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专题 1.3 绝对值的综合运用
【例题精讲】
【例1】已知 ， ，且 ，求 的值．
【例2】阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，
所以当 时， ；当 时， ．现在我们可以用这个结论来解决
下面问题：
（1）已知 ， 是有理数，当 时， ；
（2）已知 ， ， 是有理数，当 时， ；
（3）已知 ， ， 是有理数， ， ，则 ．【例3】同学们都知道： 表示5与 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 两
数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与 两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果 ，则 ．
（4）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到 和1所对应的点的距离之和，
请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写
出最小值；如果没有，说明理由．
【题组训练】
1．若 ，那么 的值是多少？2．已知： ， ，且 ，求 的值．
3．若 ， ；若 ， ；
①若 ，则 ；
②若 ，则 ．4．若 ，且 ，求 的值．
5．已知 与 互为相反数，求 的值．
6．已知 与 互为相反数，求式子 的值．7．已知 与 互为相反数，求 的值．
8．若 ．
计算：（1） ， ， 的值．
（2）求 的值．9．计算：已知 ， ，且 ，求 的值．
10．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨
论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数 、 满足 、 同号，求 的值．
解：①若 、 都是正数，即 ， ， ， ，则 ；
② 若 、 都 是 负 数 ， 即 ， ， 有 ， ， 则
，
所以 的值为2或 ．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数 、 满足 、 异号，求 的值；
（2）已知 ， ， ，且 ，求 的值．11．同学们都知道 表示5与 之差的绝对值，也可理解为5与 两数在数轴上
所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求 ．
（2）找出所有符合条件的整数 ，使得 成立的整数是 ．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，写出
最小值；如果没有，说明理由．
12．已知 ， ，且 ，求 的值．13．已知 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
14．阅读下列材料完成相关问题：已知 ， 、 是有理数
（1）当 ， 时，求 的值；
（2）当 时，求 的值；
（3）当 ， ， 的值．
15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示 和2两点之间的距离是
；一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ．如果表示数 和
的两点之间的距离是3，那么 ．
（2）若数轴上表示数 的点位于 与2之间，则 的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点 ，使得 ，这些点表示的数的
和是 ．
（4）当 时， 的值最小，最小值是 ．
16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示 和2两点之间的距离是
；一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ．
（2）如果 ，那么 ；
（3）若 ， ，且数 、 在数轴上表示的数分别是点 、点 ，则 、
两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数 的点位于 与2之间，则 ．17．数学实验室：
点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数轴上
、 两点之间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是
．
②数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示 和5的两点之间的
距离表示为 ．
③若 表示一个有理数，则 的最小值 ．
④若 表示一个有理数，且 ，则满足条件的所有整数 的是 ．
⑤若 表示一个有理数，当 为 ，式子 有最小值为
．18．已知 ， ，且 ，求 的值．
19．若 ， 且 ，试求 的值．
20．若 ， ，且 ，求 的值．21．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，
所以当 时， ；当 时， ．现在我们可以用这个结论来解决
下面问题：
（1）已知 ， 是有理数，当 时， ；
（2）已知 ， ， 是有理数，当 时， ；
（3）已知 ， ， 是有理数， ， ，则 ．
22．如果 、 、 是非零有理数，且 ，那么 的所有
可能的值为 ．23．同学们都知道： 表示5与 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 两数
在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与 两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示 与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果 ，则 ．
（4）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到 和1所对应的点的距离之和，
请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数 ， 是否有最小值？如果有，直接写
出最小值；如果没有，说明理由．
24．我们知道，在数轴上， 表示数 到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，
数轴上两个点 、 ，分别用 ， 表示，那么 、 两点之间的距离为： ．
利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点的距离是 ，数轴上表示 和 的两点之间的距
离是 ，数轴上表示15和 的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示 和 的两点 ， 之间的距离是 ，如果 ，那么 是．
（3）式子 的最小值是 ．
25．同学们都知道， 表示4与 的差的绝对值，实际上也可理解为4与 两数
在数轴上所对应的两点之间的距离；同理 也可理解为 与3两数在数轴上所对应
的两点之间的距离．试探索：
（1）求 ．
（2）若 ，则
（3）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到4和 所对应的两点距
离之和，请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是
．26．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与 ，3与5， 与 ， 与3．
并回答下列各题：
（1）你能发现 、 两点之间的距离表示为 与 ，在数轴上 、 两点之间的距离与这
两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ．
（2）若数轴上的点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，则 与 两点间的距离可以表
示为 ．
（3）结合数轴探求 的最小值是 ．
27．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道， ．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化
简代数式 时，可令 和 ，分别求得 ， （称 ，
2分别为 与 的零点值）．在实数范围内，零点值 和 可将全体实
数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
① ；② ；③ ．从而化简代数式 可分以下3种情况：
（1）当 时，原式 ；（2）当 时，原式 ；
（3）当 时，原式 ．
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出 和 的零点值；
（2）化简代数式 ；
（3）求代数式 的最小值．
28．已知非零有理数 ， ， 满足 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．29．（1）当 时，求 的值．（写出解答过程）
（2）若 ， ，且 ，则 的值为 ．
（3）若 ，则 的值为 ．
30．已知：有理数 ， ， 满足 ，当 时，求 的值．
31．（1）三个有理数 、 、 满足 ，求 的值；
（2）若 、 、 三个不为0的有理数，且 ，求 的值；32．阅读下面材料：点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ，在数轴上 、 两点之间
的距离 ．回答下列问题：
（1）数轴上表示 和1两点之间的距离是 ，数轴上表示 和 的两点之间的距
离是 ；
（2）数轴上表示 和1的两点之间的距离为6，则 表示的数为 ；
（3）若 表示一个有理数，则 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，
请说明理由．
33．我们知道：点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为
，在数轴上 两点之间的距离 ，请回答下列问题：
（1）数轴上表示 和3的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示 和2的两点之间的距离为3，则有理数 是 ．
（3）若 表示一个有理数，且 ，则 ．
（4）式子 的最小值为 ．34．已知点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为
．
（1）数轴上表示2和 的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是 ；
（3）若数轴上三个有理数 、 、 满足 ， ，则 的值为
；
（4）当 时， 的值最小，最小值是 ．
35．点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数
轴上 、 两点之间的距离 ，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和 的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ．
（3）若 表示一个有理数，且 ，则 ．
（4）若 ，利用数轴求出 的整数值为 ．
36．同学们都知道， 表示4与 的差的绝对值，实际上也可理解为4与 两数
在数轴上所对应的两点之间的距离；同理 也可理解为 与3两数在数轴上所对应的
两点之间的距离．试探索：
（1）求 ．
（2）若 ，则 ．
（3）同理 表示数轴上有理数 所对应的点到4和 所对应的两点距离
之和，请你找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是 ．
（4）求： 的最小值，并求出此时 的值．37．在学习绝对值后，我们知道， 表示数 在数轴上的对应点与原点的距离．如：
表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而 ，即 表示5、0在数轴上对应
的两点之间的距离．类似的有 表示 5、3 在数轴上对应的两点之间的距离：
，所以 表示5、 在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点 、
在数轴上分别表示有理数 、 ，那么 、 两点之间的距离可表示为 ．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和 的两点之间的距离是 ；数轴上 、 两点之间的距离为
3，若点 表示的数是 ，则点 表示的数是 ．
（2）点 、 、 在数轴上分别表示有理数 、 、3，那么 到 的距离是 ；
到 的距离 ．（用含绝对值的式子表示）
（3）若 ，则 的值为 ．
（4）若 ，则 的取值范围值为 ．
38．如图，点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 、 两点之间的距离 ，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 ，数轴上表示2和 的两点之间的距
离是 ；
（2）数轴上表示 和1的两点之间的距离表示为 ；
（3）请写出 的几何意义，并求出当 时 的值；
（4）请画出数轴求 的最小值，并直接写出此时 可取哪些整数？
39． 、 两点之间的距离表示为 ，点 、 在数轴上分别表示有理数 ， ，在数
轴上 ， 两点之间的距离 ．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是 ，数轴上表示 和 的两点之间
的距离是 ，数轴上表示2和 的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是 ；如果 ，那么 为
．
（3）求 的最小值．40．探究与拓展
（1）写出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离（直接写到后面横线上）
与0的距离为 ，4与 的距离为 ， 与 的距离为 ，
由上可知： 是数轴上表示数 与数 两个点之间的距离，像等式 是数轴上
表示数 与数 两个点之间的距离为3，所以， 的值为1或
（2）若 ，则 ．
（3）若 ，则整数 为 ．
