文档内容
专题 8-3 圆锥曲线小题综合
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】圆锥曲线定义型......................................................................................................................................2
【题型二】焦点弦与焦半径型..................................................................................................................................3
【题型三】定比分点....................................................................................................................................................4
【题型四】离心率综合................................................................................................................................................5
【题型五】双曲线渐近线型......................................................................................................................................6
【题型六】抛物线中的设点计算型........................................................................................................................7
【题型七】切线型.........................................................................................................................................................8
【题型八】切点弦型....................................................................................................................................................9
【题型九】曲线轨迹型.............................................................................................................................................10
专题训练.........................................................................................................................................................................11
讲高考
1．（2017·全国·高考真题）已知双曲线 满足 ，且与椭圆
有公共焦点，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线 分别是双曲线
的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近
线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分
别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在
C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，
若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其
内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
8．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，
过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
题型全归纳
【题型一】圆锥曲线定义型
【讲题型】
例题1.，抛物线 的焦点为 ，若对于抛物线上的任意点 ，
的最小值为41，则 的值等于______.例题2.已知双曲线 : 的左焦点为点 ,右焦点为点 ,点 为双
曲线 上一动点,则直线 与 的斜率的积 的取值范围是__________．
【讲技巧】
基本定义
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，
c0，且a，c为常数)
(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c
为常数且a>0，c>0).
(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
拓展定义
.A,B是椭圆C:+＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则
（可用点差法快
速证明）
2.A,B是双曲线C:－＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则
（可用点差法
快速证明）
【练题型】
1.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，
，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则
的最小值为____．
2. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，以 为直径的
圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 ， ，设四边形 的周长为 ，
面积为 ，且满足 ，则该双曲线的离心率为______.
【题型二】焦点弦与焦半径型
【讲题型】
例题1.如图，过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦 、 ，若
与 面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.题2.已知椭圆 的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使
得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
1. 已 知 F 是 抛 物 线 的 焦 点 ， 点 P 在 抛 物 线 上 ， 则
2.若焦点弦 的倾斜角为 ，则 （横放）若 的倾斜角为 ，则
（竖放）
【练题型】
1.设抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且 ，
则弦长 ______．
2.设 分别为椭圆 的左､右焦点，若在直线 （c为半焦距）
上存在点P，使 的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】定比分点
【讲题型】
例题1.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 作倾斜角为 的直线与椭圆
交于 两点，且 ，则椭圆的离心率=（ ）A. B. C. D.
例题2.抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若
⃑BA=4⃑BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为______．
【讲技巧】
1.过圆锥曲线的焦点 F 的弦 AB 与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
2. 已 知 AB 为 抛 物 线
的 焦 点 弦 ，
【练题型】
1.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，
且 ，则当 时，椭圆的离心率的取值范围为______．
x2 y2
+ =1 (a>b>0)
a2 b2
3. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （
）的直线与椭圆 相交于 两点．若 ，则 ＝________．
【题型四】离心率综合
【讲题型】
例题1.已知椭圆 与双曲线 有公共
的左、右焦点 ,它们在第一象限交于点 ,其离心率分别为 ,以 为直径的圆
恰好过点 ,则 ________.
例题2.已知 为双曲线 的左、右焦点， 是双曲线
右支上的一点，连接 并过 作垂直于 的直线交双曲线左支于 ，其中
， 为等腰三角形．则双曲线 的离心率为_．
【讲技巧】解题时要把所给的几何特征转化为 的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得 ，利用 或 求解；
（2）根据条件得到关于 的方程或不等式，利用 将其化为关于 的方程或不
等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
【练题型】
π
1.已知F ，F 是椭圆和双曲线的公共焦点，Ρ是它们的一个公共点，且∠F ΡF = ，记
1 2 1 2 3
1
椭圆和双曲线的离心率分别为e ，e ，则 的最大值是（ ）
1 2 e e
1 2
4√3 2√3
A．3 B． C．2 D．
3 3
2.已知 是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，
且 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型五】双曲线渐近线型
【讲题型】
例题1.已知双曲线 的中心为 ，左、右顶点分别为 ，左、右焦点为 ，过
的直线与 的两条渐近线分别交于 两点．若 ， ，则 的离心
率等于_________．
例题2.已知双曲线 的左焦点为 ，过点 作双曲线 的一条渐
近线的垂线 ，垂足为 ，垂线 与双曲线的另一条渐近线相交于点 ， 为坐标原点.若
为等腰三角形，则双曲线的离心率为__________．
【讲技巧】
渐近线
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）一直线交双曲线 的渐近线于 A.B 两点。A,B 的中点为 M，则
.（4）过双曲线 上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐
标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；② ；③
【练题型】
1.已知双曲线 的右顶点为 ,且以 为圆心，双曲线虚轴长为直径
的圆与双曲线的一条渐近线相交于 两点，若 ，则双曲线 的离心
率的取值范围是__________．
2.已知 是双曲线 ： （ ， ）的左焦点，过点 的直线与双曲线
的左支和两条渐近线依次交于 ， ， 三点．若 ，则双曲线 的
离心率为______．
【题型六】抛物线中的设点计算型
【讲题型】
例题1.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF
上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为________.
例题2.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.
【讲技巧】
是抛物线 的焦点弦，设 ， 在准线上的射影分别
为 ，则：
（1） ；
（2） ；
（3）若 倾斜角为 ，则 ；
（4）以 为直径的圆与准线相切；
（5） ；（6）若 是 中点，则 ， ；
（7） 共线， 共线；
（8） ．
【练题型】
1.已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ， ，且
，则 __________．
y2 =4x l
2.已知抛物线 ，过其焦点F作直线 交抛物线于A，B两点，M为抛物线的准线与
4
tan∠AMB=
|AB|=
3
x轴的交点， ，则 _____.
【题型七】切线型
【讲题型】
例题1.已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，使
得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2.．两个长轴在 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若 ， 分别为外层
椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线 ， ，切点分别为 ， ，且两切线
斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
1.椭圆：
若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是
.
3.点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是：
；【练题型】
1.已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过 作抛物
线的切线，切点为 ，若点 恰在以 、 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（
）
A． B．
C． D．
2.已知抛物线 的准线上有一点 ，过点 作 的切线 ， ，切点分别为 ，
，点 为 的焦点，则对于以下命题：① ， ， 三点共线；② ；③
；④ ，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型八】切点弦型
【讲题型】
例题1.已知椭圆E: 的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点
分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
例题2.已知点 在抛物线 上，过 作圆 的两条切
线，分别交抛物线于点 ， ，若直线 的斜率为 ，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
【讲技巧】
1.椭圆：
若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P 、P ，
1 2
则切点弦P P 的直线方程是 .
1 2
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切
线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
3.点 是抛物线 外一点，则抛物线过点P的切点弦方程
是： ；【练题型】
1.已知椭圆 ，圆 ，过椭圆上任一与顶点不重合的点 引圆的两条
切线，切点分别为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，则 （
）
A． B． C． D．
2.已知抛物线 的焦点到准线的距离为2，点 ， 在抛物
线 上，过点 ， 作抛物线 的切线 ， ，其中 ， ， 不与坐标轴垂直，直线
， 交于点 ，若直线 过点 ，则当 的面积最小时， （ ）
A． B． C．0 D．
【题型九】曲线轨迹型
【讲题型】
例题1. 方程(x+y-1) =0所表示的曲线是
A. B. C. D.
例题2.平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼（cassin）卵形线，
已知曲线 为到定点 的距离之积为常数4的点 的轨迹，关于曲
线 的几何性质有下四个结论，其中错误的是（ ）
A．曲线 关于原点对称 B． 的面积的最大值为2
C．其中 的取值范围为 D．其中 的取值范围为
【讲技巧】
求轨迹方程：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义
写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的
坐标 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一
参数 得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交
点的轨迹方程.【练题型】
1.动点 在圆 上移动，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，则线段 中
点的轨迹方程是.
A． B． C． D．
2.已知 ，动点 是圆 内（含边界）一点． 记直线
的倾斜角分别为 ，且满足 ，则点 的轨迹长度为________．
一、单选题
1．设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则 的中
点到 轴的距离是（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．设 分别是双曲线 的左､右焦点，过 作 的一条渐近线的垂
线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知过椭圆 的上焦点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点， 为坐
标原点，直线 分别与直线 相交于 两点.若 为锐角，则直线 的斜率
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线 的一
条渐近线上的点，且线段 的中点 在另一条渐近线上．若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，若的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
6．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交
双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线
焦点 作抛物线的弦，与抛物线交于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的切线 ，
相交于点 ，那么阿基米德三角形 满足以下特性：①点 必在抛物线的准线上；②
为直角三角形，且 为直角；③ ，已知 为抛物线 的准线上一点，
则阿基米德三角形 面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
8．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，若离心
率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆
10．已知 是双曲线 的左、右焦点， 是C上一点，若
C的离心率为 ，连结 交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C． 的周长为 D． 的内切圆半径为
11．抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 上的点 作 的切线m，m
与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为 ，则（ ）A． B． 为 中点
C．四边形 是菱形 D．若 ，则
12．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为B，直线l：
与椭圆C交于M，N两点， 的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相
交于点 ，则（ ）
A．四边形 的周长为8 B． 的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为 D．当 时，
三、填空题
13．已知椭圆 的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线
的对称点为 ．若过A， ，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______．
14．已知双曲线C： 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双
曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 ，则以 （e为双曲线C的离心
率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
15．设过点 的直线l与椭圆 交于M，N两点，已知点 ，若直线AM
与直线AN的斜率分别为 ， ，则 ______．
16．已知双曲线G的方程 ，其左、右焦点分别是 ， ，已知点P坐标为 ，
双曲线G上点 ， 满足 ，则
______．
