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第 2 讲 圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求
椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF|＋|PF|＝2a(2a>|FF|)．
1 2 1 2
(2)双曲线：||PF|－|PF||＝2a(0<2a<|FF|)．
1 2 1 2
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的
a2，b2，p的值．
例1 (1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆C上一点，且PF 垂
1 2 2
直于x轴，若|FF|，|PF|，|PF|成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是( )
1 2 2 1
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F ，F ，点P是C右支上的一
1 2
点(不是顶点)，过 F 作∠FPF 的角平分线的垂线，垂足是 M，O 是原点，则|MO|＝
2 1 2
________.
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式
为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值
为( )
A．5 B．5
C．10 D．10
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
核心提炼1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求
得e的值或取值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例2 (2022·河南五市联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，以F
1 2 2
为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 的中点，则双曲线
2
C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
考向2 离心率问题
例3 (2022·山东名校大联考)已知F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B
1 2
是椭圆上关于x轴对称的两点，AF 的中点P恰好落在y轴上，若BP·AF2＝0，则椭圆C的
2
离心率的值为( )
A. B.
C. D.
规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定
义，运用平方的方法，建立与|PF|·|PF|的联系．
1 2
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为
“0”，然后因式分解得到．
跟踪演练2 (1)(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F关于它
的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D．2
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对
称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
考点三 抛物线的几何性质
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(2)|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射
线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，FM＝MN，则p的值等于( )
A. B．2 C. D．4
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝2x－p与C交于A，B两点，点A，B在准线上
的射影分别为点A，B，若四边形AABB 的面积为3，则p等于( )
1 1 1 1
A．2 B. C. D．4
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形
(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，
使问题简单化且减少数学运算．
跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方
程为________．
(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左
到右依次为A，B，C.若AB＝BF，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
