文档内容
专题 15 圆锥曲线中的定点与定值问题
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】、【直线过定点的解题策略】
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊
情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方
程，从而得到定点.
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程
的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特
点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y
＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得
出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点
．
4.只要任意一个限定AP与BP条件（如 定值， 定值），直线AB依然会过定点
【考点2】、【定值问题的常见类型及解题策略】
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形
求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【 知识拓展 】1.设点 是椭圆C： 上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若
，则 时直线AB斜率为定值 ，若 ，则直线AB过定点
；
2. 设点 是双曲线C： 一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，
若 ，则 时直线AB斜率为定值 ，若 ，则直线AB过定点
；
3. 设点 是抛物线C： 一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若
，则 时直线AB斜率为定值 ，若 ，则直线AB过定点
；
三、解法解密
圆锥曲线的第三定义：
平面内的动点到两定点 的斜率乘积等于常数 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,
其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数 时，轨迹为双曲线，如果
时，轨迹为椭圆。
圆锥曲线的第三定义的有关结论：
1.椭圆方程中有关 的经典结论
(x ,y )
(1).AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 0 0 为AB的中点，则 .
(2).椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的
任一点，则有(3). 椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的
任一点，则有
(4). 椭圆的方程为 （a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于 两点，P点是椭圆上异于
两点的任一点，则有
2.双曲线方程中有关 的经典结论
(x ,y )
(1)AB是双曲线 的不平行于对称轴的弦，M 0 0 为AB的中点，则 ，
即 。
(2)双曲线的方程为 （a＞0，b＞0）， 为 双曲线 的实轴顶点 ，P点是双曲线上异于实
轴顶点的任一点，则有
(3)双曲线的方程为 （a＞0，b＞0）， 为 双曲线 的虚轴端点 ，P点是双曲线上异于虚
轴端点的任一点，则有
(4) 双曲线的方程为 （a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于 两点，P点是双曲线上
异于 两点的任一点，则有
四、考点解密
题型一:定点问题
例1、（2022·浙江台州·模拟预测）已知点 是双曲线 与椭圆 的公共点，
直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，设直线 与 的倾斜角分别为 ， ，且满足 .(1)求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
(2)记（1）中直线 恒过定点为 ，若直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，求 的取值范围.【变式训练1-1】、（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线
过点
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点 ，斜率为 的直线 与双曲线交于 两点（不同于点 ），且 ，求证直
线 过定点.
【变式训练1-2】、（2022·湖南永州·一模）点 在双曲线 上，离心率 .
(1)求双曲线 的方程；
(2) 是双曲线 上的两个动点（异于点 ）， 分别表示直线 的斜率，满足 ，求证：
直线 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.题型二:定值问题
例2．（2022·江西宜春·模拟预测（理））双曲线 与椭圆 的焦点相
同，且渐近线方程为 ，双曲线 的上下顶点分别为A，B．过椭圆 上顶点R的直线l与双曲线
交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明 为定值，并求出该定值．【变式训练2-1】、（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的一条渐近线方程为 ， ，
分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且 ， ，求证：
为定值，并求出该定值.
【变式训练2-2】、（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中， 分别为双曲线Г：
的左､右焦点，点D为线段 的中点，直线MN过点 且与双曲线右支交于
两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点.
(1)已知点 ，求点D到直线MN的距离；
(2)求证： ；
(3)若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k 1､k
2
.试判断 是否为定值，如果是，请求出 的值；如果
不是，请说明理由.
五、分层训练
A组 基础巩固
1、（2021·全国）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆 的左､右顶点，若在椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高二课时练习）已知 ， ， 是双曲线 上不同的三点，且点A， 连线经过坐
标原点，若直线 ， 的斜率乘积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试文科数学试题）已知点 ，
在椭圆 上， 为坐标原点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·河南高二期中（理））已知平行四边形 内接于椭圆 ： （ ），且 ，
斜率之积的取值范围为 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）已知平行四边形 内接于椭圆
，且 ， 斜率之积的范围为 ，则椭圆 离心率的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
6．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知椭圆 ： 的两个顶点在
直线 上， ， 分别是椭圆的左､右焦点，点 是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过
点 作椭圆 的切线 与直线 交于点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的值为
（ ）
A．- B． C．- D．-7．（2022·新疆实验高二期中）已知椭圆 为椭圆 的右顶点，直线 交 于 两点，且
，则 恒过除 点以外的定点（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知椭圆 ，两条直线 ： ； ：
，过椭圆上一点P作 ， 的平行线，分别交 ， 于M，N，若 为定值，则 （ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
9．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线l： 与双曲线C： 交于P，Q两点，
QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2021·江西省丰城中学高三阶段练习（理））已知 是双曲线 上任意一点， 是双
曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线 的斜率分别为 ( )，若 的最小值为1，
则实数 的值为（ ）
A．16 B．2 C．1或16 D．2或8
11．（2022·江苏泰州·高二期中）已知椭圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向椭圆作
两条切线 、 ， 、 为切点，则直线 过定点_______．
12．（2022·全国·高三专题练习）定义：若点 在椭圆 上，则以 为切点的切
线方程为： ，已知椭圆 ，点 为直线 上一个动点，过点 作椭圆
的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，则直线 恒过定点______.
13．（2022·全国·高三专题练习）因为正三角形内角余弦值为 ，所以有人将离心率为 的椭圆称为“正
椭圆”.已知“正椭圆”C： 的上下顶点分别为 ，且“正椭圆”C上有一动点P
（异于椭圆的上下顶点），若直线 的斜率分别为 ，则 为______.
14．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）已知双曲线 的左､右顶点分别为 ，抛物线
与双曲线 交于 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ，则 为__________.15．（2021·湖南师大附中高二阶段练习）设直线 与双曲线C： （ ， ）相交于
A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，若C的离心率为2，则
__________.
16．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知圆M： 上动点Q，若 ，线
段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线 上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是
E、F、证明：直线EF过一定点．17．（2021·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右顶
点分别为 、 ，其图象经过点 ，渐近线方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设点 、 是双曲线 上位于第一象限的任意两点，求证： ．B组 能力提升
18、（2022·山东·青岛二中高三期中）已知椭圆 过椭圆中心的一条直线与椭圆相
交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当
取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， 为曲线 的左、右焦点，点 为曲
线 与曲线 在第一象限的交点，直线 为曲线 在点 处的切线，若三角形 的内心为
点 ，直线 与直线 交于 点，则点 ， 横坐标之差为_______．
20．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2， 的右焦点 与点
的连线与 的一条渐近线垂直．
(1)求 的标准方程．
(2)经过点 且斜率不为零的直线 与 的两支分别交于点 ， ．
①若 为坐标原点，求 的取值范围；
②若 是点 关于 轴的对称点，证明：直线 过定点．21．（2022·重庆·三模）平面直角坐标系xOy中，点 （－ ，0）， （ ，0），点M满足
，点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足
AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.
22．（2022·山西朔州·三模（理））已知双曲线 经过点 ， ，
， ， 中的3个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点M，N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点M，N的直线 ， 都经过双曲线C的右
顶点，若直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点的
坐标；若不过定点，请说明理由23．（2021·广东汕头·二模）已知双曲线方程为 1，F，F 为双曲线的左、右焦点，离心率为2，
1 2
点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 · 0，|PF||PF|＝6．
1 2
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F 作直线 交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得 为定值，若存在，
2
请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
24．（2021·江苏徐州·二模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在C上，
且 .
（1）求C的方程；
（2）斜率为 的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线 的斜率存在且分
别为 ，证明： 为定值.25．（2020·上海杨浦·二模）已知双曲线 ，经过点 的直线 与该双曲线交于
两点.
（1）若 与 轴垂直，且 ，求 的值；
（2）若 ，且 的横坐标之和为 ，证明： .
（3）设直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值.C组 真题实战练
26．（2020·全国·高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的
上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
27．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．28．（2015·全国·高考真题（文））已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上
（1）求 的方程
（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 .证明：直线
的斜率与直线 的斜率的乘积为定值.
29．（2015·陕西·高考真题（文））如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 .
(I)求椭圆 的方程；
(II)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 （均异于点 ），
问：直线 与 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．30．（2016·北京·高考真题（理））已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ，
， ， 的面积为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定
值.
