 ，不符合题意，舍去；
，所以直线 过定点 ，符合题意；
当直线的斜率不存在时，直线为 ，此时设 ，
， 符合题意，故直线 恒过除 点以外的定点 ，
故选：A.
8．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知椭圆 ，两条直线 ： ； ：，过椭圆上一点P作 ， 的平行线，分别交 ， 于M，N，若 为定值，则 （ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】设点 ，可得出 ，求出点 、 的坐标，利用两点间的距离公式结合
为定值可求得 的值，即可得解.
【详解】设点 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
由已知可得 ，则 ，
所以， 为定值，
则 ，可得 .
故选：A
9．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线l： 与双曲线C： 交于P，Q两点，
QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用点差法，能得到 的值，则通过 就可以推导出 ，然后就可以推出 的值.【详解】
设 ， ， ， ，则 .
由 得， ，
则 ， .
，∴ ，∴ .
故选：B.
10．（2021·江西省丰城中学高三阶段练习（理））已知 是双曲线 上任意一点， 是双
曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线 的斜率分别为 ( )，若 的最小值为1，
则实数 的值为（ ）
A．16 B．2 C．1或16 D．2或8
【答案】A
【分析】先求得 为定值（用 表示），再根据基本不等式求 的最小值，最后根据最小值为1求
的值.
【详解】双曲线 中
设 ，则
所以相减得
因此从而 （当且仅当 时取等号）
故选：A
【点睛】本题考查双曲线中有关斜率乘积为定值问题、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，
属中档题.
11．（2022·江苏泰州·高二期中）已知椭圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向椭圆作
两条切线 、 ， 、 为切点，则直线 过定点_______．
【答案】
【分析】求得过椭圆上一点处的切线方程，再根据题意，求得 的方程，即可由相交直线系方程，求得
直线恒过的定点.
【详解】若过椭圆 上任意一点 作切线，则其斜率存在，
不妨设其为 ，
联立椭圆方程可得： ，
则 ，
即 ，
又该方程
因为 ，则 ，故可得 ，
故此时过椭圆 上一点 的切线方程为 ，
即 ， ，即 ；
当 时，显然过点 的切线方程也满足 ，
综上所述，过椭圆上任意一点 的切线方程为： ；
设 ，则 ， ， ，
则切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，
又点 在 上，故 ，
可得A、B都在直线 上，即 ， ，
令 ，解得 ，故直线AB过定点 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中直线恒过定点的问题，处理问题的关键是熟练掌握过椭圆上一点的
切线方程的推导以及其形式，属综合困难题.
12．（2022·全国·高三专题练习）定义：若点 在椭圆 上，则以 为切点的切
线方程为： ，已知椭圆 ，点 为直线 上一个动点，过点 作椭圆
的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，则直线 恒过定点______.
【答案】 ##
【分析】设 ， ， ，即可表示出 的方程，又 在 上，即可得到
，利用 同理可得到 ，即可得到直线 的方程，从而求出直线 过
的定点
【详解】解：因为点 在直线 上，设 ， ， ，
所以 的方程为 ，又 在 上，所以 ①，
同理可得 ②；
由①②可得 的方程为 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，故直线恒过定点 ，
故答案为：
13．（2022·全国·高三专题练习）因为正三角形内角余弦值为 ，所以有人将离心率为 的椭圆称为“正
椭圆”.已知“正椭圆”C： 的上下顶点分别为 ，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若直线 的斜率分别为 ，则 为______.
【答案】 ##
【分析】先根据题意算出 ，再利用离心率 与 计算得解.
【详解】因为椭圆C： ，所以上下顶点的坐标分别为 ，
设 ，则 且 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
14．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）已知双曲线 的左､右顶点分别为 ，抛物线
与双曲线 交于 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ，则 为__________.
【答案】 ##
【分析】利用对称性可得 ，再设 结合双曲线的标准方程计算．
【详解】由题意 ， ，由于双曲线与 都关于 轴对称，因此它们的交点
关于 轴对称，所以 ，
设 ，则 ， ，
．
故答案为： ．
15．（2021·湖南师大附中高二阶段练习）设直线 与双曲线C： （ ， ）相交于
A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，若C的离心率为2，则
__________.
【答案】3
【分析】依题意，A，B两点关于原点对称，运用双曲线方程作差即可解题.
【详解】据题意，点A，B关于原点对称，设点 ， ， ，则 ， ，
两式相减，得 ，则 ，因为 ，
所以 ；
故答案为：3.
16．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知圆M： 上动点Q，若 ，线
段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线 上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是
E、F、证明：直线EF过一定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）数形结合，由双曲线定义可得；
（2）设直线方程分别解得E、F的坐标，然后可得直线EF方程，化简可证.
（1）
由题知 ，所以
由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中 ，得曲线C的方程
（2）
设点 由 ，
设直线DA与曲线另一个交点为E，直线DB与曲线另一个交点为F（其中 ， ，若等于，此时其中一条直线与其中一条渐近线平行，与曲线C只有一个交
点．）
由直线DA： 代入曲线C： 得
得
由 即
直线DB： 代入曲线C： 中将
，得
由
即
∴
∴EF：
即
故直线恒过一定点
17．（2021·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右顶
点分别为 、 ，其图象经过点 ，渐近线方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设点 、 是双曲线 上位于第一象限的任意两点，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）可设双曲线 的方程为 ，将点 的坐标代入双曲线 的方程，求出 的值，可得出双曲线 的方程；
（2）计算得出 ， ，利用两角差的正切公式证明出 ，即可证得
．
【详解】（1）由双曲线 的渐近线方程为 ，可设双曲线 的方程为 ，
由题意可得 ，因此，双曲线 的方程为 ；
（2）设点 、 且 ，
，
由已知可得 ，则 ，则 ，
同理可得 ，
，
易知 、 ，故 .
【点睛】方法点睛：求双曲线的方程方法如下：
（1）过两点的双曲线方程，可设为 ；
（2）已知双曲线的焦点坐标以及双曲线上一点，可设出双曲线的标准方程，将点的坐标代入双曲线方程，
求出 、 的值，结合焦点位置可得出双曲线的方程；也可以利用双曲线的定义求出 的值，利用 、 、
三者之间的关系求出 的值，由双曲线焦点位置可得出双曲线的方程；
（3）共焦点的双曲线的方程：与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为
，与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为；
（4）共渐近线的双曲线方程：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程可设为
；
（5）已知渐近线的双曲线的方程：渐近线为 的双曲线的方程可设为 .B组 能力提升
18、（2022·山东·青岛二中高三期中）已知椭圆 过椭圆中心的一条直线与椭圆相
交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当
取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用斜率公式求得 ，结合 在椭圆上，化简可得 ，令 ，
利用导数求得使函数取最小值的 ，根据离心率定义即得.
【详解】由题可知 ，设 ，则 ，
而 ，则 ，
又 ，
令 ，则 ，
所以 ，
由 ，可得 ，函数单调递减，由 ，可得 ，函数单调递增，
故 ，即 时， 取最小值，
此时 .
故选：C.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， 为曲线 的左、右焦点，点 为曲
线 与曲线 在第一象限的交点，直线 为曲线 在点 处的切线，若三角形 的内心为
点 ，直线 与直线 交于 点，则点 ， 横坐标之差为_______．
【答案】
【分析】由题意写出明确两曲线的焦点，可求得P点坐标，进而求出P点处的切线方程，利用圆的切线性质结合双曲线几何性质求出三角形 内切圆圆心的横坐标，再表示出直线 的方程，联立解得N点
横坐标，即可求得答案.
【详解】由题意得 ， ， 为曲线 的左、右焦点，点 为曲线 与曲线
在第一象限的交点，即C,E有相同的焦点，
则 ，
联立 ,消去 ，得 ，
对于椭圆 ，设 为椭圆上一点，令 ，
则椭圆化为圆 ， 即为 ，
由圆上一点处的切线方程可知 在 处的切线方程为 ，
故可得椭圆 在 处的切线方程为 ，
即 ，
故由直线 为曲线 在点 处的切线，P点在第一象限，
则 ，可得直线 方程为 ① ，
设三角形 内切圆半径为 ，则由等面积可得 ，
② ，
又由于P在双曲线 上，设三角形 内切圆圆心 ，各边上的切点分别为 ，如图：由圆的切线性质可得 ，
则 ,
即 ，即M点横坐标为1，
由 可得直线 的方程为 ③ ，
联立①②③，化简可得 ；
又 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的几何性质的应用，综合性强，涉及到知识面比较广，计算量大，解答
时要能熟练掌握切线的求解，以及圆的几何性质的应用，并能熟练应用椭圆以及双曲线的几何性质.
20．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2， 的右焦点 与点
的连线与 的一条渐近线垂直．
(1)求 的标准方程．
(2)经过点 且斜率不为零的直线 与 的两支分别交于点 ， ．
①若 为坐标原点，求 的取值范围；
②若 是点 关于 轴的对称点，证明：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）由 ，得到 ，求得其渐近线方程，因为 ，得到 的值，即可求
解；
（2）①设其方程为 ， ，联立直线 与 的方程，结合 ，求得 ，设 ， ，则 ， ， ，结合向量的运算得到
，即可求得 的取值范围；
②求得直线 的方程为 ，令 ，求得 ，即可求得
直线 过定点．
（1）
解：由题意得 ，其中 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 的渐近线方程为 ．
因为 ， 与 的一条渐近线垂直，所以 ，解得 ，所以 ，所以 的
标准方程为 ．
（2）
解：显然直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，联立直线 与 的方程，消去 得
，因为直线 与 的两支分别交于点 ， ，
所以 ，得 ，
设 ， ，则 ， ， ．①
，
所以 的取值范围是 ．
②因为 ，所以直线 的方程为 ，
由对称性可知，若直线 过定点，则定点在 轴上，
在直线 的方程中，令 ，得
，所以直线 过定点，定点坐标为 ．
21．（2022·重庆·三模）平面直角坐标系xOy中，点 （－ ，0）， （ ，0），点M满足
，点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足
AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.
【答案】(1)
(2)过定点 ，证明见详解
【分析】（1）根据定义法判断曲线类型，然后由题意可得；
（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理将AP⊥AQ坐标化，得到参数之间的关系代回直线方
程可证.
（1）
因为 ，所以
由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中
所以
所以曲线C的方程为：
（2）
若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为 ，
联立 求解可得 ，直线PQ过点 .
当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为 ，
代入 ，整理得：
则
因为AP⊥AQ，所以
整理得解得 或
因为点P和Q都异于点A，所以 不满足题意
故 ，代入 ，得 ，过定点 .
综上，直线PQ过定点 .
22．（2022·山西朔州·三模（理））已知双曲线 经过点 ， ，
， ， 中的3个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点M，N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点M，N的直线 ， 都经过双曲线C的右
顶点，若直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点的
坐标；若不过定点，请说明理由
【答案】(1)
(2)直线 过定点，且定点坐标为
【分析】（1）分析出双曲线经过的 个点，然后求得 ，从而求得双曲线 的方程.
（2）设出直线 的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由 列方程进行化简，进
而求出直线 过定点
（1）
由于 关于 轴对称，所以 要么都在双曲线 上，要么都不在双曲线 上.
点 不可能都在双曲线 上，因为双曲线 经过 个点，所以 都在双曲线 上.
将 的坐标代入 得 ，
由 都在双曲线 上可知 、 都不在双曲线 上，
所以点 在双曲线 上，故 ，
结合 可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）
设 ，其中 ，故可设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，， .
因为双曲线 的右顶点为 ，且 ，
所以
，
所以 ，代入 得 ，
当 时， ，
所以直线 过定点 .
23．（2021·广东汕头·二模）已知双曲线方程为 1，F，F 为双曲线的左、右焦点，离心率为2，
1 2
点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 · 0，|PF||PF|＝6．
1 2
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F 作直线 交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得 为定值，若存在，
2
请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x2 1
(2)存在，m＝﹣1，定值为0
【分析】（1）由离心率得 ，从而得 ，再由数量积为0得垂直，利用勾股定理得 的关系式，
从而求得 得双曲线方程；
（2）直线 斜率为0时，直接求出 坐标，计算出数量积，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x，
1
y)，B(x，y)，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理得 ，代入 ，由它为定值求得
1 2 2
值，得结论．
【详解】（1）由题意可得e 2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，
所以b a，
又因为 · 0，|PF||PF|＝6．所以 ,
1 2
由|PF|﹣|PF|＝2a，所以可得|PF|2+|PF|2﹣2|PF||PF|＝4a2，
1 2 1 2 1 2而|PF|2+|PF|2＝4c2，
1 2
所以4c2﹣12＝4a2，
可得b2＝3，a2＝1，
所以双曲线的方程为：x2 1；
（2）由(1)可得F(2，0)，
2
当直线l的斜率为0时，l：y＝0，此时A(﹣1，0)，B(1，0)，
由M(m，0)，则 · m2﹣1，
当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立 ，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，
因为t2 ，y+y ，yy ，
1 2 1 2
因为 · (x﹣m，y)·(x﹣m，y)＝(ty +2﹣m)(ty +2﹣m)+yy＝(t2+1)yy+(2﹣m)t(y+y)+(2﹣m)2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝(t2+1)· (2﹣m)t· (2﹣m)2
(2﹣m)2，
要使 • 为定值，则 ，解得m＝﹣1，则 ，
所以Q(﹣1，0)．定值为0．
24．（2021·江苏徐州·二模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在C上，
且 .
（1）求C的方程；
（2）斜率为 的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线 的斜率存在且分
别为 ，证明： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由点的坐标求c,再根据双曲线定义求a,即可求解；
（2）设直线l方程为 ，直接求出 的斜率，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，化
简即可求解.
【详解】（1）设 ， ，其中 .
因为 ，所以 ，解得 或 ，又 ，故 .
所以 ，即 .
所以 .
所以C的方程为 .
（2）设 ， ，则 .
设直线l方程为 ，与双曲线C方程联立，
消去y得， .
由 ，得 .
， .
所以 .
所以
.
所以 为定值.
【点睛】关键点点睛：设直线l方程为 ，联立直线与双曲线方程，消元，由韦达定理可得
， ，计算斜率 化简是解题关键，属于中档题.
25．（2020·上海杨浦·二模）已知双曲线 ，经过点 的直线 与该双曲线交于
两点.
（1）若 与 轴垂直，且 ，求 的值；
（2）若 ，且 的横坐标之和为 ，证明： .
（3）设直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值.
【答案】（1） （2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）把 代入双曲线方程求得 坐标，由 可求得 ；
（2）设 ，设直线方程为 ，代入双曲线方程应用韦达定理得 ，由
可求得 ，再由数量积的坐标运算计算出 可得结论；（3）设方程为 ，且 ，由 可用 表示出 ，代入双曲线方程得
，同理 .故 是方程 的两根.
由韦达定理可得结论．
【详解】（1） ， ， ，
∴ .
（2） ，设 ，显然直线斜率存在，设方程为 ，并与 联立得
，由 得 ，此时 .
.
（3）有题意可知直线 斜率必存在，设方程为 ，且 .由 得
，所以 ， ，又由于点 在双曲线 上，故
化简得 ，同理 .故
是方程 的两根.则 为定值.
【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标
为 ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出 ，然后代入其
他条件求解．C组 真题实战练
26．（2020·全国·高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的
上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得：
，问题得解.
（2）方法一：设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求
得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，当 时，可表示出
直线 的方程，整理直线 的方程可得： 即可知直线过定点 ，当 时，
直线 ： ，直线过点 ，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）[方法一]：设而求点法
证明：设 ，则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
当 时，
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
所以直线 过定点 ．
当 时，直线 ： ，直线过点 ．
故直线CD过定点 ．
[方法二]【最优解】：数形结合
设 ，则直线 的方程为 ，即 ．
同理，可求直线 的方程为 ．
则经过直线 和直线 的方程可写为 ．
可化为 ．④易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有 ，代入④式可
得 ．
故 ，可得 或 ．
其中 表示直线 ，则 表示直线 ．
令 ，得 ，即直线 恒过点 ．
【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，
属于难题.
第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思
想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
27．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【分析】（1）由题意得到关于 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点 ， 的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据
已知条件，已得到 的关系，进而得直线 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直
角三角形的性质即可确定满足题意的点 的位置.
【详解】（1）由题意可得： ，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)［方法一］：通性通法
设点 ，
若直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
可得 ， ，因为 ，所以 ，即 ，
根据 ,代入整理可得：
，
所以 ，
整理化简得 ，
因为 不在直线 上，所以 ，
故 ，于是 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
由 得： ，
得 ，结合 可得： ，
解得： 或 （舍）.
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 ，
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 ，
若 与 重合，则 ，故存在点 ，使得 为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为 ，设直
线 的方程为 ．将直线 方程与椭圆方程联立得 ，即
，化简得 ，即
．
设 ，因为 则 ，即 ．代入直线 方程中得 ．则在新坐标系下直线 过定点 ，则在原坐标系下
直线 过定点 ．
又 ，D在以 为直径的圆上． 的中点 即为圆心Q．经检验，直线 垂直于x轴时也
成立．
故存在 ，使得 ．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为 ，即 ．设直线 的方程为 ，直线 的
方程为 ，直线 的方程为 ．由题意得 ．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线 可表示为
（其中 为系数）．
用直线 及点A处的切线可表示为 （其中 为系数）．
即 ．
对比 项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去 并化简得 ，即 ．
故直线 的方程为 ，直线 过定点 ．又 ，D在以 为直径的圆上．
中点 即为圆心Q．
经检验，直线 垂直于x轴时也成立．故存在 ，使得 ．
［方法四］：
设 ．
若直线 的斜率不存在，则 ．
因为 ，则 ，即 ．由 ，解得 或 （舍）．
所以直线 的方程为 ．
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 ．
令 ，则 ．
又 ，令 ，则 ．
因为 ，所以 ，
即 或 ．
当 时，直线 的方程为 ．所以直线 恒过 ，不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，所以直线 恒过 ．
综上，直线 恒过 ，所以 ．
又因为 ，即 ，所以点D在以线段 为直径的圆上运动．
取线段 的中点为 ，则 ．
所以存在定点Q，使得 为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点 ，
再根据平面几何知识可知定点 即为 的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线 的方程为 ，再通过与椭圆方
程联立，构建齐次式，由韦达定理求出 的关系，从而可知直线过定点 ，从而可知定点 即为 的中
点，该法是本题的最优解；
方法三：设直线 ，再利用过点 的曲线系，根据比较对应项系数可求出 的关系，
从而求出直线过定点 ，故可知定点 即为 的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解 以及
的计算．
28．（2015·全国·高考真题（文））已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上
（1）求 的方程
（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 .证明：直线的斜率与直线 的斜率的乘积为定值.
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）由 求得 ,由此可得C的方程.（II）把直
线方程与椭圆方程联立得 ,所以 于
是 .
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意有 解得 ,所以椭圆C的方程为 .
（Ⅱ）设直线 , ,把 代入 得
故 于是直线OM的斜率 即 ,所以
直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.
29．（2015·陕西·高考真题（文））如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 .
(I)求椭圆 的方程；
(II)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 （均异于点 ），
问：直线 与 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．
【答案】(1) (2)2
【详解】（Ⅰ）由题意知 ，综合 ，解得 ，所以，椭圆的方程为 .
（Ⅱ）由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，得，
由已知 ，设 ，
则 ，
从而直线 与 的斜率之和
.
考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.
30．（2016·北京·高考真题（理））已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ，
， ， 的面积为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定
值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）根据离心率为 ，即 ， OAB的面积为1，即 ，椭圆中 列
方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出 的值，求其乘积为定值.
【详解】（Ⅰ）由题意得 解得 .
所以椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
设 ，则 .当 时，直线 的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
直线 的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
所以
.
当 时， ，
所以 .
综上， 为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.
【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、
定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、
定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简
化运算.
