文档内容
第 1 讲 直线与圆
[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以
选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，
中高难度．
考点一 直线的方程
核心提炼
1．已知直线l ：Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为零)，直线l ：Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
同时为零)，则l∥l⇔AB－AB＝0，且AC －AC ≠0，l⊥l⇔AA＋BB＝0.
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
1 1 2 2
例1 (1)(2022·常德模拟)已知直线l ：ax－4y－3＝0，l ：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是
1 2
“l∥l”的( )
1 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若l∥l，
1 2
则有－a2＋4＝0，解得a＝±2，
当a＝2时，l：2x－4y－3＝0，
1
l：x－2y＋1＝0，l∥l，
2 1 2
当a＝－2时，l：2x＋4y＋3＝0，
1
l：x＋2y＋1＝0，l∥l，
2 1 2
所以若l∥l，则a＝±2，
1 2
所以“a＝2”是“l∥l”的充分不必要条件．
1 2
(2)(2022·济宁模拟)已知直线l ：kx＋y＝0过定点A，直线l ：x－ky＋2＋2k＝0过定点B，l
1 2 1
与l 的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为______．
2答案 2
解析 由l：kx＋y＝0，得l 过定点A(0,0)，
1 1
由l：x＋2＋k(2－y)＝0，
2
得l 过定点B(－2，2)，
2
显然k×1＋1×(－k)＝0，即l，l 相互垂直，
1 2
而l 与l 的交点为C，
1 2
即AC⊥BC, 又|AB|＝2，
∴|AC|2＋|BC|2＝12，
∴(|AC|＋|BC|)2＝12＋2|AC|·|BC|
≤12＋(|AC|2＋|BC|2)＝24，
∴|AC|＋|BC|的最大值为2，
当且仅当|AC|＝|BC|＝时，等号成立．
∴|AC|＋|BC|的最大值为2.
易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用AB －AB ＝0建立方程求出参数的值后，要注意代
1 2 2 1
入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直，
而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
跟踪演练1 (1)已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值是(
)
A．1 B．－1
C．－2或1 D．2或1
答案 D
解析 当a＝0时，直线y＝2，此时不符合题意，应舍去；
当a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为，纵截距为2－a.
由＝2－a，解得a＝1或a＝2.
经检验，a＝1,2均符合题意，
故a的值是2或1.
(2)若直线l ：x－2y＋1＝0与直线l ：2x＋my＋1＝0平行，则直线l 与l 之间的距离为
1 2 1 2
________．
答案
解析 由直线l：x－2y＋1＝0与直线l：2x＋my＋1＝0平行，
1 2
可得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4，故两直线可化为l：2x－4y＋2＝0，l：2x－4y＋1＝0，故直线l 与l 之间的距离为d＝
1 2 1 2
＝.
考点二 圆的方程
核心提炼
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
例2 (1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心在直线y＝－x上，
设圆心坐标为(a，－a)，
因为圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，
所以＝，
解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，
又＝R，
所以R＝，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，动点P满足|PA|＝|PB|.则点P的轨迹方
程为________________．△PAC的面积的最大值为________．
答案 (x－3)2＋y2＝8 2＋2
解析 设点P(x，y)，由|PA|＝|PB|，得|PA|2＝2|PB|2，即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，
化简可得(x－3)2＋y2＝8，
∴点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8，圆心为(3,0)，半径r＝2.
直线AC的方程为x－y＋＝0，
圆心(3,0)到直线AC的距离为＝2，
∴点P到AC的最大距离为2＋2，
又|AC|＝2，
∴(S ) ＝×2×(2＋2)＝2＋2.
△PAC max规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方
程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
则⊙M的方程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M，
∴解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
则k ＝＝－，AB的中点坐标为，
AB
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.
联立解得
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
(2)直线l过定点(1，－2)，过点P(－1,0)作l的垂线，垂足为M，已知点N(2,1)，则|MN|的最
大值为________．
答案 3
解析 设点A(1，－2)，依题意知AM⊥PM，
所以点M的轨迹是以AP为直径的圆，
圆心C的坐标为(0，－1)，
半径为R＝|AP|＝，
又N(2,1)为圆外一点，
所以|MN| ＝|NC|＋R＝＋＝3.
max
考点三 直线、圆的位置关系
核心提炼
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆
相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (1)(2022·南通模拟)在平面直角坐标系中，已知直线ax－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2x－
3＝0交于A，B两点，若钝角△ABC的面积为，则实数a的值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 由圆C：x2＋y2－2x－3＝0，
可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r＝2，
因为钝角△ABC的面积为，
则S ＝×2×2sin∠ACB＝，
△ABC
解得sin∠ACB＝，
所以∠ACB＝，
可得|AB|＝2，
又由圆的弦长公式，可得2＝2，
解得d＝1，
根据点到直线ax－y＋2＝0的距离公式d＝＝1，解得a＝－.
(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆 x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝
________.
答案
解析 双曲线的渐近线方程为x±my＝0，
圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为
x2＋(y－2)2＝1，
则圆心坐标为(0,2)，半径r＝1.
∵双曲线的渐近线与圆相切，
∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝或m＝－(舍去)．
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (1)(2022·武汉模拟)圆C ：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C ：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数
1 2
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4答案 B
解析 依题意得，圆C 的圆心C (2,4)，半径R＝3, 圆C 的圆心C (5,0)，半径R＝4，|C C |
1 1 1 2 2 2 1 2
＝＝5∈(1,7)，故圆C 与C 相交，有2条公切线．
1 2
(2)已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：(x－5)2＋y2＝9的切线PA，
PB，切点为A，B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为__________．
答案 x－y－2＝0
解析 ⊙C：(x－5)2＋y2＝9的圆心C(5,0)，半径r＝3，
∵四边形PACB的面积
S＝2S ＝|PA|·|AC|
△PAC
＝3|PA|＝3，
∴要使S 最小，则需|PC|最小，
四边形PACB
当PC与直线l垂直时，|PC|最小，
此时直线PC的方程为y＝－x＋5，
联立解得P(2,3)，
则以PC为直径的圆的方程为
2＋2＝，
则两圆方程相减可得直线AB的方程为x－y－2＝0.
规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于
切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可
先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
跟踪演练3 (1)(2022·湖北七市(州)联考)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C：(x－2)2＋(y＋
2)2＝16，则下列选项中不正确的是( )
A．直线l与圆C一定相交
B．当k＝0时，直线l与圆C交于M，N两点，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最
大值为7
C．当直线l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2
D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48
答案 D
解析 直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1,1)，因为(1－2)2＋(1＋2)2<16，所以点P在圆内，因此直线l一定与圆C相交，A正确；
当k＝0时，直线为y＝1，代入圆的方程得(x－2)2＋9＝16，解得x＝2±，因此|MN|＝2，
因为圆心C(2，－2)，半径r＝4，圆心到直线l的距离d＝3，因此点E到直线l的距离的最
大值h＝4＋3＝7，
所以△MNE面积的最大值S＝×7×2＝7，B正确；
当直线l与圆有两个交点M，N时，若|MN|最小，
则PC⊥l，|PC|＝＝，
因此|MN| ＝2×＝2，C正确；
min
在圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝16中，分别令x＝0和y＝0，求得圆C与坐标轴的交点分别为
A(2－2，0)，C(2＋2，0)，B(0，－2＋2)，D(0，－2－2)，则|AC|＝4，|BD|＝4，
所以四边形ABCD的面积S′＝×4×4＝24，D错误．
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程
________．
答案 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的
一个即可)
解析 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r ＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心
1
为A(3,4)，半径r＝4，
2
所以|OA|＝5，r＋r＝5，所以|OA|＝r＋r，所以两圆外切，公切线有三种情况：
1 2 1 2
①易知公切线l 的方程为x＝－1.
1
②另一条公切线l 与公切线l 关于过两圆圆心的直线l对称．
2 1
易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，
由得
由对称性可知公切线l 过点.
2
设公切线l 的方程为y＋＝k(x＋1)，
2
则点O(0,0)到l 的距离为1，
2
所以1＝，解得k＝，
所以公切线l 的方程为y＋＝(x＋1)，
2即7x－24y－25＝0.
③还有一条公切线l 与直线l：y＝x垂直，设公切线l 的方程为y＝－x＋t，
3 3
易知t>0，则点O(0,0)到l 的距离为1，
3
所以1＝，
解得t＝或t＝－(舍去)，
所以公切线l 的方程为y＝－x＋，
3
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
专题强化练
一、选择题
1．直线l经过两条直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，
则直线l的方程为( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0
答案 B
解析 由得两直线交点为(－1,0)，直线l的斜率与x－2y＋4＝0相同，为，
则直线l的方程为y－0＝(x＋1)，
即x－2y＋1＝0.
2．(2022·福州质检)已知A(－，0)，B(，0)，C(0,3)，则△ABC外接圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝2
B．(x－1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝2
D．x2＋(y－1)2＝4
答案 D
解析 设△ABC外接圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
则有
解得
则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.
3．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是
桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其
中DD ，CC ，BB ，AA 是举，OD ，DC ，CB ，BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别
1 1 1 1 1 1 1 1为＝0.5，＝k ，＝k ，＝k.已知k ，k ，k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为
1 2 3 1 2 3
0.725，则k 等于( )
3
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
答案 D
解析 设OD ＝DC ＝CB ＝BA＝1，
1 1 1 1
则CC ＝k，BB＝k，AA＝k，
1 1 1 2 1 3
依题意，有k－0.2＝k，k－0.1＝k，
3 1 3 2
且＝0.725，
所以＝0.725，
故k＝0.9.
3
4．过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若
PA⊥PB，则点P到直线l：x＋y－5＝0的距离的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．3
答案 B
解析 因为过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P向圆C引两条切线PA，PB，切点分别为A，
B，
由PA⊥PB可知，四边形CAPB是边长为1的正方形，所以|CP|＝，
所以P点的轨迹是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，则圆心 C(1,0)到直线l：x＋y－5＝0的距
离d＝＝＝2，
所以点P到直线l：x＋y－5＝0的最短距离为d－r＝2－＝.
5．(2022·湖南长郡中学模拟)已知圆M的半径为，且圆M与圆C：(x－1)2＋y2＝1和y轴都相
切，则这样的圆M有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 C
解析 圆C：(x－1)2＋y2＝1和y轴相切于原点，
两圆内切时，圆M只能在圆C内部，有1个；两圆外切时，圆M位于y轴右侧在x轴上方、
下方各1个，位于y轴左侧切于原点的1个，故满足题意的圆M有4个．
6．已知点P(－2，－1)和直线l：(1＋2λ)x＋(1－3λ)y＋λ－2＝0，则点P到直线l的距离的取值范围是( )
A．(0，] B．[0，)
C．(0,2] D．[0,2)
答案 A
解析 l：(1＋2λ)x＋(1－3λ)y＋λ－2＝0可化为x＋y－2＋(2x－3y＋1)λ＝0，
设直线l过定点A，点P到直线l的距离为d，则令
可得直线l过定点A(1,1)，
则有|PA|＝＝，此时|PA|为点P到直线l的最大距离，
若P(－2，－1)在直线l上，则有－2－1－2＋(－4＋3＋1)λ＝0，即－5＝0，
可得P(－2，－1)不可能在直线l上，则有d>0，
综上可得02，直线l 与圆O相离，B错误；
1 1
圆心O到直线l 的距离为
2
d′＝＝1，
所以弦长为2×＝2，C错误；
由得
即Q(4cos θ＋sin θ，4sin θ－cos θ)，
所以|OQ|＝＝，
所以|PQ|的最大值为＋2，D正确．
12．(2022·菏泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心
位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作
△ABC，|AB|＝|AC|，点B(－1,1)，点C(3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：x2＋y2＝4的
两条切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值为( )
A. B．2
C. D．2
答案 B
解析 由题设知BC的中点为(1,3)，
“欧拉线”斜率为k＝－＝－1，
所以“欧拉线”方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋y－4＝0，
又O到x＋y－4＝0的距离为d＝>2，即“欧拉线”与圆O相离，
要使|MN|最小，则在Rt△PMO与Rt△PNO中，∠MOP＝∠NOP最小，即∠MPN最大，
而仅当OP⊥“欧拉线”时，∠MPN最大，
所以d＝|OP|＝2，
则|MN|＝2rsin∠NOP，
且圆O半径r＝2，cos∠NOP＝＝，
所以sin∠NOP＝，即|MN| ＝2.
min
二、填空题
13．与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的方程为________．
答案 2x＋y＋1＝0
解析 直线2x－y＋1＝0的斜率为k＝2，与x轴交于点A，
直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的斜率为－k＝－2，并且过点A，
由直线的点斜式方程得y－0＝－2，
即2x＋y＋1＝0，
所以所求直线的方程为2x＋y＋1＝0.
14．(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________．
答案 (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋2＝
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0.
若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则
解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
则
解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
则
解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝；
若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，
则
解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，
即2＋(y－1)2＝.
15．已知圆C ：(x－1)2＋(y－2)2＝4和圆C ：(x－2)2＋(y－1)2＝2交于A，B两点，直线l与
1 2
直线AB平行，且与圆C 相切，与圆C 交于点M，N，则|MN|＝________.
2 1
答案 4
解析 由圆C ：(x－1)2＋(y－2)2＝4，可知圆心C (1,2)，半径为2，由圆C ：(x－2)2＋(y－
1 1 2
1)2＝2，可知圆心C (2,1)，半径为，
2
又圆C ：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，圆C ：x2＋y2－4x－2y＋3＝0，
1 2
所以可得直线AB：x－y－1＝0，
设l：x－y＋c＝0，因为直线l与圆C 相切，则＝.
2
解得c＝1或c＝－3，
当c＝1时，l：x－y＋1＝0，
所以|MN|＝2×＝4；
当c＝－3时，l：x－y－3＝0，因为>2，故不符合题意．
综上，|MN|＝4.
16．若抛物线y＝x2＋ax＋b与坐标轴分别交于三个不同的点A，B，C，则△ABC的外接圆
恒过的定点坐标为________．答案 (0,1)
解析 设抛物线y＝x2＋ax＋b交y轴于点B(0，b)，交x轴于点A(x，0)，C(x，0)，
1 2
由题意可知关于x的方程：x2＋ax＋b＝0，Δ＝a2－4b>0，
由根与系数的关系可得x＋x＝－a，xx＝b，
1 2 1 2
所以线段AC的中点为，
设圆心为P，
由|PA|2＝|PB|2可得
2＋t2＝＋(t－b)2，
解得t＝，
∵x＋ax＋b＝0，
1
则t＝＝，
则t－b＝，
所以圆P的方程为2＋2＝，
整理可得(x2＋y2－y)＋ax＋b(1－y)＝0，
方程组的解为
因此，△ABC的外接圆恒过的定点坐标为(0,1)．
