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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 33 练 空间直线、平面的平行（精练）
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
3．（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
【详解】（1）
连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ，
由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则 //
，
又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 .
4．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到 ，再根据直角
三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到 ，即可得证；
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面 垂直．(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）分别取 的中点 ，连接 ，由平面知识可知 ， ，
依题从而可证 平面 ， 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，即可知四
边形 为平行四边形，于是 ，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取 中点 ，由（1）知，该几何体的体积等于长方体 的体积加上四
棱锥 体积的 倍，即可解出．
【详解】（1）如图所示：
分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ，
，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形
为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：分别取 中点 ，由（1）知， 且 ，同理有， ，
， ，由平面知识可知， ， ，
，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积
的 倍．
因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的
距离 ， ，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：
连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-
OEH的 倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.
则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该
几何体的体积6．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平
面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证平面 平面 ，从而可证 平面
.
【详解】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，【A组 在基础中考查功底】
一、解答题
1．如图， 和 都是正方形， ， ，且 ．证明： 平面 .
【答案】见详解
【分析】由线面平行的判定定理即可证明结论.
【详解】
作 交 于 ，作 交 于 ．
连结 ，则 ， ，
又 ，
故 ，
于是 ，且 ．
∴四边形 为平行四边形，
故 ．
平面 ， 平面 ，∴ 平面
2．如图所示， 为平行四边形 所在平面外一点， ， 分别为 ， 的中点.求证： 平面
.
【答案】证明见解析
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】证明：取 的中点 ，如图所示，连接 ， .
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，且 .
∵四边形 为平行四边形， 为 的中点，
∴ 且 ，∴ 平行且相等，
∴四边形 为平行四边形，∴ .
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
【点睛】本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.
3．如图所示，在三棱柱 中， 为 的中点，求证： 平面【答案】证明见解析
【分析】连接 交 于 ，连接 ，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得 ，然后
利用线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，连接 交 于 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形．∴点 为 的中点．
∵ 为 的中点，∴ 为 的中位线，∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
4．已知四棱锥 中， ，取 的中点M， 的中点N，求证： 平面 .
【答案】证明见解析【分析】如图，连接 并延长，交 的延长线于点E，连接 ，可得N为 的中点，再由三角形中
位线定理可得 ∥ ，然后由线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，连接 并延长，交 的延长线于点E，连接 .
因为 ∥ ，N为 的中点，
所以N为 的中点.
因为M为 的中点，
所以 ∥ .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
5．如图，在长方体 中，E为AB的中点，F为 的中点．证明： 平面 ．
【答案】证明见解析
【分析】取 的中点G，连接GF，AG，证明四边形AEFG为平行四边形，进而有 ，然后根
据线面平行的判断定理即可证明.
【详解】证明：取 的中点G，连接GF，AG，因为G为 的中点，F为 的中点，所以 且CD＝2GF，
又E为AB的中点，AB＝CD， ，所以 且AE＝GF，
所以四边形AEFG为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ，EF 平面 ，
所以 平面 ．
6．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明： 平面BDM．
【答案】证明见解析
【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，证明OM∥PA，即可证明PA∥平面BDM．
【详解】证明：连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，
在△PAC中，又M为PC中点，所以OM∥PA，
又PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以PA∥平面BDM．7．如图所示，在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．求证：平面
平面 ．
【答案】证明见解析
【分析】连接 ，由三角形中位线定理可得 ，再由正方形的性质可证得 ，则
，利用线面平行的判定定理可证得 平面 ，同理可证得 平面 ，再利用面面
平行的判定定理可证得结论.
【详解】证明：如图，连接 ．因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ．
因为 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
同理可证 平面 ．
又因为 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
8．正三棱柱 的底面正三角形的边长为 ， 为 的中点， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求该三棱柱的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；
（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.
【详解】（1）证明：连接 ，设 ，连接∵ 是正三棱柱的侧面，
∴ 为矩形，
∴ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2， 为 的中点
所以 ， ，
故 ，
又 平面 ， ，
所以正三棱柱的体积
9．如图，在正方体 中， 是 的中点， 分别是 的中点，求证：(1) 平面 ；
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.
【详解】（1）
如图，连接 ，∵ 分别是 的中点，∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，∴直线 平面 .
（2）连接SD，∵ 分别是 的中点，
∴ .又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，由(1)知， 平面 ，
且 平面 ， 平面 ， ，∴平面 ∥平面 .
10．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， ， 为圆锥底面的两条直径， 为母线 上一
点，连接 ， ， ．（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）若 平面 ，证明： 为 的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由中位线得 ，进而可得结论；
（2）由线面平行性质定理可得 ，由于 为中点，进而可得结论.
【详解】（1）若 为 的中点，由 为圆锥底面的直径，有 为 的中点．
则在 中有 ，
又 平面 ， 平面 ，
则有 平面 ；
（2）若 平面 ，由 平面 ，平面 平面 ，
有 ，
所以在 中， ，
又 为 的中点，则有 ，
则有 为 的中点．
11．如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ．(2)在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据中位线的性质可得 A，再根据线面平行的判定可得 B即可；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据中位线的性质判定即可
【详解】（1）证明：因为 ， 分别为线段 的中点所以 A.因为 ，所以
B.又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ， 因为 为 的中点所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得， 平面 ，又因为 ， ， 平面 ，所以平面 平面
故在线段 上存在一点 ，使平面 平面 ．
12．如图，在四棱柱ABCD﹣ABC D 中，点M是线段BD 上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
1 1 1 1 1 1
(1)求证：EF 平面BDD B；
1 1
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF 平面BDD B．
1 1
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可；
（2）根据面面平行的判定定理证明即可．【详解】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣AB CD 中，连接BM，如图，
1 1 1 1
因E，F分别是BC，CM的中点，
则有EF BM，
又EF 平面BDD B ，BM 平面BDD B ，
1 1 1 1
所以EF 平面BDD B ．
1 1
（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，
而E是BC的中点，
于是得EG BD，
而EG 平面BDD B ，BD 平面BDD B ，
1 1 1 1
从而得EG 平面BDD B ，
1 1
由（1）知EF 平面BDD B ，
1 1
EF EG＝E，且EF、EG 平面GEF，
因此，平面GEF 平面BDD B ，所以当G是DC的中点时，平面GEF 平面BDD B ．
1 1 1 1
13．如图，四棱锥 的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD
＝2．(1)求证： 平面PEC；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）取PC的中点G，由题可得 ，然后根据线面平行的判定定理即得；
（2）根据锥体的体积公式结合条件即得.
【详解】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，
因为F是 的中点，
所以 ，
因为E是AB的中点，
所以 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，
所以三棱锥 的体积为：
＝
．14．在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为边长为 的菱形， ， ，
为 中点， 为 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与 所成角大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明出平面 平面PCD，从而得到线面平行；
（2）作出辅助线，由余弦定理得到 ，找到直线 与 所成的角 或其补角为直线
与 所成角，由勾股定理求出 ，由余弦定理求出答案.
【详解】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，
因为 为 中点， 为 的中点，
所以 ， ，
因为 平面PCD， 平面PCD，
所以 平面PCD，同理可得 平面PCD，
因为 ， 平面 ，
所以平面 平面PCD，
因为 平面MNE，
所以直线 平面 ；（2）连接AC，
四边形 为边长为 的菱形， ，所以 ，
由余弦定理得： ，
因为 ， 为 中点，所以 ,
因为 底面 ， 平面ABCD，
所以PA⊥AC，PA⊥AD，
所以 ，
，
因为 ，所以直线 与 所成的角 或其补角为直线 与 所成的角，
由余弦定理得： ，
故直线 与 所成角的大小为 .
15．已知正方体 ，点E为 中点，直线 交平面 于点F．求证：点F为 中点．【答案】证明见解析
【分析】先证明线面平行，然后利用线面平行的性质得到 ，结合E为中点可证结论.
【详解】在正方体中 ，所以 ；
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
因为直线 交平面 于点F，
所以 平面 ，且平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为点E为 中点，底面 是正方形，
所以F为 中点.
16．点 是 所在平面外一点， 是 中点，在 上任取点 ，过 和 作平面交平面
于 ．证明： ．
【答案】证明见详解【分析】连结 ，交 于点 ，连结 ，可推得 ，进而得到 平面 .然后根据线面平
行的性质定理可得 ．
【详解】证明：连结 ，交 于点 ，连结 .
因为四边形 为平行四边形，所以 是 的中点.
又 是 中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ．
17．已知直棱柱 的底面ABCD为菱形，且 ， ，点 为 的中
点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）连接AC交BD于点 ，连接 ，
在直四棱柱 中 ， ，
所以四边形 为平行四边形，即 ， ，
又因为底面ABCD为菱形，所以点 为AC的中点，
点 为 的中点，即点 为 的中点，所以 ， ，
即四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，，所以 平面 ；
（2）在直棱柱 中 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为上底面 为菱形，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为在 中， ，
且点 为BD的中点，所以 ，即 ，
所以 ．18．如图，在长方体 中， ， .
(1)设O、E分别为 和AB中点，求证：OE平行于平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先取 中点 ，连接 、 ，易证四边形 为平行四边形，所以 ，再利
用线面平行的判定即可得到答案.
【详解】（1）取 中点 ，连接 、 ，如图所示：
因为O为 中点，所以 ，且 .
又 是长方体， 为 中点，
所以 ，且 ，即 ，且 ，
四边形 为平行四边形，所以 .又 在平面 内， 在平面 外，因此， 平面 .
19．如图，在正四面体 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，取 ， 的中
点 ， ，点 为平面 内一点
(1)求证：平面 平面
(2)若 平面 ，求线段 的最小值，
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面平行判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行即可；
（2）由面面平行确定点 在线段 上，再求 在边 上的高，即 的最小值.
【详解】（1）∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 .（2）
由（1）知，平面 平面 ，
∴若平面 内存在一点 ，使 平面 ，则 在线段 上，
∴线段 的最小值为 到直线 的距离，即 在边 上的高，
∵ ， 分别为 ， 的中点， ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
又∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，同理 ，
∴当 为 中点时， ，此时 在边 上的高， 取最小值，
∴线段 的最小值 .
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．如图：在正方体 中，M为 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接MO，通过证明 可证明结论；
（2） 上的中点N即满足平面 平面 ，通过证明 平面 结合 平面 可证
明结论.
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接MO.
∵ 为正方体，底面 为正方形，∴O为BD的中点.
∵M为 的中点，在 中，OM是 的中位线，所以 .
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2） 上的中点N即满足平面 平面 ，
∵N为 的中点，M为 的中点，∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
由（1）知 平面 ，又∵ ，
∴平面 平面 .
2．如图所示，三棱柱 ，底面是边长为2的正三角形，侧棱 底面 ，点 分别是棱
， 上的点，点 是线段 的中点， ．
(1)求证 平面 ；
(2)求 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 与 所成角的余弦值为 .
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ；证明 ，根据线面平行判定定理证明 平面 ；
（2）根据异面直线夹角定义证明 为直线 与 所成角，解三角形求其余弦值即可.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，∵ 分别为 的中点，∴ ， ，
由 ，且 ，
∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）因为 ，
所以 为直线 与 所成角，
中， ，
直角梯形 中， ，过 作 ， 为垂足，如图所示，
则 ， ， ， ，
，所以 为等腰三角形，则 ，
中， ，
所以 ，
中， ，所以
所以 与 所成角的余弦值为 .
3．如图，在正三棱柱 中， 是线段 上靠近点 的一个三等分点， 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段 的中点 ，连接 ，记 ，连接 ，证明 ，
，从而可证得平面 平面 ，再根据面面平行的性质即可得证；
（2）取棱 的中点 ，以 为原点，分别以 ， 的方向为 ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
利用向量法求解即可.
【详解】（1）取线段 的中点 ，连接 ，记 ，连接 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，由题意可知四边形 是矩形，则 是 的中点，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，且 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（2）取棱 的中点 ，以 为原点，分别以 ， 的方向为 ， 轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系，
因为 ，所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
故点 到平面 的距离 ．
4．如图所示，在直三棱柱 中， ， ，点 、 分别为棱 、
的中点，点 是线段 上的点（不包括两个端点）.(1)设平面 与平面 相交于直线 ，求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出 平面 ， ，利用线面平行的性质可证得 ，利用平行线的传递
型可证得结论成立；
【详解】（1）证明：因为点 、 分别为棱 、 的中点，则 ，
在三棱柱 中，四边形 为平行四边形，所以， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以， ，故 .
5．在四面体中 ，四边形 是矩形，且 .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明 平面 ，即可证明 ，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）证明：因为四边形 是矩形，故 ,
由于 平面 , 平面 ,
故 平面 ,又 平面 ,平面 平面 ,故 ,又 平面 , 平面 ,
故 平面 .
6．在四棱柱 中， ， ， ， .
(1)当 时，试用 表示 ；
(2)证明： 四点共面；
(3)判断直线 能否是平面 和平面 的交线，并说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）直接利用空间向量线性运算可得 ，再根据已知关系 ，
，进行化简可得出结果.
（2）可设 ， 不为 )，由题意可化简得到 ，将 代入并结合
题意可化简得出 ，即可证明出 四点共面.
（3）先假设面 面 ，根据棱柱的性质，可得出 平面 ，进而得出 ，反
之当 ，可判断出 平面 ， 平面 ，得出平面 平面 = ，得出当 时，直线 是面 和面 的交线，反之不行，从而得出结果.
【详解】（1） =
= = ；
（2）设 ， 不为 )，
=
则 ， ， 共面且有公共点 ，则 四点共面；
（3）假设面 面 ，在四棱柱 中，
， 面 ， 面 ，则 平面 ，
又 面 ，面 面 ，则 ；
反过来，当 时，因为 ，则 ，
则 确定平面
则 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 = ，
所以 是直线 是面 和面 的交线的充要条件；
所以，当 时，直线 是面 和面 的交线；
当 不平行时，直线 不是面 和面 的交线7．如图所示，三棱台 的体积为7，其上、下底面均为等边三角形，平面 平面 ，
且 ，棱AC与BC的中点分别为G，H.
(1)证明：平面 平面FGH；
(2)求点E到平面FGH的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面平行的判断定理，转化为证明线线平行；
（2）首先根据第一问转化为点 到平面 的距离，再根据等体积转化求点 到平面的距离.
【详解】（1）证明： 分别是 的中点，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ .
平面 ， 平面 ，
平面FGH，
平面ABED， 平面ABED， ，
∴平面 平面FGH.（2） 平面ABED，由（1）知 平面FGH，
点E到平面FGH的距离等于点A到平面FGH的距离，设为d.
由题意得上底面面积为 ，下底面面积为 ，
设三棱台的高为 ，则 ，得 .
由 ，得 ，
设CG的中点为I，连接IH，IF，∵平面 平面ABC且交于AC， ，
∴ 平面ABC， ， ，
，
，
∵ ，∴ ，
故点E到平面FGH的距离为 .
8．如图，在正三棱柱 中， 是 的中点，求证： 平面 ．
【答案】证明见解析【分析】构建空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，写出相关点坐标，
求面 的法向量 、 的坐标，判断 、 的位置关系，即可证结论.
【详解】如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，
则 ， ，
所以 ．
设面 法向量为 ，则 ，令 ，则 ．
由于 ，因此 ， 平面 ，
所以 ．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面
ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．(1)证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 ，利用平行线分线段成比例和平行四边形的性质，结合线面平行的判定可证
得MQ∥平面PAB，QN∥平面PAB，由面面平行的判定与性质可证得结论；
【详解】（1）在AD上取一点Q，使得 ，连接MQ，NQ，如图，
∵ ，∴MQ∥AP，又 平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；
∵ ， ，AD∥BC，
∴AQ∥BN，AQ＝BN，∴四边形ABNQ为平行四边形，
∴AB∥QN，又 平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴QN∥平面PAB，又MQ∩QN＝Q，MQ，QN⊂平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAB，又MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAB；
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点.(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）平面BMN∥平面PCD证明的关键就是证明平面BMN 中的两条相交直线BM，MN平行于
平面PCD，按此则结论可证.
【详解】（1）证明：连接BD，如图
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，
又CD，BM⊂平面ABCD，
BM∥CD，
又BM 平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD，
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN∥PD，
又MN 平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
11．直四棱柱 ， ， ， ， ，
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）要证直线与平面平行，可以先证平面与平面平行，进而可证结论；
【详解】（1）因为 是直四棱柱，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 .
12．已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 .(1)证明：点 为 的中点；
【答案】(1)证明见解析.
【详解】（1）在正方体 中， ，又 平面 ，且 平面 ，
则 平面 ，而 交平面 于点 ，即 平面 ，
又 平面 ，有 平面 ，因此平面 平面 ，
于是 ，而 为 中点，
所以 为 的中点.
13．在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为矩形， 为棱 的中点， 与 交于
点 为 的重心.
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用相似证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行；
【详解】（1）证明：延长 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，因为 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 与 相似，
所以 ，
因为 为 的重心，所以 ，
所以 ，所以 与 相似，
所以 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
14．如图在棱长为 的正方体 中， 是 上一点，且 平面 .
(1)求证： 为 的中点；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，利用线面平行的性质可得出 ，推导出 为 的
中点，结合中位线的性质可证得结论成立；【详解】（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以， ，
因为四边形 为正方形， ，则 为 的中点，
因此， 为 的中点.
15．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，
M为PD（不包含端点）上的点， ， ．
(1)若 ，求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，先证明H为AD的中点，再
证明四边形 为平行四边形，则 ，再根据线面平行的判定定理即可得证；
【详解】（1）延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，
由 ，故 ，
所以 ，
即H为AD的中点，此时 ， ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
16．如图，多面体 是将一个平行六面体 截去三棱锥 后剩下的几何
体，P为三角形 的重心，Q为 的中点.四边形ABCD是边长为1的正方形，且 ，
.
(1)求异面直线BC与 所成角的大小；
【答案】(1)
【分析】（1）利用异面直线的定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中求解即可；
【详解】（1）因为多面体 是平行六面体 截去三棱锥 后剩下的几
何体，
所以 ，所以 为异面直线BC与 所成角或其补角，
因为 ，Q为 的中点， ，所以 ， ，
因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以 为等边三角形，即 ，
所以异面直线BC与 所成角的大小 .【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．如图，在四棱锥 中，PA 面ABCD，AB CD，且CD=2，AB=1，BC= ，PA=1，AB
BC，N为PD的中点．
(1)求证：AN 平面PBC；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，证明 ， ，从而可得平面 平面
，再根据面面平行的性质即可得证；
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
因为N为PD的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
又因 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；2．如图，在棱长为2的正方体 中，点M是正方体的中心，将四棱锥 绕直线
逆时针旋转 后，得到四棱锥 ．
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）证明：若 ，则平面 、平面 为同一个平面，
连接 ，则M是 中点， 是 中点，
故 是 的中位线，所以 ．
因为 ，所以平面四边形 是平行四边形，所以 ．
又 平面 平面 ，所以 平面
同理 平面 ，且 平面 平面 ，
所以，平面 平面 ．
3．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 中底面长轴 ，
短轴长 ， 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点， ，P为 的中点，MN为过点 的下底面的一条动弦（不与AB重合）.
(1)求证： 平面PMN
(2)求三棱锥 的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2
【分析】（1）由线线平行证线面平行；
（2）由解析法，建立平面直角坐标系 如图所示， ，转为求 的
最大值，
其中 为弦长公式结合韦达定理求得， 为 到直线MN的距离由点线距离公式求得. 最后讨论最值即
可.
【详解】（1）由长轴 ，短轴长 得焦半径得 ，∴
分别OB、 的中点，
在柱体中，纵切面 为矩形，连接 ，则 ，又 ，∴四边形 为平行
四边形，∴ ，
∵P为 的中点， ，∴ ，∵ 平面PMN， 平面PMN，∴ 平面PMN；
（2） ，
建立平面直角坐标系 如图所示，则底面椭圆为 ， ，
由题意知，直线MN的斜率不为0，设为 ， ，联立椭圆方程可得
，
则 ，∴
.
又点 到直线MN的距离 .
∴ .
∴ .
设 ，对 ，由 ，∴ 在 上单调递增，∴ ，此时 .
故三棱锥 的体积的最大值为2.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，
从而表示出面积，作进一步讨论.
4．如图，在多面体 中，平面 平面 ， 平面 ， 和 均为正三角形，
， .
(1)在线段 上是否存在点F，使得 平面 ?说明理由；
【答案】(1)存在，理由见解析
【分析】（1）记 中点为M，连结 ，根据线面平行的判定定理即可得出结论；
【详解】（1）记 中点为M，连结 ， 为正三角形， ,则 ，且 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面ACD,
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 .
延长 交于点G，则 为平面 与平面 的交线，
因为 ，故 ，所以B为 的中点，
取 中点F，连结 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
即线段 上存在点F，当 时， 平面 .
5．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 分别为 ， 的中
点，点 在 上，且 为三角形 的重心.
(1)证明： 平面 ；【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，首先说明 ，由重心的性质得
到 ，即可证明 ，从而得证；
【详解】（1）证明：连接 ，因为 ， ，所以 ，且 ，
由 ，得 ， ，
则 ，所以 .
连接 并延长交 于点 ，如图，
因为 为 的重心，所以 .
连接 ，因为 ，所以 .
又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
6．如图，点 在以 为直径的圆 上 不同于 ， ， 垂直于圆 所在平面， 为 的重心，
， 在线段 上，且 .
(1)证明： ∥平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，由重心的性质和平行线的判定，结合线面平行的判定定理可证得结论，
【详解】（1）证明：连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，
因为 为 的重心，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ；
7．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ，平行于 和
的平面分别与 交于 四点．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
【答案】(1)四边形 是矩形，理由见解析
【分析】（1）首先根据面面平行的判定以及面面平行的性质证明线线平行，然后证明四边形 是矩
形；
【详解】（1）四边形 是矩形，下面给出证明：
因为 ，由题意 //平面 //平面 ，
面 ，
所以平面 //平面 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，同理 ，又 ，
所以 ，同理 ，
所以四边形 是平行四边形．
取 中点 ，连接 ，则 ．
又因为 ，所以 ，故有 ．
AP、A P交于P且都在面AA P内，所以 平面 又 面
1 1
所以 ，
综上知： ，即四边形 是矩形．
8．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 中点， 为 中点，
在 上， .二面角 的平面角大小为 .
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接 并延长，交 于点 ，取 的中点 可得 ，根据 为 中点，
可得 ，从而 ，再由线面平行的判定定理可得答案；
【详解】（1）连接 并延长，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ， ，所以 ，所以 ，又 为 中点，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
9．如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足 ，将 沿 向上翻折，
使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
【答案】(1)点 为线段 上靠近点 的三等分点
【分析】（1）在 取点 使 ，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即得；
【详解】（1）点 为线段 上靠近点 的三等分点，
证明如下：
如图，在 取点 ，连接 ， ,使得 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以在 中， ，所以 ，
所以点 为线段 上靠近点 的三等分点.
10．如图,在四棱锥 中, 平面 , 平面 ,底面 为矩形,点 在棱 上,且
与 位于平面 的两侧.
(1)证明: 平面 ;
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据线面垂直的性质定理可得 ,根据线面平行的判定定理即可得 平面 ,根据及线面平行的判定定理即可得 平面 ,根据 及面面平行的判定定理即可得平
面 平面 ,再根据面面平行的性质定理即可证明;
【详解】（1）证明:因为 平面 ,
平面 ,
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
因为底面 为矩形,
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
因为 ,
且 平面 , 平面 ,
所以平面 平面 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ;
