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考向 37 圆锥曲线中的范围、
最值问题
8.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 的最小值．
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】
（1）设 是椭圆上任意一点, ,则，当且仅当
时取等号，故 的最大值是 .
（2）设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,
设 ，所以 ，
因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较
难题．
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2.几何方法求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面几何中
的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题，常用的结论有：
(1)两点间线段最短；
(2)点到直线的垂线段最短．
1.已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
【答案】（1）＋y2＝1；（2）.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，联立
解得故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x，y)为弦MN的中点，M(x，y)，N(x，y)．
0 0 1 1 2 2
联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
则x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，所以m2＜1＋4k2. ①
所以x＝＝－，y＝kx＋m＝.
0 0 0
所以k ＝＝－.
AP
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，即3m＝4k2＋1. ②
把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.由②得k2＝＞0，解得m＞.
综上可知，m的取值范围为.
2.已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
【答案】（1）y2＝4x；（2）
【解析】(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，
联立消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)．
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由于直线m的斜率不为0，
可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
联立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，
∴y＋y＝4t，即x＋x＝4t2＋2，
1 2 1 2
∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．
设点A到直线l的距离为d ，点B到直线l的距离为d ，点M到直线l的距离为d，
A B
则d ＋d ＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
A B
∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.
3.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作
AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，
1 1
求四边形MPNQ面积的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）[12,8)
【解析】(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x，y)，N(x，y)．
1 1 2 2
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
Δ＞0恒成立，则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝|x－x|＝.
1 2
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)，当l与x轴垂直时，其方程为x＝
1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).
4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
【答案】（1）＋＝1；（2）18
【解析】 (1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4.
当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.
由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，可得＋＝1，解得b2＝12.
所以C的方程为＋＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取
得最大值．
联立可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，
化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，
即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝＝，
由两点之间的距离公式可得
|AM|＝＝3.
所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.
5.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐
标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】（1）＋y2＝1；（2）2y±x＋4＝0
【解析】 (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x，y)，Q(x，y)．
1 1 2 2
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x ＝.
1,2
从而|PQ|＝|x－x|＝.
1 2
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S ＝·d·|PQ|＝.
△OPQ
设＝t，则t>0，S ＝＝≤1.
△OPQ
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为2y±x＋4＝0.
6.已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x
＝2与x轴相交于点H.求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的最大值．
【答案】
【解析】由题意得，F(1,0)，设直线AB：x＝my＋1(m∈R)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由消去x，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
则Δ＝4m2＋4(m2＋2)>0，y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
∴|y－y|＝＝＝
1 2
∴四边形OAHB的面积S＝|OH|·|y－y|＝|y－y|＝.
1 2 1 2
令＝t，则t≥1，S＝＝.
∵t＋≥2(当且仅当t＝1，即m＝0时取等号)，∴0<S≤.
∴四边形OAHB面积的最大值为.
1．（2022·河南河南·模拟预测（理））过椭圆 上任意一点 作直线
(1)证明: ;
(2)若 为坐标原点，线段 的中点为 ，过 作 的平行线 与 交于 两点，求 面
积的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2) .
【解析】（1）联立 ，消去 整理得： ，因为点 在 上，所以
化简得 .
（2）
设 ，点 ，则 .
由已知得 ，所以 ，
即点 满足方程 ，所以 .
由 得 ，
设 ，则 .
所以
所以
，
令 ，因为 ，所以 .
所以
所以 面积的最大值为 .
2．（2022·上海·模拟预测）设有椭圆方程 ，直线 ， 下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为 .
(1) ，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点 ，在 中有一内角余弦值为 ，求b；
(3)在椭圆 上存在一点P到l距离为d，使 ，随a的变化，求d的最小值.
【答案】(1) (2) 或 (3)
【解析】（1）由题意可得 ，所以 ，
的中点在 轴上，
的纵坐标为 ，代入 得 ；
（2）由直线方程可知 ， ，
①若 ，则 ，即 ，
， .
②若 ，则 ，
， ，
， ，即 ，
， .综上， 或 ；
（3）设 ，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得
，
显然椭圆在直线的左下方，则 ，即 ，
， ，即 ，
，整理可得 ，即 ，
，即 的最小值为 ．
3．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知椭圆 ，和一条过定点 且不与 轴重合的直
线 相交于 两点，线段 的中点为点 ，
(1)求点 的轨迹方程；
(2)射线 交椭圆于点 ， 为直线 上一点，且 为 的等比中项，过点 作圆
的两条切线，切点为 ，求 面积的最小值 .
【答案】(1) .(2) .
【解析】(1)由题意，可设直线l： .不妨设 ，则 ，
消去x可得： ，其中 ， ， .
设线段 的中点为点 ，所以 ， .即 （m为参数）.消去m得： .
所以点 的轨迹方程为： .
(2)以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
由点 的轨迹方程为： 化为极坐标方程为 ，即
.
椭圆 化为极坐标方程为 ，即 .
可设射线 的极坐标方程为： .
因为射线 交椭圆于点 ， 为直线 上一点，所以 ， .
因为 为 的等比中项，所以 ，即 ，解得：
.
所以F点的轨迹的极坐标方程为 或 ，化为直角坐标方程为 或 .
如图示：连接DM、DN，则 .
连接MN交DF于K，则 .设 .
若点F在直线 上时，由对称性可知，当F位于F 时， 最大，此时由 ， ，
1可得： .
若点F在直线 上时，由对称性可知，当F位于F 时， 最大，此时由 ， ，
2
可得： ，所以 .
在直角三角形DNF中，由 ，可得： .
在直角三角形KNF中， ， .
所以 .
记 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减.
要求 面积的最小值，只需 最大.
若点F在直线 上时， F位于F 时， 最大.此时 .
1
若点F在直线 上时， F位于F 时， 最大，有 .此时 .
2
综上所述： 面积的最小值为 .
4．（2022·上海奉贤·二模）椭圆 上有两点 和 ， ．点A关于椭圆
中心 的对称点为点 ，点 在椭圆内部， 是椭圆的左焦点， 是椭圆的右焦点．
(1)若点 在直线 上，求点 坐标；
(2)是否存在一个点 ，满足 ，若满足求出点 坐标，若不存在请说明理由；(3)设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)不存在，理由见解析；(3)
【解析】（1）由点 和点 在椭圆 上
可得 ， ，则直线 方程为 ，
又点 在直线 上，则 ，解之得 ，则
（2）椭圆 的两焦点
假设存在一个点 ，满足 ，
则点 一定在双曲线 的左半支上，
由 ，可得
又 ，则 ，
又因为点 在椭圆内部，所以 ，得
所以满足条件的点 不存在．
（3）两点 、 和 在椭圆 上，
点 在椭圆内部，
则直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离
则 ，
同理直线 的方程为 ，点 到直线 的距离
则
令 ，则
由 ，可得 ， ， ，即
由 ，可得 ， ， ，即
综上， 的取值范围为
则 的取值范围为
5．（2022·上海闵行·二模）已知点 分别为椭圆 的左､右焦点，直线 与椭圆
有且仅有一个公共点，直线 ，垂足分别为点 .
(1)求证： ；
(2)求证： 为定值，并求出该定值；
(3)求 的最大值.
【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析，定值为1(3)4（1）联立 与 得： ，
由直线与椭圆有一个公共点可知： ，
化简得： ；
（2）由题意得： ，
因为 ，所以 ∥ ，故 ，
其中 ， ，
所以 ，
为定值，该定值为1；
（3） ，
由题意得：点 在直线 的同侧，
所以 ，
，（其中 为 的夹角），
由此可知： ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最大值为4.
6．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图， 椭圆 的右焦点为 ，过点 的一动直线 绕点 转动，并且交椭圆于 两点， 为线段 的中点.
(1)求点 的轨迹 的方程;
(2)在 的方程中， 令 ， .
①设轨迹 的最高点和最低点分别为 和 ，当 为何值时， 为正三角形?
②确定 的值， 使原点距直线 最远， 此时， 设 与 轴交点为 ，当直线 绕点 转动到
什么位置时， 的面积最大， 并求出面积的最大值?
【答案】(1) ，其中 .
(2)① ；②直线 与 轴垂直时， 的面积最大，且面积最大值为 .
【解析】（1）设 ， ，
则 ， ，所以 ，
所以 ，
当 时，有 ，而 ，
所以 ，整理得到： ，当 时， 的坐标为 ，此时满足 ，
故点 的轨迹 的方程为 即 ，
其中 .
（2）①由（1）可得点 的轨迹为椭圆，其中心为 ，长半轴长为 ，短半轴长为 ，
故 ， ，而 到 的距离为 .
因为 为正三角形，故 ，即 ，
所以 ，故 即 ，
所以 或 （舍，因为 ），
而 ，故 .
②原点距直线 的距离 为 ，
该距离可化简为 ，其中 ，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，故 ，
整理得到： ，故 ，
故 ，当且仅当 即 时等号成立，
此时 ，直线 ， ，设直线 ，由 可得 ，
故 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故直线 与 轴垂直时， 的面积最大，且面积最大值为 .
1.【2021年乙卷】 已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的
距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点 、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．2.（2020·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F，F，点A
1 2
在椭圆E上且在第一象限内，AF⊥FF，直线AF 与椭圆E相交于另一点B．
2 1 2 1
（1）求△AFF 的周长；
1 2
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S，S，若S=3S，求点M的坐标．
1 2 2 1
【答案】（1）6；（2）-4；（3） 或 .
【解析】（1）∵椭圆 的方程为 ∴ ,
由椭圆定义可得： .∴ 的周长为
（2）设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限， ；∴
∵准线方程为 ；∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）设 ，点 到直线 的距离为 .∵ ， ；∴直线 的方程为
∵点 到直线 的距离为 ，
∴ ；∴ ；∴ ①
∵ ②
∴联立①②解得 ， .∴ 或 .
3.（2020·山东卷）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为
，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）12.
【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，解得b2=12.
所以C的方程： .(2)设与直线AM平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最
大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
4.（2020·浙江卷）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆 与抛物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当 时， 的方程为 ，故抛物线 的焦点坐标为 ；
（Ⅱ）设 ，
由 ，
，
由 在抛物线上，所以 ，
又 ，
， ，
.由 即
，
所以 ， ， ，
所以， 的最大值为 ，此时 .
法2：设直线 ， .
将直线 的方程代入椭圆 得： ，
所以点 的纵坐标为 .
将直线 的方程代入抛物线 得： ，
所以 ，解得 ，因此 ，
由 解得 ，
所以当 时， 取到最大值为 .
5.【2019新课标2】已知点 ，动点 满足直线 和 的斜率之积为 ，记
的轨迹为曲线 .（1）求 的方程，并说明 什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 于 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 并延长交
于点 .
①证明： 是直角三角形；
②求 的面积的最大值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)由题意得： ，化简得： ，表示焦点在 轴上的椭圆
x
（不含与 轴的交点）.
(2) ①依题意设 ，直线 的斜率为 ，则
，∴ ，
又 ，∴ ，
PQG
∴ ，即 是直角三角形.
PQ
②直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
则直线 ，
联立直线 和椭圆 ，可得 ，
则 ， ∴，
令 ，则 ，∴ ，
∵ ，∴ .
所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.
因此，△PQG面积的最大值为.
