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专练 06 填空题-压轴（20 题）
1．（2021·重庆南开中学八年级期末）在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，将△ACM沿AM翻折至
△AEM，连结CE，BE，延长AM交EC于F，若 ，则BE＝___．
【答案】 ．
四边形 是矩形，
， ， ，
是 的中点，
，
由折叠的性质可知， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
垂直平分 ，
， ，
是 的中点，
，在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
，
设 ，
则 ，
解得： ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题四边形的综合题，考查了矩形的性质，图形的折叠，全等三角形的性质，勾股定理等知识．
2．（2021·河南卧龙·八年级期末）如图，在 和 中， ， ，
，点 、 、 在同一条直线上，连结 、 ，下面四个结论：① ；② ；③
；④ ，其中正确的结论是______（只需填写序号）．
【答案】①②③．
解：①∵ ，
∴ ．
∴ ．在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，故①正确；
②∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．故②正确；
③∵ ，
∴ ．
∴
∴ ．故③正确；
④∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
∴ ．故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，
勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．
3．（2021·湖北武汉·八年级期末）如图，将长方形纸片 对折后再展开，形成两个小长方形，并得到
折痕 ， 是 上一点，沿着 再次折叠纸片，使得点 恰好落在折痕 上的点 处，连接 ，．设 ， ， ，用含 的式子表示 的面积是______．
【答案】 ．
解：∵∠C=90°，
∴NC= ，
由翻折可知， AM= NC= ，AB′=AB= ，
MB′= ，
的面积为： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了轴对称变换的性质，勾股定理，解题关键是把握轴对称的性质，找到题目中相等的相等，根据
勾股定理求出线段长．
4．（2021·全国·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中， 是边长为 的等边三角形， 是
边上的高，点 是 上的一个动点，若点 的坐标是 ，则 的最小值是________．【答案】
解：如图，
过B作BE⊥y轴于E，连接BP，
∵△OAB是边长为 的等边三角形，OD是AB边上的高，
∴OD是中线，
∴OD垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC，
当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，
∵ ，OB＝ ，
∴BE＝ ，OE＝3，
又∵点C的坐标是（0， ），
∴OC＝ ，CE＝4，
∴Rt△BCE中，BC＝ ＝ ＝ ，
即PA+PC的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PC的最
小值的线段是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5．（2021·山东庆云·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在直线 图象上，过 点作
A B C D
轴平行线，交直线 于点 ，以线段 为边在右侧作正方形 1 1 1 1， 所在的直线交
的图象于点 ，交 的图象于点 ，再以线段 为边在右侧作正方形 依此类推，按照
图中反应的规律，第 个正方形的边长是_______．
【答案】
解：由题意， ， ，
，
第一个正方形的边长为2，
，
， ，
，
第二个正方形的边长为6，
，
， ，即： ， ，
，
第三个正方形的边长为18，， ，即： ， ，
，
可得 ， ， ， ，
第2020个正方形的边长为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题
型．
6．（2021·河北赞皇·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线
l，l，过点（1，0）作x轴的垂线交l于点A，过点A 作y轴的垂线交l 于点A，过点A 作x轴的垂线交
1 2 l 1 1 2 2 2
l 于点A，过点作y轴的垂线交l 于点A，…依次进行下去．则点A 的坐标为__；点 的坐标为_____;点
1 3 2 4 4
A 的坐标为____．
2021
【答案】（4，﹣4） （﹣8，8） （21010，21011）
解：观察，发现规律：
A（1，2），
1
A（-2，2），
2
A（-2，-4），
3
A（4，-4），
4
A（4，8），…，
5
∴“A （22n，22n+1），A （-22n+1，22n+1），A （-22n+1，-22n+2），A （22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，
4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
∵6=1×4+2，A（﹣8，8）
6
∵2021=505×4+1，
∴A 的坐标为（21010，21011）．
2021
故答案为：（4，﹣4）； （﹣8，8）；（21010，21011）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A
4n+1
（22n，22n+1），A （-22n+1，22n+1），A （-22n+1，-22n+2），A （22n+2，-22n+2）（n为自然数）”．
4n+2 4n+3 4n+4
7．（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，将一块等腰直角三角板 放置在平面直角坐标系中，
，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限， 所在直线
的函数表达式是 ，若保持 的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴
上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是_______．
【答案】
解：当x=0时，y=2x+2=2，
∴A（0，2）；
当y=2x+2=0时，x=-1，
∴C（-1，0）．
∴OA=2，OC=1，
∴AC= = ，
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD．
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=2，DB=OC=1，
OD=OC+CD=3，
∴点B的坐标为（-3，1）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC= ，
∴OE=CE= AC= ，
∵BC⊥AC，BC= ，
∴BE= = ，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE= ，
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE= ，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；
求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关
键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（2021·湖北江汉·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D(0，2)，点F(1，0)，线
段DE和EF构成一个“L”形，另有点A(﹣1，5)，点B(﹣1，﹣1)，点C(6，﹣1)，连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为_____；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为_____．
【答案】(0，1) (3.5，0)
解：（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′
+D′E′+BE′的值最小，
观察图像可知E′（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．
∵AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，
∴AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，
∵ ，
∴欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N
（5，﹣1）的距离和最小（如图），连接MN交x轴于P，此时PM+PN的值最小，
设直线MN的解析式为 ，
，
解得： ，
∴直线MN的解析式为 ，
∴点P的坐标为（3.5，0），
∴点E的坐标为（3.5，0）．
故答案为：（3.5，0）．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思
考问题，属于中考常考题型．
9．（2021·重庆綦江·八年级期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品
质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉
制成 、 、 三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含 条 品牌毛巾、 条 品
牌毛巾；乙礼包含 条 品牌毛巾、 条 品牌毛巾， 条 品牌毛巾；丙礼包含 条 品牌毛巾、 条
品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对 、 、 三个品牌毛
巾的售价分别打 折、 折、 折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2
日一个乙礼包售价的 ，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少 元，若 、 、
三个品牌的毛巾原价都是正整数，且 品牌毛巾的原价不超过 元，则小明在5月1日购买的二个甲礼
包和一个乙礼包，应该付_______________________元．【答案】
解：设 、 、 三种品牌的毛巾的单价分别为每条 元， 元， 元，则
且 为正整数，
消去 可得：
所以小明在5月1日购买的二个甲礼包和一个乙礼包需要付钱：
（元）
故答案为： 元
【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的正整数解，掌握用代数式表示需要的量及寻找相等关系是解题的关键.
10．（2021·河南济源·八年级期末）如图，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的
角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度
数为 _______
【答案】 或 或
解： 外角 ， 的角平分线交于点 ，∴ ；
如图示，延长 至 ，
为 的外角 的角平分线，
是 的外角 的平分线，
，
平分 ，
，
，
，
即 ，
又 ，
∴，即 ；
;
如果 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
① ，则 ， ；
② ，则 ， ， ；
③ ，则 ，解得 ；
④ ，则 ，解得 ．
综上所述， 的度数是 或 或 ．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的
内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
11．（2019·辽宁沈河·八年级期末）已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，
则∠BQC＝_________．（用α，β表示）
【答案】 (α+β)．
解：连接BC，∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3= ∠ABP，∠4= ∠ACP，
∵∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，
∴∠3+∠4= （β-α），
∵∠BQC=180°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=180°-（180°-β）- （β-α），
即：∠BQC= （α+β）．
故答案为： （α+β）．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．
12．（2018·山东南区·八年级期末）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点
F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．
【答案】80
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA= ∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
13．（2021·广东龙岗·八年级期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，
1
第二次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E，
1 1 2第三次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E，…，
2 2 3
第n次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E．
n﹣1 n﹣1 n
若∠E=1度，那∠BEC等于________度
n
【答案】2n ．
如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E，
1
∴∠CE B=∠ABE +∠DCE = ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC．
1 1 1
∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E，
1 1 2
∴∠BE C=∠ABE +∠DCE = ∠ABE + ∠DCE = ∠CE B= ∠BEC；
2 2 2 1 1 1
如图②，∵∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E，
2 2 3∴∠BE C=∠ABE +∠DCE = ∠ABE + ∠DCE = ∠CE B= ∠BEC；
3 3 3 2 2 2
…
以此类推，∠E= ∠BEC．
n
∴当∠E=1度时，∠BEC等于2n度．
n
故答案为2n ．
点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关
键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这
个角的平分线．
14．（2020·浙江·杭州育才中学八年级期末）如图，点E在 边DB上，点A在 内部，∠DAE
＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
【答案】①③
解：∵ DAE＝ BAC＝90°，
∴ DAB＝ EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴ AED= ADE= ABC= ACB=45°，
∵在 DAB和 EAC中，
，
∴ DAB≌ EAC，
∴BD＝CE， ABD＝ ECA，故①正确；
由①可得 ABD= ACE<45°， DCB>45°故②错误；
∵ ECB+ EBC= ABD+ ECB+ ABC= ACE+ ECB+ ABC =45°+45°=90°，∴ CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；
∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．
∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定
理公式是解题关键．
15．（2021·湖南·张家界市民族中学八年级期末）如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将
△ABE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交 CD 于 G，接 CF，AG．下列结论：① AE∥FC; ②∠EAG
45°，且BE DG EG ；③ ；④ AD 3DG ，正确是_______ (填序号)．
【答案】①②④
解：①由折叠可得△ABE≌△AFE，
∴∠BEA=∠AEF，BE=EF，
∵E是BC中点，
∴BE=CE=EF，
∴△EFC是等腰三角形，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠EFC+∠FEC，
∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF，
∴AE∥FC，故①正确；
②∵四边形ABCD是正方形，且△ABE≌△AFE，
∴AB=AF=AD，∠B=∠D=∠AFG，
∴△AFG和△ADG是直角三角形，
∴在Rt△AFG和Rt△ADG中 ，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），
∴∠FAG=∠GAD，
又∵∠BAF+∠FAD=90°，
∴2∠EAF+2∠FAG=90°，
即∠EAF+∠FAG=45°，
∴∠EAG=45°，
由全等得：BE=FE，DG=FG，
∴BE+DG=EF+GF=EG，故②正确；
③对于Rt△ECG，
S = ×EC×CG= × × = ，
△ECG
∵EF：FG= ： =3：2，
则S ：S =3：2，即S = ，
△EFC △FCG △EFC
又∵S =a2，
ABCD
则S ：S = ： ，即S = S ，故③错误；
△CEF △ABCD △CEF ABCD
④设正方形的边长为a，
∴AB=AD=AF=a，BE=EF= =EC，
由勾股定理得AE= = ，
设DG=x，则CG=a-x，FG=x，
EG= +x，
∴EG2=EC2+CG2，即（ +x）2=（ ）2+（a-x）2，
解得x= ，CG= ，
即AD=3DG成立，故④正确．
【点睛】
本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
16．（2018·江苏泰兴·八年级期末）如图， ， ， ， ，若 ，
，则 ______．
【答案】26
【解析】
∵
∴∠DCE=∠ACB=90
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
在 CBD和 CAE中
∴ CBD CAE,
∴∠BDC=∠AEC,
设CD与AE的交点为M,
∵∠AMD=∠EMC
∴∠DCE=∠DOE=90
∴BD AE
∴由勾股定理得：
∴
∵
由勾股定理得： =8, =18,
∴ =18+8=26故答案为26
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，灵活有关定理是解题的关键．
17．（2018·四川宜宾·八年级期末）如图，在 中， ， ， 的高 与角平
分线 相交点 ，过点 作 于 ，交 于 ．下列说法：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ .正确的是_____.
【答案】①③⑤
【解析】
（1）∵CH⊥AE于点G，∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠ACB=90°，
∴∠BCH+∠CEA=∠CEA+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH；（故说法①成立）
（2）如下图，连接BF，过点F作FN⊥BC于点N，
∵AB=AC，AD是高，
∴AD平分∠ACB，
又∵AE平分∠BAC，且AE交CD于点F，
∴BF平分∠ABC，
∴DF=NF，
又∵NF
