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第 4 讲 圆锥曲线的综合问题
[考情分析] 1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值
问题，定点、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
母题突破 1 范围、最值问题
母题 (2022·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点D(2,0)，过F的直线交抛
物线C于M，N两点．设直线 MD，ND与抛物线C的另一个交点分别为 A，B，记直线
MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
思路分析
❶点差法求k ，k
AB MN
↓
❷联立MN与抛物线方程
↓
❸联立AM，BN与抛物线方程
↓
❹k 与k 的关系
AB MN
↓
❺构造tanα－β关于k 的函数
AB
解 当MN⊥x轴时，易得α＝β＝，
此时α－β＝0.
当MN的斜率存在时，设M(x，y)，
1 1
N(x，y)，A(x，y)，B(x，y)，
2 2 3 3 4 4
则直线MN的方程为
y－y＝(x－x)，
1 1
即y－y＝(x－x)，
1 1
即y－y＝(x－x)，
1 1
即y(y＋y)－y(y＋y)＝4(x－x)，
1 2 1 1 2 1
所以直线MN的方程为
y(y＋y)－yy＝4x，tan α＝.
1 2 1 2
同理可得，直线AM的方程为
y(y＋y)－yy＝4x，
3 1 3 1直线BN的方程为
y(y＋y)－yy＝4x，
4 2 4 2
直线AB的方程为y(y＋y)－yy＝4x.
4 3 4 3
因为F(1,0)在MN上，所以yy＝－4.
1 2
因为D(2,0)在AM，BN上，
所以yy＝－8，yy＝－8，
3 1 4 2
所以y＝－，y＝－.
3 4
所以y＋y＝－－＝－
3 4
＝－＝2(y＋y)，
1 2
yy＝＝＝－16，
3 4
所以直线AB的方程y(y＋y)－yy＝4x可化为(y＋y)y＋8＝2x，
4 3 4 3 1 2
所以tan β＝，
所以tan(α－β)＝
＝＝2×.
当y＋y<0时，tan(α－β)<0，
2 1
所以不符合题意．
当y＋y>0时，(y＋y)＋≥4，
2 1 2 1
tan(α－β)≤2×＝，
当且仅当y＋y＝，
2 1
即y＋y＝2时取等号，
2 1
此时α－β取得最大值，直线AB的方程为x－y－4＝0.
综上，当α－β取得最大值时，直线AB的方程为x－y－4＝0.
[子题1] (2022·许昌模拟)已知双曲线C：x2－＝1，过点A(0，－1)的直线l与双曲线C的左、
右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，求的取值范围．
解 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为
y＝kx－1，D(x，y)，E(x，y)，
1 1 2 2
联立
得(2－k2)x2＋2kx－3＝0，
因为l与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，
故
解得－0，
y＋y＝，
1 2
y·y＝，
1 2
所以S ＝|OA|·|y－y|
△OHG 1 2
＝×1×
＝
＝，
因为MN＝2OM，
所以S ＝2S ，
△GHN △OHG
设四边形OHNG的面积为S，
则S＝S ＋S ＝3S ＝
△OHG △GHN △OHG
＝＝，
令＝m(m≥1)，再令y＝3m＋，
由对勾函数性质知，y＝3m＋在[1，＋∞)上单调递增，所以当m＝1时，y ＝4，
min
此时t＝0,3＋取得最小值4，
所以S ＝.
max
规律方法 求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
1.(2022·平凉模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1，点P(2,1)为椭圆C上一点．过点P作两直线l
1
与l 分别交椭圆C于A，B两点，若直线l 与l 的斜率互为相反数，求|AB|的最大值．
2 1 2
解 设直线l 为y＝k(x－2)＋1，
1
则直线l 为y＝－k(x－2)＋1，
2
联立
整理得(2k2＋1)x2＋(4k－8k2)x＋(8k2－8k－4)＝0，
由Δ＝(4k－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－8k－4)＝16(k＋1)2>0，解得k≠－1，
又由x x ＝，可得x ＝，则y ＝k(x －2)＋1＝，
A P A A A
同理可得x ＝，y ＝，
B B
所以|AB|2＝(x －x )2＋(y －y )2＝＝≤＝16，
A B A B
当且仅当k＝±时，等号成立，
因此，|AB|的最大值为4.
2．(2022·保定模拟)已知抛物线C：x2＝4y，以T(0,3)为圆心的圆交抛物线C于P，Q，M，N
四点，求四边形PQMN面积的取值范围．
解 如图，设圆T的半径为r，M(x，y)，N(x，y)，Q(－x，y)，P(－x，y)，
1 1 2 2 1 1 2 2把x2＝4y代入圆T：x2＋(y－3)2＝r2，
整理得y2－2y＋9－r2＝0，
由题意知，关于y的一元二次方程有两个不等实根，
则可得20，f(t)单调递增；
在上f′(t)<0，f(t)单调递减；
所以f(t)≤f ＝，
又f(0)＝1，f(1)＝0，
故f(t)的取值范围是，
综上，S 的取值范围是.
四边形PQMN
专题强化练
1．(2022·十堰模拟)已知抛物线C ：x2＝y，C ：x2＝－y，点M(x ，y)在C 上，且不与坐标
1 2 0 0 2
原点O重合，过点M作C 的两条切线，切点分别为A，B.记直线MA，MB，MO的斜率分
1
别为k，k，k.
1 2 3
(1)当x＝1时，求k＋k 的值；
0 1 2
(2)当点M在C 上运动时，求＋－的取值范围．
2
解 (1)因为x ＝1，则有y ＝－1，设过点M并与C 相切的直线方程为y＝k(x－1)－1，联立
0 0 1
方程组
整理得x2－kx＋k＋1＝0，
则Δ＝(－k)2－4(k＋1)＝k2－4k－4＝0，
由题可知，k，k 即为方程k2－4k－4＝0的两根，
1 2
故有k＋k＝4.
1 2(2)因为y＝－x(x≠0)可设过点M并与C 相切的直线方程为y＝k(x－x)－x，
0 0 1 0
联立方程组
整理得x2－kx＋kx＋x＝0，
0
则有Δ＝k2－4xk－4x＝0，
0
根据根与系数的关系可得k＋k＝4x，
1 2 0
kk＝－4x，
1 2
又k＝＝－x，
3 0
则有＋－＝－
＝－，
按照x>0和x<0两种情况讨论，如下，
0 0
当x>0时，＋4x≥2＝4，
0 0
则有＋－≤－4，
当且仅当x＝时，等号成立；
0
当x<0时，
0
－－4x≥2＝4，
0
则有＋－≥4，
当且仅当x＝－时，等号成立，故＋－的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
0
2．(2022·石家庄模拟)已知点E(，0)，F，点A满足|AE|＝|AF|，点A的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求
点A到直线l距离的取值范围．
解 (1)设A(x，y)，因为|AE|＝|AF|，
所以
＝×，
化简得x2＋y2＝1.
(2)将直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1的方程联立，得
⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以有
⇒m2＋9>4k2且k≠±，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
因为∠MON＝，
所以OM⊥ON
⇒xx＋yy＝0
1 2 1 2⇒xx＋(kx＋m)(kx＋m)＝0，
1 2 1 2
化简得(k2＋1)xx＋km(x＋x)＋m2＝0，
1 2 1 2
把x＋x＝－，
1 2
xx＝代入，得
1 2
(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，
化简，得m2＝，
因为m2＋9>4k2且k≠±，
所以有＋9>4k2且k≠±，
解得k≠±，
圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，
圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离为
d＝＝＝>1，
所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1，
所以点A到直线l距离的取值范围为.
