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专练 08 应用题（15 题）
1．（2022·山东菏泽·七年级期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利
润（利润=票款收入-支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
X
．．． 200 250 300 350 400 ．．．
（人）
y（元） ．．． -200 -100 0 100 200 ．．．
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(2)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y= ；
(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【答案】(1)300；
(2)2x-600；
(3)当乘车人数为800人时，利润为1000元
【解析】
(1)
解：观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：300；
(2)
由题意得：
y＝0＋ ×100＝2x−600，
∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x−600，
故答案为：2x−600；
(3)
把y＝1000代入y＝2x−600中可得：
2x−600＝1000，
解得：x＝800，
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点睛】
本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．2．（2021·贵州毕节·七年级期末）威宁粮食二库需要把晾晒场上的120吨苞谷入库封存．受设备影响，每
天只能入库15吨．入库所用的时间为 （单位：天），未入库苞谷数量为 （单位：吨）．
（1）直接写出 和 间的关系式为：______．
（2）二库职工经过钻研，改进了入库设备，现在每天能比原来多入库5吨．则
①直接写出现在 和 间的关系式为：______．
②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天？
【答案】（1）y=120-15x；（2）①y=120-20x；②2
【解析】
解：（1）晾晒场上的120吨苞谷入库封存，每天只能入库15吨，入库所用的时间为x，未入库苞谷数量
为y的函数关系式为y=120-15x；
故答案为：y＝120-15x；
（2）①改进了入库设备，则每天入库20吨；y和x间的关系式为：y=120-20x；
故答案为：y=120-20x；
②
答：求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少2天．
【点睛】
主要考查了函数的实际应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的
值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
3．（2021·广东茂名·七年级期末）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图书馆的距离s
（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学离图书馆的最远距离是多少千米，他在120分钟内共跑了多少千米？
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为多少分钟？
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？
【答案】（1）3千米，6千米；（2）40分钟；（3）4.5千米每小时【解析】
（1）由图象知，甲同学离图书馆的最远距离是3千米，他在120分钟内共跑了6千米；
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为 分钟；
（3）CD路段内的路程为 千米，
所用的时间为 小时，
所以甲同学在CD路段内的跑步速度是 千米每小时．
【点睛】
本题考查了变量与图象的关系，从图象获取信息是解题的关键．
4．（2021·山东济南·七年级期末）某公空车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利
润（利润＝票款收入－支出费用）y（元）的变化关系，如下表所所示（每位委文的乘车票价固定不变）：
x（人） … 200 250 300 350 400 …
p（元） … －200 －100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到________人以上时，该公交车才不会亏损；
（2）当一天乘客人数为500人时，利润是多少?
（3）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式．
【答案】（1）300；（2）400；（3）y=2x-600
【解析】
解：（1）当y=0时，x=300，当x＞300时，y＞0，
故答案为：300；
（2）200+100×（ ）=400（元），
答：一天乘客人数为500人时，利润是400元；
（3）由表格中的数据变化可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，
每增加50人，利润就增加100元，每减少50人，利润就减少100元，
所以利润y=0+ ×100=2x-600，
即：y=2x-600，答：公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式为y=2x-600．
【点睛】
本题考查函数关系式，理解表格中“每天的利润y元”与“乘坐的人数x”之间的变化关系是正确解答的关
键．
5．（2020·江西九江·七年级期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的端固定，在其下端悬挂物体，下面是
测得的弹簧的长度 与所挂物体的质量 的一组对应值：
所挂物体的质量
弹簧长度
（1）在这个变化的过程中，自变量是 ；因变量是 ；
（2）写出 与 之间的关系式，并求出当所挂重物为 时，弹簧的长度为多少？
【答案】（1）所挂物体的质量；弹簧的长度（2）y＝2x＋18，30cm．
【解析】
解：（1）所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；
（2）由表格可得：当所挂物体重量为1千克时，弹簧长20厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米，物体每
增加1kg，弹簧伸长2cm
∴y＝2x＋18；
当所挂重物为6kg时，弹簧的长度为：y=12+18=30（cm）．
【点睛】
考查了函数的表示方法，本题需仔细分析表中的数据，进而解决问题．明确变量及变量之间的关系是解好
本题的关键．
6．（2021·陕西西安·七年级期末） 在建设社会主义新农村过程中，某村委决定投资开发项目，现有6个
项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
所需资金（亿元） 1 2 4 6 7 8
预计利润（千万
0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
元）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？（3）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由．
【答案】（1）所需资金和利润之间的关系，所需资金为自变量，年利润为因变量；（2）可以投资一个7
亿元的项目；也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目；还可以投资一个1亿元，再投资一个6
亿元的项目；（3）最大利润是1.45亿元，理由详见解析．
【解析】
解：（1）所需资金和利润之间的关系．
所需资金为自变量．年利润为因变量；
（2）可以投资一个7亿元的项目．
也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目．
还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目．
答：可以投资一个7亿元的项目；也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目；还可以投资一个1
亿元，再投资一个6亿元的项目．
（3）共三种方案：①1亿元，2亿元，7亿元，利润是 亿元．
②2亿元，8亿元，利润是 亿元．
③4亿元，6亿元，利润是 亿元．
∴最大利润是 亿元．
答：最大利润是 亿元．
【点睛】
此题主要考查了常量与变量的定义以及利用图表得出正确方案等知识，利用图表获取正确数据是解题关键．
7．（2018·广东深圳·七年级期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，一天中他们生产的零
件数y（个）与生产时间t（小时）的函数关系如图所示.
（1）根据图象填空：
①甲、乙中，________先完成一天的生产任务；在生产过程中，________因机器故障停止生产________小
时；②当t=________时，甲、乙生产的零件个数相等；
（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数.
【答案】（1）①甲，甲，2；②3或5.5；（2）在4～7时内，甲生产得最快，每小时生产的零件个数为
（个）.
【解析】
（1）根据图象可知①甲先完成一天的生产任务；在生产过程中，甲因机器故障停止生产4-2=2小时；
②由图像可知t=3时，甲、乙生产的零件个数相等；
设4≤t≤7时，甲生产的零件数y（个）与生产时间t（小时）的函数关系为y=kx+b,
1 1 1
把（4，10），（7,40）代入得 ，解得
∴y=10x-30；
1
设2≤t≤8时，乙生产的零件数y（个）与生产时间t（小时）的函数关系为y=kx+b,
2 2 2
把（2，4），（8,40）代入得 ，解得
∴y=6x-8；
2
令y= y
1 2
解得x=5.5
故t为3或5.5时，甲、乙生产的零件个数相等；
（2）由函数图像可知甲在4～7时内倾斜角度最大，生产速度快；
此时甲每小时生产零件的个数为 （个）.
【点睛】
此题主要考查函数图像的应用，解题的关键是根据题意得到相关的信息.
8．（2018·山东菏泽·七年级期末）为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到如下数据：
轿车行驶
的路程 ···
油箱剩余
油量 ···
（1）该轿车油箱的容量为 ，行驶 时，油箱剩余油量为
（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量 与轿车行驶的路程 之间的表达式 .
（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从 地前往 地，到达 地时油箱剩余油量为 ，求 两地之间
的距离？
【答案】（1）50，42；（2） ；（3）A、B两地之间的距离是300km.
【解析】
解：（1）由表格中的数据可知，该轿车的油箱容量为50L，行驶100km时，油箱剩余油量为
（L）；
故答案是50,42；
（2）观察表格在的数据可知，汽车每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s的关系式为
；
故答案为 ；
（3）当w=26时，50－0.08s=26，解得s=300.
答：A、B两地之间的距离是300km.
【点睛】
本题考查的是一次函数的应用，关键是读懂题意，找出规律，正确列出w与s的关系式，明确行驶路程为
0时，即为油箱的容量.
9．（2021·广东梅州·七年级期末）数学活动课上，数学老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是
边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一
张，B种纸片一线，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．(1)观察图②，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系是______________．
(2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
图形②是边长为 的正方形，
．
大正方形的面积由一个边长为 的正方形和一个边长为 的正方形以及两个长为 ，宽为 的长方形组合
而成，
．
．
故答案为： ．
(2)
①∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴
∴ ；
②设 ，则 ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
10．（2022·广东揭阳·七年级期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
(1)若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
(3)【能力提升】
7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被
覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S，左下角的面积为S，当AB的长变化时，S﹣S
1 2 1 2
的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)
解：
，
关于 的多项式 的值与 的取值无关，
，
解得 ．
(2)
，
，
的值与 无关，
，
解得 ．
(3)
解：设 ，
由图可知， ， ，
则，
当 的长变化时， 的值始终保持不变，
的值与 的值无关，
，
．
【点睛】
本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的
运算法则是解题关键．
11．（2021·广东梅州·七年级期末）阅读理解：“若 满足 ，求 的
值”．
解：设 ，
则 ， ，
那么 ．
解决问题：
(1)若 满足 ，求 的值；
(2)若 满足 ，求 的值；
(3)如图，正方形ABCD的边长为 ，AE=14，CG=30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和
MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) ；
(2) ；(3)阴影部分的面积为：2256
【解析】
(1)
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴
＝
；
(2)
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ =2160，即 ；
(3)
∵正方形ABCD的边长为 ，AE=14，CG=30，
∴DE= -14，DG= -30，
∴
设 -14=a， -30=b，
∴a-b=（ -14）-（ -30）=16，
∵长方形EFGD的面积是500
∴ab=500，
∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形
∴ ，∴阴影部分的面积= ，
∴阴影部分的面积= ，
∴阴影部分的面积为：2256．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式的性质，从而完成求解．
12．（2022·福建厦门·七年级期末）为了促进“资源节约和环境友好型”社会建设，引导居民合理用电．
某市结合实际，决定提供两种家庭用电计费方式供居民选择．
方式一：峰谷计价．收费标准为：
峰时段（上午8:00～晚上21:00）用电的电价为0.65元/度，谷时段（晚上21:00~次日晨8:00）用电的电价
为0.35元/度．
方式二：阶梯计价．收费标准如下表：
不超过200 超过400度的部
居民一个月用电量 超过200度但不超过400度的部分
度 分
电价（单位：
0.50 0.60 0.75
元/度）
(1)若该市居民小王家某月用电300度，其中，峰时段用电200度，谷时段用电100度．他家选择哪种计费
方式费用较低？
(2)若该市居民小张家某月总用电量为a度，其中80%为峰时段的用电量．请用含a的式子分别表示两种计
费方式应缴的电费．
【答案】(1)选择方式二费用较低
(2)按方式一计费方式应缴电费0.59a元；方式二计费时，当a不超过200时，电费为0.5a元；当a超过
200，但不超过400时，电费为 元；当a超过400时，电费为 元
【解析】
(1)
解：方式一：
(元)方式二：
(元)
答：采用方式二计费比较低；
(2)
解：方式一：
(元)
方式二：
当a不超过200时，电费为：
(元)；
当a超过200，但不超过400时，电费为：
(元)；
当a超过400时，电费为：
(元)；
故小张家按方式一计费方式应缴电费0.59a元；方式二计费时，当a不超过200时，电费为0.5a元；当a
超过200，但不超过400时，电费为 元；当a超过400时，电费为 元．
【点睛】此题主要考查了列代数式，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系，注意分类讨论思想的应
用．
13．（2021·河北·石家庄市第十九中学七年级期末）（1）①如图1，已知正方形 的边长为 ，正方
形 的边长为 ，长方形 和 为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差的形
式）；
②将图1中的长方形 和 剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形 的面积是______（写
成多项式相乘的形式）；
（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．
（3）利用所得公式计算：
【答案】（1）① ；② ；（2） ；（3）4
【解析】
解：（1）①∵正方形 的面积是 ，正方形 的面积是 ，
∴阴影部分的面积是 ，
②由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，
∴长方形 的面积是 ，
故答案为：① ；② ；
（2）由（1）可得到 ，
故答案为： ；（3）原式=
=
，
，
=4．
【点睛】
此题考查平方差公式的推导，利用平方差公式计算，正确掌握平方差的公式进行计算是解题的关键．
14．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，现有一块长为(4a+b)米，宽为(a+2b)米
的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若a=2，b=3，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元?
【答案】(1)（3a2+9ab+2b2）平方米；
(2)完成绿化共需要8400元．
【解析】
(1)
解：S=（4a+b）（a+2b）-a2
=4a2+8ab+ab+2b2-a2
=（3a2+9ab+2b2）平方米；
(2)
解：当a=2，b=3时，
S=3×22+9×2×3+2×32=84平方米，
100×84=8400元．
答：完成绿化共需要8400元．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式以及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
15．（2022·湖南永州·七年级期末）探究题
已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形
状拼成一个正方形．
(1)你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少?
(2)请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一：
方法二：
(3)观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
(m+n) 、 (m n) 、mn
(4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=3，求(a b) 的值．
【答案】(1)m-n
(2)(m-n) ；(m+n) -4mn
(3)(m-n) =(m+n) -4mn
(4)24
【解析】
(1)
解：由题意，图乙中阴影部分的正方形的边长等于m-n；
(2)
图乙中阴影部分的面积可表示为：方法一：(m+n) -4mn；方法二：(m-n) ；
(3)
由图乙中阴影部分的面积可得等式(m+n) -4mn=(m-n)
(4)
由（3）得，(m+n) -4mn=(m-n) ，可得(a-b) =(a+b) -4ab
当a+b=6，ab=3时(a-b) =62-4×3=36-12=24
即(a-b) =24．
【点睛】
本题考查运用完全平方公式几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形准确列式并能归纳、应用等量关
系．
