文档内容
第 33 节 圆锥曲线中的范围最值问题及探究性问题
基本技能要落实
考点一 最值问题
【例1】(2021·齐齐哈尔一模)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F .短
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轴的两个顶点与F ，F 构成面积为2的正方形，
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(1)求Γ的方程；
(2)如图所示，过右焦点 F 的直线交椭圆 Γ于A，B两点，连接 AO并延长，交 Γ于点
2
C，求△ABC面积的最大值.
【方法技巧】
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几
何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行
求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数
(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【跟踪训练】
1.(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C ：＋y2＝1，抛物线C ：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆
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C 与抛物线C 的交点，过点A的直线l交椭圆C 于点B，交抛物线C 于点M(B，M不
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同于A).
(1)若p＝，求抛物线C 的焦点坐标；
2
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.
考点二 范围问题
【例2】已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是双曲线C ：－y2＝1的左、右
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焦点，且C 与C 相交于点.
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(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)设直线l：y＝kx－与椭圆C 交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？
1若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.
【方法技巧】
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的
等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参
数的取值范围.
【跟踪训练】
1.(2022·齐鲁名校联合测试)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为
F ，F ，过点F 的直线l(不与x轴重合)交椭圆于A，B两点.
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(1)若点A恰好为椭圆的上顶点，且|AB|＝|F B|，求椭圆E的标准方程；
1
(2)若点A关于点F 的对称点为点C，且点C恰好在椭圆上，求点B的横坐标的取值范
2
围.
考点三 探究性问题
【例3】(2022·郑州模拟)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)
上，圆C过原点且与抛物线的准线相切.
(1)求该抛物线的方程.
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，
两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此
时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【方法技巧】
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验
证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，
再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【跟踪训练】
1.(2022·西安模拟)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的
右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.
(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中
A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理
由.
考点四 证明问题
【例4】(2022·成都诊断)已知点A(1，－)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，O为坐标原点，
直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称
点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.
【方法技巧】
圆锥曲线中的证明问题常见的有：
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，
但有时也会用反证法证明.
【跟踪训练】
(2021·景德镇一模)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的
两点，点E是抛物线准线l与y轴的交点，△ECD是面积为4的直角三角形.
(1)求抛物线的方程；
(2)若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，求证：直线
AB与抛物线相切.
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一、解答题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆C右焦点
并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原
点）的面积为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为 ，求点P到直线l距离的最大值．
2．（2022·四川成都·模拟预测（文））平面直角坐标系中，过点 的圆 与直线 相切．圆
心 的轨迹记为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设 为曲线 上的两点，记 中点为 ，过 作 的垂线交 轴于 ．
①求 ；
②当 时，求 的最大值．
3．（2022·吉林一中高二阶段练习（理））已知直线l：y＝kx和l：y＝kx与抛物线y2＝2px（p＞
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0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且 ．
(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；
(2)求△POQ面积的最小值．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的一个焦点为 ，离心率
为 ．点P为圆M： 上任意一点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求 的取值范围；
(3)设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，
试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．
5．（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））已知圆C过定点A（0，p）(p＞0)，圆心C在抛物线x2＝2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ.
(1)当点C运动时，｜MN｜是否变化？试证明你的结论；
(2)求 的最大值.
6．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆
的右焦点 与抛物线 的焦点重合．
(1)求椭圆 的方程．
(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与
直线 交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为 ， ， ，是否存在实数 ，使得 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知椭圆 的长轴是短轴的3倍，左、
右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，是否在x轴正半轴存在点
，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8．（2022·四川达州·高三模拟）已知椭圆 ： （ ）的左､右焦点分别为 ， ，
点 在椭圆 上，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，使得 ？若存在，求直
线 的方程，若不存在，请说明理由.
9．（2022·江苏南通·高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，直线 ，点
M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为 ，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点M且与C相切的直线交椭圆 于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问
的面积是否为定值?请说明理由．
10．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆 ： ，焦点为 ､ ，过x轴上的一点
M（m，0）（ ）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形 的周长；
②求 的最小值 的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得 成立？如果存在，求出m的取值范
围；如果不存在，请说明理由.
