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微重点 13 离心率的范围问题
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解
决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2022·南京模拟)设e，e 分别为具有公共焦点F 与F 的椭圆和双曲线的离心率，
1 2 1 2
P为两曲线的一个公共点，且满足∠FPF＝，则ee 的最小值为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a，不妨设|PF|>|PF|，
1 2 1 2
由椭圆和双曲线的定义可得
得
设|FF|＝2c，
1 2
因为∠FPF＝，由余弦定理得
1 2
|FF|2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos∠FPF，
1 2 1 2 1 2 1 2
即4c2＝(a＋a)2＋(a－a)2－2(a＋a)(a－a)cos ，
1 2 1 2 1 2 1 2
整理得a＋3a＝4c2，
故＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即2≥，
所以ee≥，
1 2
即ee 的最小值为，
1 2
当且仅当＝.即e＝，e＝时，等号成立．
1 2
(2)(2022·杭州模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，过原点的直线
1 2
l与椭圆C相交于M，N两点(点M在第一象限)．若|MN|＝|FF|，≥，则椭圆C的离心率e
1 2
的最大值为( )
A. B.－1
C. D.－1
答案 D
解析 依题意作图，如图所示，由于|MN|＝|FF|，并且线段MN，FF 互相平分，
1 2 1 2
∴四边形MF NF 是矩形，
1 2
其中∠FMF ＝，
1 2
∴|NF |＝|MF |，
1 2
设|MF |＝x，则|MF |＝2a－x，
2 1
根据勾股定理得|MF |2＋|MF |2＝|FF|2，
1 2 1 2
即x2＋(2a－x)2＝4c2，
整理得x2－2ax＋2b2＝0，
由于点M在第一象限，
则x＝a－，
由题意得＝≥，∠MF F≥，
1 2
即|MF |≥|FF|，a－≥c，
2 1 2
整理得2a2－2ac－c2≥0，e2＋2e－2≤0，
解得0＜e≤－1，
即e的最大值为－1.
规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关
于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
跟踪演练1 (2022·嘉兴模拟)如图，已知F ，F 分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦
1 2
点，O为坐标原点，其渐近线与圆x2＋y2＝a2在第二象限交于点P，过P作圆的切线过双曲
线的左焦点且与右支交于点 Q，若|PQ|>|QF|＋|OF|，则双曲线的离心率的取值范围是
2 2
________．
答案
解析 因为OP⊥PF，
1
所以|PF|＝＝b.
1
由双曲线的定义得|PQ|＋b－|QF|＝2a，
2所以|PQ|＝2a－b＋|QF|，
2
因为|PQ|>|QF|＋|OF|，
2 2
所以2a－b＋|QF|>|QF|＋c，
2 2
所以2a－b>c，
即2a－c>b，
所以2>b2＝c2－a2，
所以21e2＋40e－125<0，
所以(3e－5)(7e＋25)<0，
所以e<，
因为直线FQ与双曲线的右支相交，
1
所以tan∠QFF<，
1 2
所以<，
所以a20，
所以e2>2，所以e>.
所以b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，
使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，
∠OPA＝α，
∵存在M，N使得∠MPN＝120°，
∴∠APB≥120°，即α≥60°，
又α<90°，
∴sin α≥sin 60°，
连接OA，则sin α＝＝≥，
∴|OP|≤.
又P是C上任意一点，
则|OP| ≤，
max
又|OP| ＝a，
max
∴a≤，
则由a2＝b2＋c2，得e2≤，
又00，b>0)的右顶点为A(a，0)，Q(3a，0)在x
轴上，若双曲线C上存在一点P(异于点A)使得AP⊥PQ，则C的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，] D．(1，)
答案 D
解析 设P(x，y)，∵AP⊥PQ，
∴P点的轨迹方程为(x－2a)2＋y2＝a2(x≠a，x≠3a)．联立消去y并整理得(a2＋b2)x2－4a3x＋3a4－a2b2＝0，
解得x＝a(舍去)，x＝，
由题意知点P在双曲线的右支上，即x>a，
故>a，化简得a2>b2，
∵e＝，∴1b>0)的左、右焦点，若在直线x＝－
1 2
(c为半焦距)上存在点P，使|PF|的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为(
1
)
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图所示，椭圆＋＝1，
可得焦距|FF|＝2c，
1 2
因为在直线x＝－上存在点P，使|PF|的长度恰好为椭圆的焦距，
1
可得|MF |≤2c，即－c≤2c，
1
可得a2≤3c2，即≥，解得≥，
又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，
所以e∈.
(2)(2022·萍乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F ，
1
F ，以FF 为直径的圆交双曲线一条渐近线于 P，Q两点，若cos∠PAQ≥－，则该双曲线
2 1 2
离心率的取值范围是( )
A．(1，] B.
C. D．[，＋∞)
答案 B
解析 以FF 为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，
1 2
双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，
由
解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a，0)，
所以AP＝(2a，b)，AQ＝(0，－b)，
所以cos∠PAQ＝＝
＝－≥－，
即≤，解得≤，
所以双曲线的离心率10，b>0)的左、右
焦点分别为F ，F ，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点 P，使得
1 2
∠PFF＝3∠PFF，则双曲线离心率的取值范围为____________．
2 1 1 2
答案 (，2)
解析 双曲线C与直线y＝x有交点，
则>1，＝>1，
解得e＝>，
双曲线上存在不是顶点的点P，
使得∠PFF＝3∠PFF，
2 1 1 2
则P点在右支上，设PF 与y轴交于点Q，由对称性知|QF|＝|QF|，
1 1 2
所以∠QFF＝∠QFF，
1 2 2 1
所以∠PFQ＝∠PFF－∠QFF
2 2 1 2 1
＝2∠PFF＝∠PQF ，
1 2 2
所以|PQ|＝|PF|，
2
所以|PF|－|PF|＝|PF|－|PQ|
1 2 1
＝|QF|＝2a，
1
由|QF|>|OF|得2a>c，
1 1
所以e＝<2，
在△PFF 中，∠PFF＋∠PFF＝4∠PFF<180°，∠PFF<45°，
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
所以＝cos∠PFF>，
1 2
即e＝>，
综上，b>0)的左、右焦点，若椭
1 2
圆上存在一点P使得PF1·PF2＝c2，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设点P(x，y)，PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2
＝x2－c2＋b2－x2
＝x2－c2＋b2，
因为0≤x2≤a2，
所以b2－c2≤PF1·PF2≤b2，
即b2－c2≤c2≤b2，
结合b2＝a2－c2可得≤≤，
所以e∈.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线的右支上，且|
1 2
PF|＝4|PF|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
1 2
A. B. C．2 D.
答案 B
解析 方法一 由双曲线的定义知
|PF|－|PF|＝2a，①
1 2
又|PF|＝4|PF|，②
1 2
故联立①②，解得|PF|＝a，|PF|＝a.
1 2
在△PFF 中，由余弦定理，
1 2
得cos∠FPF＝＝－e2，
1 2
要求e的最大值，即求cos∠FPF 的最小值，
1 2
当cos∠FPF＝－1时，
1 2
解得e＝，即e的最大值为.
方法二 由双曲线的定义知，|PF|－|PF|＝2a，
1 2
又|PF|＝4|PF|，
1 2
∴|PF|＝a，|PF|＝a，
1 2
∵|FF|＝2c，
1 2
∴a＋a≥2c，∴≤，
即双曲线的离心率e的最大值为.
3．已知F ，F 分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：
1 2
x＝，且PQ⊥l，垂足为Q.若四边形QPF F 为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是
1 2
( )
A. B．(－1,1)
C．(0，－1) D.
答案 B
解析 设P(x，y)，则Q，
0 0
∵四边形QPF F 为平行四边形，
1 2
∴|PQ|＝|FF|，
1 2
∴－x＝2c，
0
即x＝－2c＝∈(－a，a)，
0
∴－1<<1，
∴－1<2－e2－2e<1，得－10，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，以线
1 2
段FF 为直径的圆O与双曲线M在第一象限交于点A，若tan∠AFF≤2，则双曲线M的离
1 2 2 1
心率的取值范围为( )
A．[，＋∞) B．(1，]
C．(1，] D．[，＋∞)
答案 D
解析 依题意可得|AF|－|AF|＝2a，
1 2
又|AF|2＋|AF|2＝|FF|2＝4c2，
1 2 1 2
所以(|AF|＋2a)2＋|AF|2＝4c2，
2 2
得|AF|＝－a＋，
2
所以|AF|＝2a＋|AF|＝a＋，
1 2
所以tan∠AFF＝
2 1
＝≤2，
得c2≥5a2，得e≥.
5．(2022·西安模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，在其渐近线上
1 2
存在一点P，满足||PF|－|PF||＝2b，则该双曲线离心率的取值范围为( )
1 2
A．(1，) B．(，2)
C．(，) D．(2,3)
答案 A
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，∵||PF|－|PF||＝2b<|FF|，
1 2 1 2
∴点P在双曲线－＝1上，
∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
又y＝±x与双曲线－＝1相交，
∴由双曲线渐近线性质可知<，即a2>b2，
即a2>c2－a2，解得1<<，
故该双曲线离心率的取值范围是(1，)．
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线x＝2a与C交于A，B两点(A在B的上方)，DA
＝AB，点E在y轴上，且EA∥x轴．若△BDE的内心到y轴的距离不小于，则C的离心率
的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为A在B的上方，且这两点都在C上，
、
所以A(2a，b)，B(2a，－b)，
则|AB|＝2b.
因为DA＝AB，
所以A是线段BD的中点，
又EA∥x轴，所以|ED|＝|EB|，EA⊥BD，
所以△BDE的内心G在线段EA上．
因为DG平分∠EDA，在△EDA中，
由角平分线定理知＝，
因为G到y轴的距离不小于，
所以≥＝2，
所以≥2，
所以∠EDA≥60°，
因此tan∠EDA＝＝≥，即a≥3b，≤，
故10，b>0)的右焦点为F(2，0)，点Q是双曲
线C的左支上一动点，圆O：x2＋y2＝1与y轴的一个交点为P，若|PQ|＋|QF|＋|PF|≥13，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
答案
解析 设双曲线C的左焦点为F′，
则|QF|－|QF′|＝2a，
即|QF|＝|QF′|＋2a，
故|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|PQ|＋2a≥|PF′|＋2a.
由题意可得|PF|＝|PF′|＝＝5，
∵|PQ|＋|QF|＋|PF|≥|PF′|＋2a＋|PF|
＝10＋2a≥13，
∴a≥，
则双曲线C的离心率e＝＝≤.
∴1b>0)和C ：＋＝1有相同的焦点F ，F ，离心
1 1 1 2 1 2
率分别为e ，e ，B为椭圆C 的上顶点，FP⊥FB，且垂足P在椭圆C 上，则的最大值是
1 2 1 2 1 2
________．
答案
解析 由图知e＝＝，
1
e＝＝＝，
2
则＝，
设∠PFF＝θ，|FF|＝2c，
1 2 1 2
则|PF|＋|PF|＝2c·(sin θ＋cos θ)，
1 2
|BF|＝，
1
则＝(sin θ＋cos θ)·cos θ
＝sin＋≤，
当且仅当2θ＝时，等号成立．
