文档内容
专题 8-3 圆锥曲线小题综合
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................6
【题型一】圆锥曲线定义型......................................................................................................................................6
【题型二】焦点弦与焦半径型..................................................................................................................................8
【题型三】定比分点..................................................................................................................................................11
【题型四】离心率综合.............................................................................................................................................13
【题型五】双曲线渐近线型....................................................................................................................................15
【题型六】抛物线中的设点计算型......................................................................................................................18
【题型七】切线型.......................................................................................................................................................20
【题型八】切点弦型..................................................................................................................................................22
【题型九】曲线轨迹型.............................................................................................................................................25
专题训练.........................................................................................................................................................................28
讲高考
1．（2017·全国·高考真题）已知双曲线 满足 ，且与椭圆
有公共焦点，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得 的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ，
因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ，
又因为双曲线 满足 ，即 ，
又由 ，即 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
故选：A．
2．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线 分别是双曲线
的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近
线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于
、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分
别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
4．（2022·全国·统考高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在
C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据
，将 用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
5．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，
若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得
点 坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
6．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其
内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B
7．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可
得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形
面积的范围.
【详解】由 得, , ,
所以 可为的整数有0,-1,1,从而曲线 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),
(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距
离都不超过 . 结论②正确.
如图所示,易知 ,
四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即
“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础
知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
8．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，
过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从
而得到 ，根据直角三角形的条件，可以确定直线 的倾斜角为 或 ，
根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 ，利用
点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 ，利
用两点间距离公式求得 的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，
从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，
可以得出直线 的方程为 ，
分别与两条渐近线 和 联立，
求得 ，
所以 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的
距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双
曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线 的斜率，结合
过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
题型全归纳
【题型一】圆锥曲线定义型
【讲题型】
例题1.，抛物线 的焦点为 ，若对于抛物线上的任意点 ，
的最小值为41，则 的值等于______.
【答案】42或22
【详解】由题意，（1）当点 在抛物线的内部或曲线上时，则满足
，解得 ，
过点 点作抛物线的准线的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义，可得 ，所
以 ,
当 三点共线时，此时 的距离最小，且最小值为 ，可得 ，
解得 ；
（2）当点 在抛物线的外部时，则满足 ，解得 ，如图所示，
当 三点共线时， 的距离最小，且最小值为 ，即
，解得 或 （舍去），综上所述，实数 的值等于42
或22.故答案为：42或22.
例题2.已知双曲线 : 的左焦点为点 ,右焦点为点 ,点 为双
曲线 上一动点,则直线 与 的斜率的积 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为∵ ∴ 或 ，故 或 ，
故填 .
【讲技巧】
基本定义
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，
c0，且a，c为常数)
(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c
为常数且a>0，c>0).
(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
拓展定义
.A,B是椭圆C:+＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则
（可用点差法快
速证明）
2.A,B是双曲线C:－＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则
（可用点差法
快速证明）
【练题型】
1.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，
，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则
的最小值为____．
【答案】
【详解】如图所示，设抛物线的准线为 ，作 于点 ， 于点 ，
由抛物线的定义可设： ，由勾股定理可知：
，由梯形中位线的性质可得： ，则： .
当且仅当 时等号成立.即 的最小值为 .
2.已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆
与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 ， ，设四边形 的周长为 ，
面积为 ，且满足 ，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【详解】快捷解法
原题解法麻烦 如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设
，
由圆与双曲线的对称性可知，点 与点 关于原点对称，所以 ，
因为圆是以 为直径，所以圆的半径为 ，因为点 在圆上，也在双曲线上，
所以有 ，
联立化简可得 ，整理得 ，
， ，所以 ，因为 ，所以
， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，联立 可得 ， ，
因为 为圆的直径，所以 ,
即 ， ， ，， ， ，所以离心率 ．
【题型二】焦点弦与焦半径型
【讲题型】
例题1.如图，过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦 、 ，若
与 面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.
【答案】
【分析】
根据焦半径公式表示出面积表达式
，根据直
线和x轴夹角的范围得到面积的范围.
【详解】
设直线AC和x轴的夹角为 由焦半径公式得到
面积之和为：
通分化简得到
原式子化简为 根据二次函数的性质当t=1时有最
小值，此时 抛物线方程为： 。故答案为 .
题2.已知椭圆 的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使
得 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出 ，利用 得到 在区间 上有解，
结合端点值的符号得到 ，求出 的最小值.
【详解】易知 ，设 ，则 ，
所以 ，
即 ，即方程 在区间 上有解，
令 ，因为 ， ，
所以只需 即 解得： .故选：C.
【讲技巧】
1. 已 知 F 是 抛 物 线 的 焦 点 ， 点 P 在 抛 物 线 上 ， 则
2.若焦点弦 的倾斜角为 ，则 （横放）若 的倾斜角为 ，则
（竖放）
【练题型】
1.设抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且 ，
则弦长 ______．
【答案】
【详解】抛物线焦点坐标为 ，设点 设直线l方程为 ，由抛物线的定义有 ， 由 ，得
，即 .所以有 ，又由
得： ，
所以 ， 由(1),(2)联立解得： .又
故答案为：
2.设 分别为椭圆 的左､右焦点，若在直线 （c为半焦距）
上存在点P，使 的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，得到 ，求得 ，进而求得椭圆离心率的
范围.
【详解】如图所示，椭圆 ，可得焦距 ，
因为在直线 上存在点P，使 的长度恰好为椭圆的焦距，
可得 ，即 ，可得 ，即 ，解得
【题型三】定比分点
【讲题型】
例题1.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 作倾斜角为 的直线与椭圆
交于 两点，且 ，则椭圆的离心率=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D快解：
【详解】椭圆 的左右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线为联立直线与椭圆方程 消 后，化简可得
因为直线交椭圆于A，B，设 由韦达定理可得
且 ，可得 ，代入韦达定理表达式可得
即 化简可得 所以 故选：D．
例题2.抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若
⃑BA=4⃑BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为______．
4√3
【答案】 【详解】由题意可知：AF=3BF，结合焦半径公式有：
3
p 3p
= ，
1−cosα 1+cosα
1 π
解得：cosα= ,α= ，故直线AB的方程为：y=√3(x−1)，与抛物线方程联立可得：
2 3
3 y2−4√3 y−12=0，
√ (4√3) 2 8
则|y −y |= −4×(−4)= ，故△OAB的面积
1 2 3 √3
1 1 8 4
S= ×|OF|×|y −y |= ×1× = √3.
2 1 2 2 √3 3
【讲技巧】
1.过圆锥曲线的焦点 F 的弦 AB 与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
2. 已 知 AB 为 抛 物 线
的 焦 点 弦 ，
【练题型】
1.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，
且 ，则当 时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】因为 ，所以可设 ，由 ，得
，即 ，因为 在椭圆
上，所以 ，即 ，即
，即 ，即
在区间 上为增函数，所以 ，
即椭圆的离心率的取值范围为 .
x2 y2
+ =1 (a>b>0)
a2 b2
2.已知椭圆 ： 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （
）的直线与椭圆 相交于 两点．若 ，则 ＝________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知e＝ ，所以 ，所以 ， ，则椭
圆方程 ＝1变为 ．设A ，又 ＝3 ，所以
， 所 以 ， 所 以 ，
① ， ② ． ① － 9×② ， 得
，所以 ，所
以 ，所以 ， ，从而 ， ，所以 A
，B ，故 ．
【题型四】离心率综合
【讲题型】
例题1.已知椭圆 与双曲线 有公共
的左、右焦点 ,它们在第一象限交于点 ,其离心率分别为 ,以 为直径的圆恰好过点 ,则 ________.
【答案】 .【详解】由椭圆定义得 ，① 在第一象限，由双曲线定义得
，②
由①②得 ，因为 为直径的圆恰好过点 ,所以
， ， ，
，
，即 ，故答案为2.
例题2.已知 为双曲线 的左、右焦点， 是双曲线
右支上的一点，连接 并过 作垂直于 的直线交双曲线左支于 ，其中
， 为等腰三角形．则双曲线 的离心率为_．
【答案】 【解析】连接 并延长交右支于点 ，设 ，则 ，因
为双曲线是中心对称，且 ，所以四边形 是平行四边形．因 是等腰
三角形， ，所以 ，故 ，且 ，根据双曲
线的定义，有 ，所以 ，解得 ，所以
，所以 ， ．
【讲技巧】
解题时要把所给的几何特征转化为 的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得 ，利用 或 求解；
（2）根据条件得到关于 的方程或不等式，利用 将其化为关于 的方程或不
等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
【练题型】
π
1.已知F ，F 是椭圆和双曲线的公共焦点，Ρ是它们的一个公共点，且∠F ΡF = ，记
1 2 1 2 3
1
椭圆和双曲线的离心率分别为e ，e ，则 的最大值是（ ）
1 2 e e
1 2
4√3 2√3
A．3 B． C．2 D．
3 3【答案】D【详解】 如图，设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴
1
长为a ，
2
则根据椭圆及双曲线的定义|PF |+|PF |=2a ,|PF |−|PF |=2a ，
1 2 1 1 2 2
∴|PF |=a +a ,|PF |=a −a ，
1 1 2 2 1 2
π
设|F F |=2c,∠F PF = ，则在ΔPF F 中由余弦定理得
1 2 1 2 3 1 2
π
4c2=(a +a ) 2+(a −a ) 2−2(a +a )(a −a )cos ，
1 2 1 2 1 2 1 2 3
1 3 1 3 2√3 1 2√3
∴化简a 2+3a 2=4c2 ，该式变成 + =4 ，∴ + =4≥ ，∴ ≤ ，
1 2 e2 e2 e2 e2 e e e e 3
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2√3
的最大值是 ，故选D.
e e 3
1 2
2.已知 是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，
且 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利
用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
【详解】如图设 分别为椭圆的左、右焦点，设直线 与椭圆相交于 ，连接
.
根据椭圆的对称性可得：四边形 为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当 时取等号，又 的斜率存在，故 不可能在 轴上.
所以等号不能成立,即即 ，所以 故选：A【题型五】双曲线渐近线型
【讲题型】
例题1.已知双曲线 的中心为 ，左、右顶点分别为 ，左、右焦点为 ，过
的直线与 的两条渐近线分别交于 两点．若 ， ，则 的离心
率等于_________．
【答案】
解法一： 已知 ，得
渐近线 的斜率为 ，得
又 ， ，所以 即，解得 ，故
解法二：已知 ，得 又渐近线 的斜率为 ，可得
．
在 中，由余弦定理，得 ，即 ，
而 到渐近线 的距离是 ，所以 ．
结合条件 ，得渐近线 满足 ，
所以 ，解得 ，故例题2.已知双曲线 的左焦点为 ，过点 作双曲线 的一条渐
近线的垂线 ，垂足为 ，垂线 与双曲线的另一条渐近线相交于点 ， 为坐标原点.若
为等腰三角形，则双曲线的离心率为__________．
【答案】2或
【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为 ①当 时，如下图所示：
为钝角， 为等腰三角形
，即
，解得：
②当 时，如下图所示：
为钝角， 为等腰三角形
又 ，
，即 ，解得：
综上所述：双曲线的离心率为 或 故答案为： 或
【讲技巧】
渐近线
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）一直线交双曲线 的渐近线于 A.B 两点。A,B 的中点为 M，则
.
（4）过双曲线 上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐
标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；② ；③【练题型】
1.已知双曲线 的右顶点为 ,且以 为圆心，双曲线虚轴长为直径
的圆与双曲线的一条渐近线相交于 两点，若 ，则双曲线 的离心
率的取值范围是__________．
【答案】
【详解】如图所示：过点 作 于 ，则
一条渐近线方程为： ，点 到直线的距离为
即 故答案为：
2.已知 是双曲线 ： （ ， ）的左焦点，过点 的直线与双曲线
的左支和两条渐近线依次交于 ， ， 三点．若 ，则双曲线 的
离心率为______．
【答案】
【分析】
可设出直线 ，与两渐近线方程联立，解出 ，利用两者的关系式求出直线的斜率.
进而表示出 的坐标，代入双曲线方程，得到 的关系式，从而求得离心率.
【详解】
，故有 故设过点 的直线方程为： 联立 ，解之得 同理联立
解之得 由 有 ，故
解之得 直线为：
则 ，又 故 又 在双曲线上可得：
得 。故 。故答案为： ．
【题型六】抛物线中的设点计算型
【讲题型】
例题1.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF
上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为________.
【答案】
【详解】如图， 由题可知F ，设P点坐标为 (y＞0)，则
0
k ＝ ，当且仅当 ＝2p2等号成立.
OM
例题2.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.【答案】3
【详解】如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则 ＝(m2，m)， ＝
(n2，n)， ＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.
∴l ：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝
AB
2，∴C(2,0).
S ＝S ＋S ＝ ×2×m＋ ×2×(－n)＝m－n，S ＝ × ×m＝ m，则S ＋
△AOB △AOC △BOC △AOF △AOB
S ＝m－n＋ m＝ m－n＝ m＋ ≥ ，当且仅当 ，即m= 时
△AOF
等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.
【讲技巧】
是抛物线 的焦点弦，设 ， 在准线上的射影分别
为 ，则：
（1） ；
（2） ；
（3）若 倾斜角为 ，则 ；
（4）以 为直径的圆与准线相切；
（5） ；
（6）若 是 中点，则 ， ；
（7） 共线， 共线；
（8） ．
【练题型】
1.已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ， ，且
，则 __________．
【答案】-3.
【详解】设 ， ，则 ， ，
，则有 ，代入方程 ，故有 ，同理 ，有，即可视 为方程 的两根，则 .故答
案为-3.
y2 =4x l
2.已知抛物线 ，过其焦点F作直线 交抛物线于A，B两点，M为抛物线的准线与
4
tan∠AMB=
|AB|=
3
x轴的交点， ，则 _____.
F(1，0) M(−1，0) AB y=k(x−1)
【答案】16【解析】试题分析：焦点 ， 设 方程 设
A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 ， 2 2 ，
y y
1 2
−
x +1 x +1 4
1 2
=
4 y y 3
tan∠AMB= 1+ 1 ⋅ 2
3 x +1 x +1
因 为 , 即 1 2 ， 整 理 得 ：
4 4
2k(x −x )= (x +1)(x +1)+ y y
1 2 3 1 2 3 1 2
①
y=k(x−1) y2 =4x k2x2 −(2k2 +4)x+k2 =0 x x =1
与 联 立 可 得 ， 可 得 1 2 ，
4 4 4
x +x = +2 2k(x −x )= ⋅
1 2 k2 y y =−4 1 2 3 k2
， 1 2 ， 代 入 ① 可 得 ， ， 所 以
8 ( 4 ) 2 ( 8 ) 2 √3
x −x = +2 −4= k=±
1 2 3k3 k2 3k3 3
，所以 ，解得 ，
4 √ 1
x +x = +2=14 |AB|= 1+ ⋅√196−4=16
1 2 k2 3
所以 ，所以 ,故填：16.
【题型七】切线型
【讲题型】
例题1.已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，使
得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
若长轴端点 ，由椭圆性质：过 的两条切线互相垂直可得 ，结合
求椭圆离心率的范围.
【详解】
在椭圆 的长轴端点 处向圆 引两条切线 ， ，
若椭圆 上存在点 ，使过 的两条切线互相垂直，则只需 ，即
，
∴ ，得 ，∴ ，又 ，∴ ，即
．故选：C
例题2.．两个长轴在 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若 ， 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线 ， ，切点分别为 ， ，且两切线
斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设内椭圆方程为 ，外椭圆为 ，切线 的方程为
，联立 ，根据直线 为椭圆的切线，由△ ，得到
，同理得到 ，然后由两切线斜率之积等于
求解.
【详解】
解：设内椭圆方程为 ，外椭圆为 ，
切线 的方程为 ，联立 ，消去 可得：
，
因为直线 为椭圆的切线，所以△ ，
化简可得： ，设直线 的方程为： ，同理可得
，
因为两切线斜率之积等于 ，所以 ，所以椭圆的离心率为 ．
故选：B．
【讲技巧】
1.椭圆：
若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是
.
3.点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是：
；【练题型】
1.已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过 作抛物
线的切线，切点为 ，若点 恰在以 、 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设切线方程为 ，将该直线的方程与抛物线的方程联立，由 可求得 的值，设
点 ，利用韦达定理求出 的值，利用双曲线的定义求出 的值，进而可求得该
双曲线的离心率.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，易知点 ，
设切线方程为 ，联立 ，即 ，
则 ，解得 ，设点 ，由韦达定理可得 ，
以 、 为焦点的双曲线的实轴长为 ，
则 ，则 ，
因此，该双曲线的离心率为 ，故选：B.
2.已知抛物线 的准线上有一点 ，过点 作 的切线 ， ，切点分别为 ，
，点 为 的焦点，则对于以下命题：① ， ， 三点共线；② ；③
；④ ，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
设过 的直线 ，联立抛物线方程，结合题设得 ，若两切
线斜率分别为 、 ，②由根与系数关系及两线垂直的判定即知正误；④由根与系数关系
可得 ，结合②的结论即可判断正误；①设 ，联立抛物线求参数
k、t间的关系即可判断；③应用两点式及A、B在抛物线上可得 ，
讨论m判断 位置关系.
【详解】
设过 的直线 与 相切，将 代入 ，得
，令 ，即 ，
设切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，则 ， ，故两切线垂直，故②正确；
由上知： 可得 ， ，故 ，故④正确；
设直线 ，代入 ，得 ，则 ，
故 ，即直线 过 ，则 ， ， 三点共线，故①正确；
因为 ，当 时 ，故 ；
当 时 ，显然 ，故③正确.
因此正确命题的个数为4.
故选：D.
【题型八】切点弦型
【讲题型】
例题1.已知椭圆E: 的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点
分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】
设 , ，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线 方程，并确定其过定
点 ，且定点为椭圆的右焦点 ，再联立方程求得 ， ，再表
示出 ，利用基本不等式求出范围即可.
【详解】
由椭圆方程 ，知 ， ，设右焦点为 ，即
设 , ，
由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为 ，切线PB的方程为
由于点P在切线PA、PB上，则 ，故直线 方程为 ，
所以直线 过定点 ，且定点为椭圆的右焦点 ，联立方程 ，消去x得：
由韦达定理得 ， ，
令 ，则 ， ，则，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故三角形ABF面积最大值为 故选：A
例题2.已知点 在抛物线 上，过 作圆 的两条切
线，分别交抛物线于点 ， ，若直线 的斜率为 ，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得 ，设 ， ， ，求得 ， ，进而得到
，从而求得 ，利用 ，求点 坐标，代入抛物线方程即可求解.
【详解】
由题意可知过 所作圆的两条切线关于直线 对称，所以 ，
设 ， ， ，则 ，
同理可得 ， ，
则 ，得 ，得 ，
所以 ，故 ，
将 代入抛物线方程，得 ，得 ，故抛物线方程为 ．
故选：A
【讲技巧】
【讲技巧】
1.椭圆：
若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P 、P ，
1 2
则切点弦P P 的直线方程是 .
1 2
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切
线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
3.点 是抛物线 外一点，则抛物线过点P的切点弦方程
是： ；【练题型】
1.已知椭圆 ，圆 ，过椭圆上任一与顶点不重合的点 引圆的两条
切线，切点分别为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，则可得切线 的方程，即可得到直线 的方程，进
而可求出点点 的坐标，再结椭圆方程可求出 的值
解：设 ，则切线 的方程为 ，切线 的方程为
，
因为点 在切线 上，所以 ， ，所以直线 的方程为
，所以 ，因为点 在椭圆 上，所以
，
所以 ，故选：D
2.已知抛物线 的焦点到准线的距离为2，点 ， 在抛物
线 上，过点 ， 作抛物线 的切线 ， ，其中 ， ， 不与坐标轴垂直，直线
， 交于点 ，若直线 过点 ，则当 的面积最小时， （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】
由已知条件求出 ，设直线 的方程为 ，与 联立可得 ，
，由导数的几何意义求出两条切线的方程，由两切线方程求出点 的坐标，利用
点到直线的距离公式求出 的高，由弦长公式求出 ，计算 的面积结合函数
的性质求出面积的最小值即可求解.
【详解】
因为抛物线 的焦点到准线的距离为 ，所以 ，
因为直线 过点 ，设直线 的方程为 ，
由 可得 ，所以 ， ，
由 可得 ，所以 ，
所以在点 处的切线方程为： 即 ，所以 ，
同理可得在点 处的切线方程为： ，
由 可得： ， ，
所以点 的坐标为 ，
所以点 到直线 ： 的距离 ，
，
所以 的面积为 ，
所以当 时， 的面积最小，此时 ，
故选：C
【题型九】曲线轨迹型
【讲题型】
例题1. 方程(x+y-1) =0所表示的曲线是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由题意得方程 ，得 或
，且
，所以方程 所表示的曲线为选项D，故选
D．
考点：曲线与方程．
例题2.平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼（cassin）卵形线，
已知曲线 为到定点 的距离之积为常数4的点 的轨迹，关于曲
线 的几何性质有下四个结论，其中错误的是（ ）
A．曲线 关于原点对称 B． 的面积的最大值为2
C．其中 的取值范围为 D．其中 的取值范围为
【答案】D
【分析】
依题意得 ,化简得 ，将 代
入可得A正确，由 可得C正确，令 ，得
可得 ，可知D错误，将 的最大值代入到面积公式可知B正确，从而可知选：D
【详解】
依题意得 ，
两边平方得 ，
得 ，
将 代入得 ，
所以曲线 关于原点对称，A正确；
由 得 ，
由 得 ，则 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
令 ，则 ，
所以 ，
所以 时， 取得最大值 ，
所以 ，所以 ，所以D是错误的；
由以上可知 的最大值为 ，
又 的面积为 ，所以 的面积的最大值为 ，所以
B是正确的.
故选：D
【讲技巧】
求轨迹方程：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义
写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的
坐标 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一
参数 得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交
点的轨迹方程.
【练题型】
1.动点 在圆 上移动，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，则线段 中
点的轨迹方程是.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设出M（x，y），P（x，y），D（x，0），由中点坐标公式把M的坐标用P的坐标表示，
0 0 0
代入圆的方程得答案．解：设线段 中点为P 设M（x，y），D（x，0），∵P是 的中点，∴
0 0 0
，
又M在圆 上，∴x2+y2＝25，即x2+4y2＝25， ．
0 0
∴线段 的中点P的轨迹方程是： ．故选B．
2.已知 ，动点 是圆 内（含边界）一点． 记直线
的倾斜角分别为 ，且满足 ，则点 的轨迹长度为________．
【答案】
【分析】
根据斜率的公式可得 与 ,再代入 化简求解即可得点 的轨迹方程,
继而根据动点 是圆 内（含边界）一点求出长度即可.
【详解】
设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,
∴ ,
又因为 ,知 ,
即 , .
因为动点 是圆 内一点,故 .
即 ,化简可得 ,即 的轨迹为方程 .
又圆心 在 上,所以 的轨迹长度为圆 的直径 .
故答案为：
一、单选题
1．设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则 的中
点到 轴的距离是（ ）A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得
点 坐标，即可得到答案.
【详解】解：由题意得， ，则 ，
所以，由抛物线的定义得点 到准线 的距离为 ，
所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入抛物线方程得， ，
所以 的中点坐标为 ，到 轴的距离是 .
故选：C
2．设 分别是双曲线 的左､右焦点，过 作 的一条渐近线的垂
线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与
渐近线联立求出P的坐标，进而求出 的值，由点到直线的距离公式，求 的值，由
由 求出a，c的关系，进而求出离心率．
【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程： ，右焦点 ，
到渐近线的距离 ，
由渐近线的对称性，设渐近线为 ，①
则直线 方程为∶ ②，
由①②可得 ， 则 ，
左焦点 ，所以 ，
由 ，有 ，得 ，
即 ， ，则 的离心率为
故选∶C·
3．已知过椭圆 的上焦点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点， 为坐
标原点，直线 分别与直线 相交于 两点.若 为锐角，则直线 的斜率
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将
直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合
已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可知， 所以
所以椭圆 的上焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
联立 消去 ，得 ，
所以 .
由题设知， 所在的直线方程为 .
因为直线 与直线 相交于点 ，
所以 ；
同理可得 .
所以 .
因为 为锐角，
所以 ，
所以
，
即 ，解得： 或 ，
所以 ，或 ，或 .
故直线 的斜率 的取值范围是 .
故选:D.
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线 的一
条渐近线上的点，且线段 的中点 在另一条渐近线上．若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由中位线可知 ，即可得出一条渐近线的斜率，据此得出离心率.
【详解】因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 .
故选：A
5．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，若
的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得 点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积
公式即可得 的值.
【详解】抛物线的焦点为 ，点 在抛物线上，由抛物线的定义可得
，
，则 ，
，解得 或 （舍）.
故选：B.
6．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交
双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 可知 ，再根据角平分线定理得到 的关系，再根
据双曲线定义分别把图中所有线段用 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出
离心率.
【详解】
因为 ，所以 ∽ ，
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ，由双曲线定义知 ，即 ， ，①
又由 得 ，
所以 ，即 是等边三角形，
所以 ．
在 中，由余弦定理知 ，
即 ，化简得 ，
把①代入上式得 ，所以离心率为 ．
故选：A．
7．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线
焦点 作抛物线的弦，与抛物线交于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的切线 ，
相交于点 ，那么阿基米德三角形 满足以下特性：①点 必在抛物线的准线上；②
为直角三角形，且 为直角；③ ，已知 为抛物线 的准线上一点，
则阿基米德三角形 面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立直线 的方程和抛物线方程求得 ，通过PF⊥AB求得 ，再过
点作 轴交 于 点，进而得到 为 中点，由 表示出三角
形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可．
【详解】易知，焦点 ，准线方程 ，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消 整理得 ，
则 ， ，
又PF⊥AB，可得 ，即 ，化简得 ，
过 点作 轴交 于 点，如图所示：则 ，所以 为 中点，故 ，
故
，
当且仅当 时等号成立，
故三角形PAB的面积的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：过 点作 轴交 于 点，且证明 为 中点，得到
，从而得到阿基米德三角形 面积关于 ， 的表达式，再结合基
本不等式求解．
8．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，若离心
率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知 ，结合椭圆的定义解得 ，再由
求解.
【详解】因为 ，所以 ，
由椭圆的定义得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，
两边同除以a得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以该离心率 的取值范围是
故选：D.二、多选题
9．已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆
【答案】BD
【分析】根据曲线的形状求出参数 的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若曲线 表示两条平行线，则有 或 ，且 .
若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，
若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，
故A错；
对于B选项，若曲线 表示双曲线，则 ，
由于 且 ，则 ，可得 ，则 ，B对；
对于C选项，若曲线 表示椭圆，则 ，解得 且 ，C错；
对于D选项，若 ，则 ，则 ，
曲线 的方程可化为 ，
此时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，D对.
故选：BD.
10．已知 是双曲线 的左、右焦点， 是C上一点，若
C的离心率为 ，连结 交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C． 的周长为 D． 的内切圆半径为
【答案】ABD
【分析】根据点A的坐标和离心率求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析.
【详解】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：，解得 ，∴双曲线 ，A正确；
对B， ， ， ，
，∴ ，B正确；
对C， ，
， ，周长 ，C
错误；
对D，令 ，则 ， ，在
中，
，∴ ，设 的周长为l，内切圆半径为r，则
，
由三角形面积公式知： ，
，D正确；
故选：ABD．
11．抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 上的点 作 的切线m，m
与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为 ，则（ ）
A． B． 为 中点
C．四边形 是菱形 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】设 与 轴交点为 ，则 未必是 的中点，即可判断A，利用韦达定理表示出
的坐标可判断B，根据菱形的判定定理可判断C，利用三角形的全等关系可判断D.【详解】
设 ，可知 斜率 存在，可设 ，
将 代入可得 ，由 ，即 可得 ，
因此 ，令 解得 ，所以 ，
又因为 ， ，
要使 ，则 必需为 中点，则必有 ，即 ，
所以当且仅当 时， 才成立，无法满足任意性，A错误；
中令 ，于是 ，
因为 ， ，所以 为 中点，选项B正确.
因为 ，所以 是 的垂直平分线，
而 轴，所以四边形 是菱形，选项C正确；
，由 ，可得 ，所以 .
因为 ，所以 ，选项D正确.
故选：BCD.
12．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为B，直线l：
与椭圆C交于M，N两点， 的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相
交于点 ，则（ ）
A．四边形 的周长为8 B． 的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为 D．当 时，
【答案】AC
【分析】对A选项，由椭圆的定义知，四边形 的周长为 即可求解；对B选项，
由直线 与椭圆相交的对称性知： ， ，借助基本不等式可得 的最小值；对C选项，设 ，则 ，由
点 在椭圆上，即可化得 的值；对D选项，设出 ，由条
件推出 ， ，又在椭圆C中，由其第二定义 得
，从而得到 ， ， 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解
即可．
【详解】对A选项，由椭圆的定义知，四边形 的周长为 ，A正确；
对B选项，
，
当且仅当 时等号成立，故B错误；
对C选项，设 ，则 ，又 ，所以
．
因为点 在椭圆上，所以 ，即 ，
所以 ，C正确；
对D选项，设 ，则 ，
所以 ， ，
在椭圆C： 中，
由其第二定义 （ 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得
，
，所以 ，故 ， ， ，
因为三点共线，所以 ，解得 ，则 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，故D错误．
故选：AC
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达
定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题
13．已知椭圆 的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线
的对称点为 ．若过A， ，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______．
【答案】 ##0.5
【分析】由题意得到过A， ，F三点的圆的半径也为a，求出线段 的垂直平分线的方
程及线段 的垂直平分线，求出交点及圆心坐标，从而利用半径列出方程，求出 ，
得到离心率.
【详解】由题意得：过A， ，F三点的圆的半径也为a，
其中 ，线段 的中点坐标为 ，
故直线 的斜率为 ，故线段 的垂直平分线的斜率为 ，
故线段 的垂直平分线的方程为 ，
又线段 的垂直平分线为 ，
联立 与 得： ，
故圆心坐标为 ，故半径为 ，
故 ，其中 ，
解得： .
故答案为：
14．已知双曲线C： 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双
曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 ，则以 （e为双曲线C的离心
率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得 ，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】依题意， ，双曲线的一条渐近线方程为 ，
依题意，三角形 是边长为 的等边三角形，
所以 到 的距离是 ，
即 ，
所以对于抛物线 ，有 ，所以抛物线方程为 .
故答案为：
15．设过点 的直线l与椭圆 交于M，N两点，已知点 ，若直线AM
与直线AN的斜率分别为 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】先根据题意假设直线l的方程，联立椭圆 的方程，由韦达定理得到 ， ，
从而利用斜率公式直接运算即可得解.
【详解】因为椭圆 ，所以 ，其右顶点为 ，下顶点为 ，
所以过点 的直线l的斜率存在且不为0和 ，设直线l的方程为 ，即
，
设 ， ，点M，N的坐标均不为 ，
联立 整理得 ，
则 ，解得 ,
因为 时， ， ，
所以
.
故答案为： ．
16．已知双曲线G的方程 ，其左、右焦点分别是 ， ，已知点P坐标为 ，
双曲线G上点 ， 满足 ，则
______．
【答案】8
【分析】设 的内切圆与三边分别相切于 ，利用切线长相等求得内切圆圆心横
坐标为 ，又由 得 在 的平分线上，进而得到 即为内心，应
用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】
如图，设 的内切圆与三边分别相切于 ，可得 ，
又由双曲线定义可得 ，则
，又 ，解得 ，
则 点横坐标为 ，即内切圆圆心横坐标为 .
又 ，可得 ，化简得
，即 ，
即 是 的平分线，由于 ， ，可得 即为 的内心，且半径 为
2，则 .
故答案为：8.
【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得 内切圆圆心横坐标为 ，再由
得到 在 的平分线上，结合 的横坐标为 进而得到 即为内
心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.
