文档内容
专题 8-2 圆锥曲线综合大题归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】求根型.........................................................................................................................................................2
【题型二】最值型.........................................................................................................................................................3
【题型三】多斜率计算型...........................................................................................................................................5
【题型四】韦达定理复杂转化型.............................................................................................................................5
【题型五】线段（向量）定比型.............................................................................................................................6
【题型六】求轨迹方程型...........................................................................................................................................7
【题型七】定点定值定曲线型..................................................................................................................................8
【题型八】非对称非伟达型......................................................................................................................................9
专题训练.........................................................................................................................................................................10
讲高考
1．（普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））已知动圆过定点 ，且与
直线 相切，其中 ．
(1)求动圆圆心 的轨迹的方程；
(2)设 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当
变化且 为定值 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
2．（2021年北京市高考数学试题）已知椭圆 一个顶 点 ，
以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC
分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
3．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是
抛物线的准线与x轴的交点，且 ，（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依
次交于点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准
线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
5．(2020年天津市高考数学试卷)已知椭圆 的一个顶点为 ，右
焦点为 ，且 ，其中 为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为
圆心的圆相切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
题型全归纳
【题型一】求根型
【讲题型】
x2 y2 1
例题1.已知椭圆 + =1(a＞b＞0)的离心率为 ，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|
a2 b2 2
=3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点F做互相垂直的两条直线l，l 分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN
1 2
分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线．
例题2.已知抛物线方程y2=4x,F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线
|PF|
的交点，定义：d(P)= .
|FQ|( 8)
（1）当P −1,− 时，求d(P)；
3
（2）证明：存在常数a，使得2d(P)=|PF|+a；
（3）P ,P ,P 为抛物线准线上三点，且|P P |=|P P |，判断d(P )+d(P )与2d(P )的
1 2 3 1 2 2 3 1 3 2
关系.
【讲技巧】
求根型有以下几种：
1.知道一根求另一根
2.求根公式型
3.韦达定理型
【练题型】
1、如图所示，椭圆 的离心率为 ，其右准线方程为 ，A、B分
别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为 、 ，直线AM和直线BN分别与椭圆
C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点 ，求证： 为定值.
2.已知椭圆 的右焦点为 ，点A， 分别为右顶点和上顶点，点
为坐标原点， ， 的面积为 ，其中 为 的离心率．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 异于坐标轴的直线与 交于 ， 两点，射线 ， 分别与圆
交于 ， 两点，记直线 和直线 的斜率分别为 ， ，问 是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，请说明理由．
【题型二】最值型
【讲题型】
例题1.已知焦点在 轴上的椭圆 ，离心率为 ，且过点 ，
不过椭圆顶点的动直线 与椭圆 交于 、 两点，求：
（1）椭圆 的标准方程；
（2）求三角形 面积的最大值，并求取得最值时直线 、 的斜率之积.例题2.已知椭圆 的右焦点为 ，若过点 的直线与椭圆交于
， 两点，且 的中点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的右顶点为 ，点 ， 在椭圆 上，且满足直线 与 的斜率之积为
，证明直线 经过定点，并求 面积的最大值．
【讲技巧】
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆
锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求
这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单
调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
3、此类问题通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数
的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．
比较多的是分式型，以下几种求最值的基本方法：
（1）
（2） 与 型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造
均值或者对勾函数求解。
（3） 型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
【练题型】
1.已知椭圆C: 的离心率为 ,且过
(1)求C的方程.
(2)若 为 上不与 重合的两点, 为原点,且 , ,
①求直线 的斜率;
②与 平行的直线 与 交于 , 两点,求 面积的最大值.
2.如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段
上，直线 分别交直线 于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
【题型三】多斜率计算型
【讲题型】
例题1.点 与定点 的距离和它到直线 的距离之比是常数 ，设
点 的轨迹为曲线 .直线 与抛物线 交于 ， 两点，与曲线 交于 ， 两
点，设直线 ， ， ， （ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ， ， ，若
.
（1）求曲线 的方程；
（2）是否存在常数 ，满足 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理
由.
例题2.椭圆 ： 的离心率 ，长轴端点和短轴端点的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 是圆 上异于点 和 的任一点，直线 与椭
圆 交于点 ， ，直线 与椭圆 交于点 ， .设 为坐标原点，直线 ， ，
， 的斜率分别为 ， ， ， .问：是否存在常数 ，使得
恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【练题型】
1.已知 中， ， ， ，点 在 上，且 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，记
， ， 的斜率分别为 ， ， ，求证： 为定值.
2.已知点 在椭圆 上， ， 分别为椭圆 的左、右焦点，过点
的直线 与椭圆 有且只有一个公共点，直线 平行于 （ 为原点），且与椭圆 交于两点 、 ，与直线 交于点 （ 介于 、 两点之间，且点 在 左侧）.
（1）当 面积最大时，求 的方程；
（2）求证： ；并判断 ， ， ， 的斜率是否可以按某种顺
序构成等比数列？
【题型四】韦达定理复杂转化型
【讲题型】
例题1.已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，且椭圆 上的点到两
个焦点的距离之和为 .
（1）求椭圆 的方程；（2）设 为椭圆 的左顶点，过点 的直线 与椭圆交于点 ，
与 轴交于点 ，过原点且与 平行的直线与椭圆交于点 .求 的值.
例题2.设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 ，
点A的坐标为 ，且 .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若
(O为原点) ，求k的值.
【讲技巧】
复杂型的韦达定理转化，比较多的是与角度，面积等有关，可以借助公式转化为两两交
点坐标韦达定理形式，需要多积累多观察多总结。
【练题型】
1.已知 分别为椭圆 的左、右焦点，B为椭圆C短轴的端点，
若 的面积为 ，且 .（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线 与椭圆C交于 ，M为线段 的中点，
且M在曲线 上，设O为坐标原点.求 的范围.2.已知椭圆 ： ，圆 ： 的圆心 在椭
圆 上，点 到椭圆 的右焦点的距离为2． （1）求椭圆
的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
【题型五】线段（向量）定比型
【讲题型】
例题1.已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，A，F分别
为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，
的面积为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分
别交于P，Q两点， ，求实数 的取值范围.
例题2.已知双曲线E： 与直线l： 相交于A、B两点，M为线段AB的中
点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B
是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【讲技巧】
对于形如
的线段或者向量定比分点型：
1.利用公式 ，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
【练题型】
1.已知点M，N分别是椭圆 的右顶点与上顶点，原点O到直线
的距离为 ，且椭圆的离心率为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点 ，并且与椭圆交于A，B两点，若 ，求直线 的方程．
2.．已知P是椭圆 上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为
，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2.
（1）求椭圆C的方程；
【题型六】求轨迹方程型
【讲题型】
例题1．已知双曲线 与直线 ．
(1)若直线 与双曲线C相交于A，B两点，点 是线段AB的中点，求直线 的方程；
(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于
， 两点．当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么
曲线．
例题2.已知双曲线 ，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点．
(1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行
四边形 的面积为定值；
(2)若 ，D为垂足，求点D的轨迹的长度．
【讲技巧】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将 代入 .
【练题型】
1.已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 分别在椭圆 和直线 上， ， 为 的中点，若 为直线 与
直线 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得 始终在该曲线上？若存在，求出该曲
线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
2.设F为抛物线 的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点.(1)若 ，求此时直线l的方程；
(2)若与直线l垂直的直线 过点F，且与抛物线C相交于点M，N，设线段AB，MN的中点
分别为P，Q，如图1.求证：直线PQ过定点；
(3)设抛物线C上的点S，T在其准线上的射影分别为 ， ，若 的面积是△STF的
面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程.
【题型七】定点定值定曲线型
【讲题型】
例题1.抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点．
(1)求 的准线方程；
(2)若 是直线 上的一动点，过 向 作两条切线，切点为M，N，试探究直线
MN是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.
例题2.已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 与 轴相切，且圆
心 与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 和圆 的方程；
(2)设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于两个
不同的点 和点 .且 ，证明：点 在一条定
曲线上.
【讲技巧】
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之
积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.
【练题型】
1.在平面直角坐标系中 ，椭圆 的离心率为 ，点 在
椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 ．求证：直线 恒过x轴上一定点.2.已知F是抛物线C： 的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C
交于A，B两点，且 .
(1)求抛物线C和圆F的方程；
(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别
为M，N，请问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【题型八】非对称非伟达型
【讲题型】
例题1.已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C
交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
例题2.已知椭圆 的离心率 ， 为椭圆的右焦点， 为椭圆上
的动点， 的最大值为3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2） ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，直线
、 交于点 ，试探究点 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若
不是，请说明理由.
【练题型】
1.已知椭圆 ： ，点 、 分别为椭圆 的左右顶点，点 、
分别为椭圆 的左右焦点，过点 任作一条不与y轴垂直的直线与椭圆 交于 、
两点， 的周长为8.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否在某条定直线点 上，若是，求出
的值；若不是，请说明理由.
2.设椭圆 的离心率为 ，直线 过椭圆的右焦点 ，与椭圆交于点
；若 垂直于 轴，则 .
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左右顶点分别为 ，直线 与直线 交于点 .求证：点 在定直线
上.1．已知椭圆 经过点 ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2) 为椭圆的右焦点，直线 垂直于 轴，与椭圆交于点 ， ，直线 与 轴交于
点 ，若直线 与直线 交于点 ，证明：点 在椭圆上．
2．已知椭圆C： 的焦点 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求
的取值范围．
3．已知双曲线 的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为 ，
过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，
点A，C在第一象限，O为坐标原点．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设 ， ， 的面积分别是 ， ， ，若不等式
恒成立，求 的取值范围．
4．已知抛物线E： （p>0），过点 的两条直线l，l 分别交E于AB两点和
1 2
C，D两点．当l 的斜率为 时，
1
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
5．已知抛物线 ，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切
点作C的切线，相交于点P．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令 的面积为 ，四边形PRFQ面积为 ，
求 的最小值．
6．已知点M，N分别是椭圆 的右顶点与上顶点，原点O到直线
的距离为 ，且椭圆的离心率为 ．
(1)求椭圆C的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点 ，并且与椭圆交于A，B两点，点P在椭圆上，O
为原点，若 ，求直线 的方程．
7．如图，已知 ，直线l： ，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点
Q，且 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设 ，
，证明 定值，并求 的取值范围．
8．已知椭圆C： 的离心率是 ，点 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)直线l： 与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点P（点 不与原点重合），
使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P的坐标；若
不存在，请说明理由.
9．如图，椭圆 的焦点分别为 为椭圆 上一
点， 的面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 分别为椭圆 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 交椭圆 于 （ 在上方，
在下方，且均不与 点重合）两点，直线 的斜率分别为 ，且 ，
求 面积的最大值.
10．已知在△ABC中，以B为坐标原点，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a＝
4，若 ．(1)求A点的轨迹方程C；
(2)已知坐标原点为O，若过点 的两条直线与C分别交于M，N两点，设 ，
，两直线斜率分别为 ， 且 ，连接M，N交x轴于点Q，△OMQ，
△OMN面积分别为 ， ，求 的最大值．
