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微重点 13 离心率的范围问题
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解
决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2022·南京模拟)设e ，e 分别为具有公共焦点F 与F 的椭圆和双曲线的离心率，P
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为两曲线的一个公共点，且满足∠FPF＝，则ee 的最小值为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
(2)(2022·商丘模拟)已知F，F 是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点M
1 2
是C上的点(不在坐标轴上)，点N是OF 的中点，若MN平分∠FMF ，则椭圆C的离心率
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的取值范围是( )
A. B.
C. D.
规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关
于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
跟踪演练1 (2022·嘉兴模拟)如图，已知F ，F 分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦
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点，O为坐标原点，其渐近线与圆x2＋y2＝a2在第二象限交于点P，过P作圆的切线过双曲
线的左焦点且与右支交于点 Q，若|PQ|>|QF|＋|OF|，则双曲线的离心率的取值范围是
2 2
________．
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例2 (1)(2022·西安模拟)圆柱OO 的轴截面ABBA 是正方形，过上底面圆弧上任意一点F
1 1 1
作平面与圆柱的侧面相交，则相交所得到曲线的离心率的最大值为( )
A. B. C. D．2
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，对于C上的任意一点P，圆O：x2＋y2＝b2上均存在点M，N使得∠MPN＝60°，则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上
的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．
跟踪演练2 (2022·运城模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a，0)，Q(3a，0)在x
轴上，若双曲线C上存在一点P(异于点A)使得AP⊥PQ，则C的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，] D．(1，)
考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围
例3 (1)(2022·乐清模拟)设F ，F 分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝－
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(c为半焦距)上存在点P，使|PF|的长
1
度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·萍乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F ，
1
F ，以FF 为直径的圆交双曲线一条渐近线于 P，Q两点，若cos∠PAQ≥－，则该双曲线
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离心率的取值范围是( )
A．(1，] B.
C. D．[，＋∞)
规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之
间的关系．
跟踪演练3 (2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右
焦点分别为F ，F ，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点 P，使得
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∠PFF＝3∠PFF，则双曲线离心率的取值范围为____________．
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