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培优点 9 圆锥曲线与圆的综合问题
随着新高考不断地推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生很大的变化，对圆的
考查在逐渐加深，与圆相关的几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线及抛物
线相结合，呈现别具一格的新颖试题，题型渐渐成为高考命题的热点，是一种新的命题趋势．
考点一 圆的切线与圆锥曲线的综合问题
例1 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，点P在椭圆上．
2
(1)求椭圆的方程；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于A，B
两点，问△AFB的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
2
解 (1)由题意得
∴
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)是定值．由题意，
设AB的方程为y＝kx＋m(k<0，m>0)，
∵AB与圆x2＋y2＝3相切，
∴＝，即m2＝3(1＋k2)，
由
整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
∴|AB|＝|x－x|
1 2
＝
＝
＝.
又|AF|2＝(x－1)2＋y
2 1
＝(x－1)2＋3
1
＝(x－4)2，
1
∴|AF|＝(4－x)＝2－x，
2 1 1
同理|BF|＝(4－x)＝2－x，
2 2 2
∴|AF|＋|BF|＝4－(x＋x)
2 2 1 2
＝4＋∴|AF|＋|BF|＋|AB|＝4＋－＝4(定值)．
2 2
规律方法 处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质
(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方
程，利用根与系数的关系求解．
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，D为抛物线C上第
一象限内任意一点，△FOD外接圆的圆心为Q，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P(x ，y)(x>1)为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆x2＋(y－1)2＝1的两
0 0 0
条切线l，l 且与y轴分别相交于A，B两点，求△PAB面积的最小值．
1 2
解 (1)由抛物线C方程x2＝2py，
已知F，准线y＝－，
外接圆的圆心在直线y＝上，
依题意＝，即p＝1，
抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)设过点P(x，y)的直线l的方程为y－y＝k(x－x)，
0 0 0 0
直线kx－y＋y－kx＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相切，则＝1，
0 0
化简得(x－1)k2－2(y－1)x·k＋y－2y＝0，①
0 0 0
方程的根为k，k，
1 2
则有
设直线l，l 在y轴上的截距分别为y，y，
1 2 1 2
则y＝y－kx，y＝y－kx，
1 0 1 0 2 0 2 0
|AB|＝|y－y|＝|k－k|·x
1 2 1 2 0
＝x·
0
＝
＝
＝，
S＝|AB|·x＝·
0
＝·
＝
≥×(2＋2)＝2.
当且仅当x－1＝，即x＝时，S 面积取得最小值，面积最小值为2.
0 △PAB
考点二 圆锥曲线中的四点共圆综合问题
例2 (2022·重庆模拟)设动点P与定点F(，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是.
(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，
线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D两点，证明：A，B，C，D四点共圆．
(1)解 设P(x，y)，
因为动点P与定点F(，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是，
所以＝，
整理化简得＋y2＝1.
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)证明 设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由方程组
得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，
由Δ>0，得2－m2>0，
解得－<m<.
由①得x＋x＝－2m，xx＝2m2－2.
1 2 1 2
所以M点坐标为，
直线OM方程为y＝－x，
由方程组
得C，D.
所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．
又|MA|·|MB|＝|AB|2
＝[(x－x)2＋(y－y)2]
1 2 1 2
＝[(x＋x)2－4xx]
1 2 1 2
＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)．
所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
所以A，B，C，D四点共圆．
规律方法 处理共圆问题，主要抓住弦长及弦的中点的关系并结合圆的垂径定理，综合寻求
关系．
跟踪演练2 (2022·南京模拟)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点
(－2,0)和，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．解 (1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点(－2,0)和，
所以a＝2，＋＝1，
解得b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)因为直线AB的斜率存在，所以设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
由
消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
则有x＋x＝，
1 2
xx＝.
1 2
因为平行四边形AMBO，
所以OM＝OA＋OB＝(x＋x，y＋y)．
1 2 1 2
因为x＋x＝，
1 2
所以y＋y＝k(x＋x)＋2m
1 2 1 2
＝k·＋2m＝，
所以M.
因为点M在椭圆C上，所以将点M的坐标代入椭圆C的方程，化得4m2＝4k2＋1.①
因为A，M，B，O四点共圆，所以平行四边形AMBO是矩形，且OA⊥OB，
所以OA·OB＝xx＋yy＝0.
1 2 1 2
因为yy＝(kx＋m)(kx＋m)＝k2xx＋km(x＋x)＋m2＝，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以xx＋yy＝＋＝0，
1 2 1 2
化得5m2＝4k2＋4.②
由①②解得k2＝，m2＝3，
此时Δ＞0，
因此k＝±.
所以所求直线AB的斜率为±.
专题强化练
1．已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A，A，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相
1 2
切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2(1)求k的取值范围；
(2)记直线PA 的斜率为k，直线PA 的斜率为k，那么，k·k 是定值吗？证明你的结论．
1 1 1 2 2 2 1 2
解 (1)∵l与圆相切，
∴1＝
∴m2＝1＋k2，①
由
得 (1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，
∴
∴k2<1，∴－1<k<1，
故k的取值范围为(－1,1)．
(2)由已知可得A，A 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
1 2
∴k＝，k＝，
1 2
由(1)知，x＋x＝－，
1 2
x·x＝，
1 2
∴k·k＝
1 2
＝
＝
＝
＝
＝，
由①得m2－k2＝1，
∴k·k＝＝－(3＋2)为定值．
1 2
2．(2022·泸州模拟)从抛物线y2＝4x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P.
(1)求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；
(2)过点M(2,0)的直线l交曲线P于两点A，B，线段AB的垂直平分线交曲线P于两点C，
D，探究是否存在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说
明理由．
解 (1)设抛物线y2＝4x上的任意点为S(x，y)，垂线段的中点为(x，y)，
0 0
故
则代入y＝4x 得(2y)2＝4x，
0
得曲线P的方程为y2＝x，
所以曲线P是焦点为的抛物线．
(2)若直线l与x轴重合，则直线l与曲线P只有一个交点，不符合题意．
设直线l的方程为x＝ty＋2，根据题意知t≠0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立
得y2－ty－2＝0，Δ＝t2＋8>0，
则y＋y＝t，y·y＝－2，
1 2 1 2
则|AB|＝·|y－y|
1 2
＝
＝，
且线段AB中点的纵坐标为＝，
即＝t·＋2＝＋2，
所以线段AB中点为M，
因为直线CD为线段AB的垂直平分线，可设直线CD的方程为x＝－y＋m，
则＋2＝－×＋m，
故m＝，
联立
得2ty2＋2y－t(t2＋5)＝0，
设C(x，y)，D(x，y)，
3 3 4 4
则y＋y＝－，y·y＝－(t2＋5)，
3 4 3 4
故|CD|＝|y－y|
3 4
＝
＝，
线段CD中点为N，
假设A，B，C，D四点共圆，则弦AB的中垂线与弦CD的中垂线的交点必为圆心，
因为CD为线段AB的中垂线，则可知弦CD的中点N必为圆心，则|AN|＝|CD|，
在Rt△AMN中，|AN|2＝|AM|2＋|MN|2，
所以2＝|AM|2＋|MN|2，
则
＝(t2＋1)(t2＋8)＋2＋2，
故t4＋8t2－1－＝0，即
＝＝0，
解得t2＝1，即t＝±1，
所以存在直线l，使A，B，C，D四点共圆，且圆心为弦CD的中点N，
圆N的方程为2＋2＝
或2＋2＝.
