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考向 37 圆锥曲线中的范围、
最值问题
8.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 的最小值．
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】
（1）设 是椭圆上任意一点, ,则，当且仅当
时取等号，故 的最大值是 .
（2）设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,
设 ，所以 ，
因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较
难题．
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2.几何方法求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面几何中
的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题，常用的结论有：
(1)两点间线段最短；
(2)点到直线的垂线段最短．
1.已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
【答案】（1）＋y2＝1；（2）.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，联立
解得故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x，y)为弦MN的中点，M(x，y)，N(x，y)．
0 0 1 1 2 2
联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
则x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，所以m2＜1＋4k2. ①
所以x＝＝－，y＝kx＋m＝.
0 0 0
所以k ＝＝－.
AP
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，即3m＝4k2＋1. ②
把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.由②得k2＝＞0，解得m＞.
综上可知，m的取值范围为.
2.已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
【答案】（1）y2＝4x；（2）
【解析】(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，
联立消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)．
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由于直线m的斜率不为0，
可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
联立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，
∴y＋y＝4t，即x＋x＝4t2＋2，
1 2 1 2
∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．
设点A到直线l的距离为d ，点B到直线l的距离为d ，点M到直线l的距离为d，
A B
则d ＋d ＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
A B
∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.
3.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作
AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，
1 1
求四边形MPNQ面积的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）[12,8)
【解析】(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x，y)，N(x，y)．
1 1 2 2
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
Δ＞0恒成立，则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝|x－x|＝.
1 2
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)，当l与x轴垂直时，其方程为x＝
1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).
4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
【答案】（1）＋＝1；（2）18
【解析】 (1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4.
当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.
由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，可得＋＝1，解得b2＝12.
所以C的方程为＋＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取
得最大值．
联立可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，
化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，
即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝＝，
由两点之间的距离公式可得
|AM|＝＝3.
所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.
5.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐
标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】（1）＋y2＝1；（2）2y±x＋4＝0
【解析】 (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x，y)，Q(x，y)．
1 1 2 2
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x ＝.
1,2
从而|PQ|＝|x－x|＝.
1 2
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S ＝·d·|PQ|＝.
△OPQ
设＝t，则t>0，S ＝＝≤1.
△OPQ
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为2y±x＋4＝0.
6.已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x
＝2与x轴相交于点H.求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的最大值．
【答案】
【解析】由题意得，F(1,0)，设直线AB：x＝my＋1(m∈R)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由消去x，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
则Δ＝4m2＋4(m2＋2)>0，y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
∴|y－y|＝＝＝
1 2
∴四边形OAHB的面积S＝|OH|·|y－y|＝|y－y|＝.
1 2 1 2
令＝t，则t≥1，S＝＝.
∵t＋≥2(当且仅当t＝1，即m＝0时取等号)，∴0
