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重难点 05 函数与方程中的零点问题（2 种考向 6 种考
法）
【目录】
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
考法2：数形结合法判段函数零点个数
考法3：转化法判断函数零点个数
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
二、命题规律与备考策略
一、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)
＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解
已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点
问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、题型方法
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
一、单选题
1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数
学科网（北京）股份有限公司 1， ，则 在区间 上的零点个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数 在区间 内的零点个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的
有（ ）
A．若 与 图象至多有2个公共点
B．若 与 图象至少有2个公共点
C．若 与 图象至多有2个公共点
D．若 与 图象至少有2个公共点
三、填空题
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3
个条件的函数 =__．
① 是 上偶函数；② 在 上恰有三个零点；③ 在 上单调递增．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的函数， ，
， ，求在区间 上 至少有几个根？
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司 2(2)当 时，证明 在 上有且仅有两个零点.
8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数
在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并画出函数 图像
(2)写出函数 的解析式，将函数 的图像向右平移 个单位，再所得图像上各点的
横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 的解析式．
(3)在（2）的条件下，若 在 上恰有奇数个零点，
求实数a与零点个数n的值．
考法2：数形结合法判段函数零点个数
一、单选题
1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 ，则
的零点个数为（ ）
A．2023 B．2025 C．2027 D．2029
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 在 上满足 ，
学科网（北京）股份有限公司 3，且在闭区间 上只有 ，则方程 在闭区间
上的根的个数（ ）．
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
3．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数 在 上
零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数 ﹐定义在区间 上的函数
满足：当 时 ，且对任意的 ，都有
．若与n有关的实数 使得方程 在区间 上有且仅有一
个实数解，则关于x的方程 的实数解的个数为（ ）
A．n B． C． D．
二、多选题
5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆 ，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足：当 时， ，
且 对任意 都成立，则方程 的实根个数是______．
7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数 的零点个数为
__________.
考法3：转化法判断函数零点个数
一、单选题
1．（2022秋·全国·高一专题练习）方程 解的情况是（ ）
A．有且只有一个根 B．不仅有根 还有其他根
C．有根 和另一个负根 D．有根 和另一个正根
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列关于函数 的
学科网（北京）股份有限公司 4描述中，其中正确的是（ ）．
①当 时，函数 没有零点；
②当 时，函数 有两不同零点，它们互为倒数；
③当 时，函数 有两个不同零点；
④当 时，函数 有四个不同零点，且这四个零点之积为1．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 则函数
的零点个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·全国·高三专题练习）对于任意正实数 ，关于 的方程
的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时，
，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
三、填空题
7．（2023·四川绵阳·统考二模）若函数 ， ，则函
数 的零点个数为______．
四、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习）证明：函数 的图象与 的图象
有且仅有一个公共点．
学科网（北京）股份有限公司 59．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的偶函数，当 时，
（1）求 ， 的值；
（2）求 的解析式并画出函数的简图；
（3）讨论方程 的根的情况.
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在 上的奇函数 满足在 ，
则 在 上的零点至少有（ ）个
A．6 B．7
C．12 D．13
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1） ，（2） ，
（3） ，（4） ，从中任选 个，则事件“所选 个函数的图象有且
仅有一个公共点”的概率为___________.
三、解答题
4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 是自然对数的底数
.
(1)讨论函数 的极值点的个数；
(2)证明：函数 在区间 内有且只有一个零点.
学科网（北京）股份有限公司 6考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若将函数
的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若关于 的方程 在
上有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数
m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数 ，若函数 有
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·四川自贡·统考三模）设函数 有唯一的零点，则实数
m为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数 的最小正周期为 ，
且 ，若 在 上恰有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司 76．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是函数 和 的零
点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2023·四川凉山·三模）若函数 有两个零点，则实数a的取值
范围为______．
8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数 ，当 时， 的
零点个数为_____________；若 恰有4个零点，则 的取值范围是______________.
9．（2023·全国·校联考二模）已知函数 ，若关于 的方程
有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是______.
10．（2023·天津河西·统考一模）已知 ，且函数 恰有
个不同的零点，则实数 的取值范围是______．
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数．
(1)求实数k的值．
(2)当 时，函数 存在零点，求实数a的取值范围．
(3)函数 （ 且 ），函数 有2个零点，
求实数m的取值范围．
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司 8(2)若函数 在 上有唯一零点，求实数a的取值范围．
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
一、单选题
1．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）函数 ，若
，有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 且 有两个
零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象与函数 的图象所
有交点的横坐标之和等于______.
4．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知 ，函数
，若存在不相等的三个实数 ，使得 ，
则实数 的取值范围是________.
三、解答题
学科网（北京）股份有限公司 95．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数 在区间 上恰有3个零点，
其中 为正整数.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求函数 的单
调区间.
6．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最值；
(2)当 时，函数 的图像与 的图像有两个不同的交点，
求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 10
