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培优点 9 圆锥曲线与圆的综合问题
随着新高考不断地推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生很大的变化，对圆的
考查在逐渐加深，与圆相关的几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线及抛物
线相结合，呈现别具一格的新颖试题，题型渐渐成为高考命题的热点，是一种新的命题趋势．
考点一 圆的切线与圆锥曲线的综合问题
例1 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，点P在椭圆上．
2
(1)求椭圆的方程；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于A，B
两点，问△AFB的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
2
解 (1)由题意得
∴
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)是定值．由题意，
设AB的方程为y＝kx＋m(k<0，m>0)，
∵AB与圆x2＋y2＝3相切，
∴＝，即m2＝3(1＋k2)，
由
整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
∴|AB|＝|x－x|
1 2
＝
＝
＝.
又|AF|2＝(x－1)2＋y
2 1
＝(x－1)2＋3
1
＝(x－4)2，
1
∴|AF|＝(4－x)＝2－x，
2 1 1同理|BF|＝(4－x)＝2－x，
2 2 2
∴|AF|＋|BF|＝4－(x＋x)
2 2 1 2
＝4＋
∴|AF|＋|BF|＋|AB|＝4＋－＝4(定值)．
2 2
规律方法 处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质
(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方
程，利用根与系数的关系求解．
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，D为抛物线C上第
一象限内任意一点，△FOD外接圆的圆心为Q，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P(x ，y)(x>1)为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆x2＋(y－1)2＝1的两
0 0 0
条切线l，l 且与y轴分别相交于A，B两点，求△PAB面积的最小值．
1 2
解 (1)由抛物线C方程x2＝2py，
已知F，准线y＝－，
外接圆的圆心在直线y＝上，
依题意＝，即p＝1，抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)设过点P(x，y)的直线l的方程为y－y＝k(x－x)，
0 0 0 0
直线kx－y＋y－kx＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相切，则＝1，
0 0
化简得(x－1)k2－2(y－1)x·k＋y－2y＝0，①
0 0 0
方程的根为k，k，
1 2
则有
设直线l，l 在y轴上的截距分别为y，y，
1 2 1 2
则y＝y－kx，y＝y－kx，
1 0 1 0 2 0 2 0
|AB|＝|y－y|＝|k－k|·x
1 2 1 2 0
＝x·
0
＝
＝
＝，
S＝|AB|·x＝·
0
＝·
＝
≥×(2＋2)＝2.
当且仅当x－1＝，即x＝时，S 面积取得最小值，面积最小值为2.
0 △PAB考点二 圆锥曲线中的四点共圆综合问题
例2 (2022·重庆模拟)设动点P与定点F(，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，
线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D两点，证明：A，B，C，D四点共圆．
(1)解 设P(x，y)，
因为动点P与定点F(，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是，
所以＝，
整理化简得＋y2＝1.
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)证明 设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由方程组
得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，
由Δ>0，得2－m2>0，
解得－0，
则y＋y＝t，y·y＝－2，
1 2 1 2
则|AB|＝·|y－y|
1 2
＝
＝，
且线段AB中点的纵坐标为＝，
即＝t·＋2＝＋2，
所以线段AB中点为M，
因为直线CD为线段AB的垂直平分线，可设直线CD的方程为x＝－y＋m，
则＋2＝－×＋m，
故m＝，
联立
得2ty2＋2y－t(t2＋5)＝0，
设C(x，y)，D(x，y)，
3 3 4 4
则y＋y＝－，y·y＝－(t2＋5)，
3 4 3 4
故|CD|＝|y－y|
3 4
＝
＝，
线段CD中点为N，
假设A，B，C，D四点共圆，则弦AB的中垂线与弦CD的中垂线的交点必为圆心，
因为CD为线段AB的中垂线，则可知弦CD的中点N必为圆心，则|AN|＝|CD|，
在Rt△AMN中，|AN|2＝|AM|2＋|MN|2，
所以2＝|AM|2＋|MN|2，则
＝(t2＋1)(t2＋8)＋2＋2，
故t4＋8t2－1－＝0，
即＝＝0，
解得t2＝1，即t＝±1，
所以存在直线l，使A，B，C，D四点共圆，且圆心为弦CD的中点N，
圆N的方程为2＋2＝
或2＋2＝.
