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专练 06 填空题-压轴（20 题）
1．（2021·广东惠东·七年级期末）观察下列等式：
……
请按上述规律，写出第 个式子的计算结果（ 为正整数）______．（写出最简计算结果即可）
【答案】
解：由题意可知，第n个式子为：
故答案为： ．
【点睛】
考查了规律型：数字的变化规律，有理数的混合运算．解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题．
2．（2020·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的
程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度， 表示第n秒时机器人
在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正
确结论的序号是_______．
【答案】①②④
根据题意可知：
x=1，x=2，x=3，x=2，x=1，
1 2 3 4 5
x=2，x=3，x=4，x=3，x =2，
6 7 8 9 10
x =3，x =4，x =5，x =4，x =3，
11 12 13 14 15
…由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x=1，第二个循环节结束的数即x =2，第三个循环节结束的数即
5 10
x =3，…，即第m个循环节结束的数即x =m．
15 5m
∵x =20，
100
∴x =21，x =22，x =23，x =22，
101 102 103 104
∵x =21，
105
∴x =22，x =23，x =24
106 107 108
故x ＞x ，故③错误，不合题意；
108 104
∵x =403，
2015
∴x =404，x =405，x =406，x =405，x =404，
2016 2017 2018 2019 2020
故x ＞x ，故④正确．符合题意．
2019 2020
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把
数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让
n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
3．（2020·浙江浙江·七年级期末）如图所示，在数轴上，点 表示1，现将点 沿轴做如下移动，第一次
点 向左移动3个单位长度到达点 ，第二次将点 向右移动6个单位长度到达点 ，第三次将点 向左
移动9个单位长度到达点 ，按照这种移动规律移动下去，第 次移动到点 ，如果点 与原点的距离
不小于20，那么 的最小值是_______．
【答案】13
解：当 为奇数时，点 在点 的左边，所表示的数依次减少3；当 为偶数时，点 在点 的右边，所
表示的数依次增加3．设点 表示的数为 ，则由此规律，得 ， ， ， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， ，
．故当点 与原点的距离不小于20时， 的最小值为13．
故答案是：13．
【点睛】
本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是归纳总结数轴上的点运动的规律．
4．（2020·浙江杭州·七年级期末）若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示
（1）数轴上表示-1和x的两点之间的距离是___________
（2）若数轴上一点表示x，则当代数式 取最小值时，满足条件的整数x的值可以是
___________．
【答案】 . -1,0,1..
（1）解：由两点之间的距离表示 得，
-1和x的两点之间的距离为 ，
故答案为： .
（2）若代数式 取最小值，由两点之间的距离表示 可知， 表示-1和x的两点之间的距
离， 表示1和 的两点之间的距离，而要使 取最小值，当且只有表示 的点在 和 之间
的线段上，所以 .故整数x可取：-1,0,1.
故答案为：-1,0,1..
【点睛】
本题考查了数轴的性质、数轴上两点间距离的计算，在解第（2）题时，针对 能否翻译成数学的
语言是解题的关键.
5．（2021·湖北汉阳·七年级期末）若 ， ， 是整数， 是正整数，且满足 ， ，
，则 的最大值是______．
【答案】-11
解：∵a+b=c①，b+c=d②，
c+d=a③，
由①+③，得（a+b）+（c+d）=a+c，
∴b+d=0④，
b+c=d②；
由④+②，得2b+c=b+d=0，
∴c=-2b⑤；
由①⑤，得a=c-b=-3b，⑥
由④⑤⑥，得a+2b+3c+4d=-11b，
∵b是正整数，其最小值为1，
∴a+2b+3c+4d的最大值是-11．
故答案为：-11．
【点睛】
本题主要考查整式的加减、等式的基本性质，根据已知等式变形成a、c、d全部用同一个字母b来表示是
解题的关键．
6．（2021·陕西·高新一中七年级期末）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个
三角形；第三个图形中有9个三角形；…，则第15个图形中有____个三角形．
【答案】57
解：第1个图形中一共有1个三角形，
第 2个图形中一共有1+4=5个三角形，
第 3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，
…，
第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，
当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．
故答案为：57．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．7．（2021·山东五莲·七年级期末）将数 个 ， 个 ， 个 ，…， 个 （ 为正整数）顺次排成一列 ，
， ， ， ， ，… ， …记 ， ， ，…， ， ，
，…， ，则 __________．
【答案】4041
解： ， ， ， ，
，
由题意可得，
∵ ，
∴
故答案为：4041．
【点睛】
此题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出 ，
．
8．（2021·重庆实验外国语学校七年级期末）将1，2，…，50这50个正整数任意分成25组，每组两个数．
现将每组两个数中的一个记为x，另一个记为y，代入代数式 （|x﹣y|﹣x﹣y）中进行计算，并求出结果．
将这25组都代入后，可求得25个值，则这25个值的和的最小值是_____．
【答案】-625
解：假设 ，
则 ，
所以，当这25组数较大的数是2，4，6，8，...，48，50时，对应数分别是1，3，5，7，..，47，49时和最小，
最小值为-（1+3+5+7+...+49）=-625，故答案为：-625．
故答案为：-625．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类、代数式求值与有理数的混合运算，通过假设，把所给代数式化简，然
后判断出各组中较大的数 恰好是26到50时这25个值的和最大是解题的关键．
9．（2021·四川双流·七年级期末）对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位
数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．对任意一个“平衡数”M，将M的千位数字与十位数字对调，
百位数字与个位数字对调得新数N，记 ．若A，B是“平衡数”，且A的千位为5，B的个
位为7，当 时，则 的最大值为______．
【答案】10
解：设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d，
根据题意得： ，
则 ．
设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵a为十位上的数字，a最小取0，
∴b的最大值为3．
则 的最大值为3+7=10．
故答案为：10．
【点睛】
此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“平衡数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键．
10．（2021·安徽埇桥·七年级期末）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规
律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．
【答案】440
观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：
（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子
（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子的个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为 ，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【点睛】
本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
11．（2021·河北曲阳·七年级期末）如图，把 放在量角器上，读得射线 、 分别经过刻度117和
153，把 绕点 逆时针方向旋转到 ，下列三个结论：① ；②若射线 经过刻
度27，则 与 互补；③若 ，则射线 经过刻度45．其中正确的是
__________________（填序号）
【答案】①②③
∵射线 、 分别经过刻度117和153∴
把 绕点 逆时针方向旋转到 ，得
∵ ，
∴ ，即①正确；
∵射线 经过刻度27
∵
∴射线 经过刻度为：
∴
∴
∴ ，即②正确；
∵ ，且
∴
∴
∴射线 经过刻度为： ，即③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解．
12．（2021·湖南邵阳·七年级期末）如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为 ，动点P从O点出发，
按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点 处，第2次从 点跳动到 的中点 处，第3次从
点跳动到 的中点 处，…，第n次从 点跳动到 的中点 处，按照这样的规律继续跳动到
点 ， ， ，…， （ ，n是整数）处，那么 点所表示的数为_________．
【答案】
解：∵A表示的数是 ，∴
∵ 是AO的中点，
∴ ，
同理 ， ，…， ，
∴ ，
∵ 在负半轴，
∴ 点所表示的数是 ．
故答案是： ．
【点睛】
本题考查找规律，解题的关键是根据数轴上中点的性质找出点表示的数的规律．
13．（2021·重庆八中七年级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点
与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角
形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当
直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．
【答案】 或
平分 ，
，以每秒 的速度绕点O逆时针旋转， 以每秒 的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当 平分 时，
解得
，
②如图2，当 平分 时，
解得故答案为： 或
【点睛】
本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋
转之前的图形是解题的关键．
14．（2021·河南郑州·七年级期末）如图1，点C在线段 上，图中共有三条线段 、 和 ，若其
中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段 的“好点”；如图2，已知
．动点P从点A出发，以 的速度沿 向点B匀速运动；点Q从点B出发，以 的
速度沿 向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为 ，
当 ______s时，Q为线段 的“好点”．
【答案】 或8
∵动点P从点A出发，以 的速度沿 向点B匀速运动
∴点P到达终点时，用时为：
∵点P，Q同时出发，点P速度 点Q速度，且当其中点P到达终点时，运动停止
∴
如图，Q为线段 的“好点”
∵点Q从点B出发，以 的速度沿 向点A匀速运动
∴ ，则
根据题意，分 、 、 三种情况分析；
当 时，∴
∵
∴ 符合题意；
当 是，
∴
∵
∴ 不符合题意；
当 时，
∴
∵
∴ 符合题意
故答案为： 或8．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、线段的性质，从而完成求
解．
15．（2021·四川龙泉驿·七年级期末）将长为2，宽为a的长方形纸片（1＜a＜2）如图那样折一下，剪下
一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个
边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若第3次操作后，剩下的长
方形恰好是正方形，则a的值为_____．
【答案】1.2或1.5
解：解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2-a，由1＜a＜2，得a＞2-
a，第2次操作，剪下的正方形边长为2-a，所以剩下的长方形的两边分别为2-a、a-（2-a）=2a-2，①当2a-2＜2-a，即a＜ 时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-2，剩下的长方形的两边分别为
2a-2、（2-a）-（2a-2）=4-3a，则2a-2=4-3a，解得a=1.2；
②2a-2＞2- a，即a＞+ 时则第3次操作时，剪下的正方形边长为2-a，剩下的长方形的两边分别为2-a、
（2a-2）-（2-a）=3a-4，则2-a=3a-4，解得a=1.5．
综上，a的值为1.2或1.5，
故答案为：1.2或1.5．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用及分类讨论思想是解题的关键．
16．（2021·四川开江·七年级期末）若关于x的方程 ，无论k为任何数时，它的解总是
，那么 _______．
【答案】
解：将 代入 ，
，
，
由题意可知：无论 为任何数时 恒成立，
，
， ，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解．
17．（2021·重庆北碚·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的
顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是
甲的速度的3倍，则它们第2018次相遇在边______．【答案】DC
解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方
形的每一条边平均分成2份，由题意知：
第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，在AD边相遇；
第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，在DC边相遇；
第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，在CB边相遇；
第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，在AB边相遇；
∵2018=504×4+2，∴甲、乙第2018次相遇在边DC上．
故答案为：DC．
【点睛】
本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解
决问题．
18．（2021·河南通许·七年级期末）如图，长方形 中， ， ，点 是 的中点，
动点 从 点出发，以每秒 的速度沿 运动，最终到达点 .若点 运动的时间为 秒，
那么当 _____________秒时， 的面积等于 .
【答案】 或5
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=3，AB=CD=4
如图1，当点P在AB上，即0
