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第 2 讲 圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求
椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF|＋|PF|＝2a(2a>|FF|)．
1 2 1 2
(2)双曲线：||PF|－|PF||＝2a(0<2a<|FF|)．
1 2 1 2
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的
a2，b2，p的值．
例1 (1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆C上一点，且PF 垂
1 2 2
直于x轴，若|FF|，|PF|，|PF|成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是( )
1 2 2 1
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意知，|FF|＝2c，|PF|＝2c＋2，|PF|＝2c＋4，
1 2 2 1又PF 垂直于x轴，所以(2c)2＋(2c＋2)2＝(2c＋4)2，解得c＝3，
2
又由椭圆定义可得2a＝2c＋2＋2c＋4＝18，即a＝9，
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F ，F ，点P是C右支上的
1 2
一点(不是顶点)，过F 作∠FPF 的角平分线的垂线，垂足是 M，O是原点，则|MO|＝
2 1 2
________.
答案 4
解析 延长FM交PF 于点Q，
2 1
由于PM是∠FPF 的角平分线，FM⊥PM，
1 2 2
所以△QPF 是等腰三角形，
2
所以|PQ|＝|PF|，且M是QF 的中点．
2 2
根据双曲线的定义可知|PF|－|PF|＝2a，
1 2
即|QF|＝2a，
1
由于O是FF 的中点，所以MO是△QFF 的中位线，
1 2 1 2
所以|MO|＝|QF|＝a＝4.
1
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式
为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为( )
A．5 B．5
C．10 D．10
答案 C
解析 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，
M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离
为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.
因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所
以|AB| ＝10.
max
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
核心提炼
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求
得e的值或取值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例2 (2022·河南五市联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，以F
1 2 2
为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 的中点，则双曲线
2
C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
答案 B
解析 由题意知，渐近线方程为y＝±x，
焦点F(c，0)，c2＝a2＋b2，
2
因为以F 为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距
2
离，
即r＝＝b，又该圆过线段OF 的中点，故＝r＝b，
2
所以＝＝＝.
所以渐近线方程为y＝±x.
考向2 离心率问题
例3 (2022·山东名校大联考)已知F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B
1 2
是椭圆上关于x轴对称的两点，AF 的中点P恰好落在y轴上，若BP·AF2＝0，则椭圆C的离
2
心率的值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 依题意可知AB⊥x轴，且AB过左焦点F，
1
不妨设A，B，P，
由于BP·AF2＝0，所以·＝2c2－＝＝0，
即4a2c2－3(a2－c2)2＝0，
整理得(3c2－a2)(c2－3a2)＝0，解得3c2＝a2或c2＝3a2(舍去)，
所以＝，e＝.
规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定
义，运用平方的方法，建立与|PF|·|PF|的联系．
1 2
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为
“0”，然后因式分解得到．
跟踪演练2 (1)(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F关于它
的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D．2
答案 C
解析 如图所示，右焦点F关于渐近线y＝x的对称点A在渐近线y＝－x上，
由对称性可知，∠1＝∠2＝∠3，又∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，
则＝tan 60°＝，∴b2＝3a2，即c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，
∴e＝＝2.
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对
称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以k ·k ＝·＝＝.(*)
AP AQ
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，
代入(*)式，得＝，
所以e＝＝＝.故选A.
考点三 抛物线的几何性质
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(2)|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射
线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，FM＝MN，则p的值等于( )
A. B．2 C. D．4
答案 B
解析 设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.
由抛物线的定义知，
|MM′|＝|FM|.
因为＝，
所以＝，即cos∠NMM′＝＝，
所以cos∠OFA＝cos∠NMM′＝，
而cos∠OFA＝＝＝，
解得p＝2.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝2x－p与C交于A，B两点，点A，B在准线上
的射影分别为点A，B，若四边形AABB 的面积为3，则p等于( )
1 1 1 1
A．2 B. C. D．4
答案 B
解析 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为x＝－.
直线l：y＝2x－p可化为y＝2，所以直线l过抛物线的焦点．
设A(x，y)，B(x，y)，把直线l代入抛物线C消去y可得4x2－5px＋p2＝0，
1 1 2 2
所以x＋x＝p，xx＝p2.
1 2 1 2
又点A，B到准线的距离分别为x ＋，x ＋，所以|AB|＝x ＋x ＋p＝p，由抛物线性质可知四
1 2 1 2
边形 AABB 为直角梯形，设直线 l的倾斜角为 θ，则 tan θ＝2，得 sin θ＝，则四边形
1 1
AABB 的高为h＝|AB|＝p，所以 ＝×|AB|×h＝p2＝3，解得p＝.
1 1
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形
(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，
使问题简单化且减少数学运算．
跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方
程为________．
答案 x＝－
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以＝，
即＝，
解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝
3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左
到右依次为A，B，C.若AB＝BF，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为x＝－1，由AB＝BF，可得＝，
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，
准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE| ，
故＝＝，
故∠ABE＝ ，
而BE∥x轴，故∠AFN＝，
所以直线AB的倾斜角为，
所以直线AB的方程为y＝x－1，
设B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2
联立
整理可得x2－6x＋1＝0，
则x＋x＝6，所以BC的中点的横坐标为3，
1 2
则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.
专题强化练
一、选择题
1．(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方
0
程为( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝12x D．y2＝16x
答案 B
解析 因抛物线C：y2＝2px上一点(1，y)到其焦点的距离为3，
0
则p>0，抛物线准线方程为x＝－，
由抛物线定义得1－＝3，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
2．已知双曲线－y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±2x D．y＝±x答案 A
解析 因为双曲线－y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，
所以由m＋1＝32，得m＝8，
所以双曲线方程为－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
3．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|
BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2 C．3 D．3
答案 B
解析 方法一 由题意可知F(1,0)，
抛物线的准线方程为x＝－1.
设A，则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1，又|BF|＝3－1＝2，
故由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，
解得y＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
0
不妨取A(1,2)，
故|AB|＝＝2.
方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
又抛物线通径长为4，
所以|AF|＝2为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝＝2.
4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的
设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似
看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下
顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 点F(0，c)到渐近线y＝±x，
即ax±by＝0的距离d＝＝b＝12，
又由题意知解得
所以e＝＝＝.
5．(2022·石家庄模拟)已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足
记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是( )
A．2－1 B.－1 C.＋1 D．2＋1
答案 A
解析 由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，
当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|最小，最小值为|MF|－1＝－1＝2－1.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作以F 为圆心，虚
1 2 1 2
半轴长为半径的圆的切线，切点为M，若线段MF 恰好被双曲线的一条渐近线平分，则双
1
曲线C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 设E为MF 的中点，如图，MF ⊥MF ，
1 2 1
因为E，O分别为MF ，FF 的中点，
1 1 2
所以OE∥MF ，
2
所以EF⊥EO，
1
由点到直线的距离公式求得|EF|＝b，所以|MF |＝2b，
1 1
又|MF |＝b，|FF|＝2c，
2 1 2
所以(2b)2＋b2＝(2c)2，
即5b2＝4c2，所以5(c2－a2)＝4c2，
所以c2＝5a2，所以e＝.
7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，
在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点 F(0,2)，椭圆的
短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与
下半圆交于点B，则下列结论错误的是( )
A．椭圆的长轴长为4
B．|AB|的取值范围是[4,2＋2]
C．△ABF面积的最小值是4
D．△AFG的周长为4＋4
答案 C
解析 由题意知，椭圆中的几何量b＝c＝2，得a＝2，则2a＝4，A正确；
|AB|＝|OB|＋|OA|＝2＋|OA|，
由椭圆性质可知2≤|OA|≤2，
所以4≤|AB|≤2＋2，B正确；
记∠AOF＝θ，
则S ＝S ＋S ＝|OA|·|OF|sin θ＋|OB|·|OF|sin(π－θ)＝|OA|sin θ＋2sin θ＝(|OA|＋2)sin
△ABF △AOF △OBF
θ，
取θ＝，
则S ＝1＋|OA|<1＋×2<4，C错误；
△ABF
由椭圆定义知|AF|＋|AG|＝2a＝4，
所以△AFG的周长L＝|FG|＋4＝4＋4，D正确．
8.如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直
的直线l ，l ，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任意
1 2
一点，记点P到两直线的距离分别为d，d，则d＋d的最大值是( )
1 2
A．4 B．5 C. D.
答案 C
解析 易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
圆O的方程为x2＋y2＝1，设P(x，y)，因为l⊥l，
0 0 1 2
则d＋d＝|PM|2＝x＋(y－1)2，
0
因为＋y＝1，
所以d＋d＝4－4y＋(y－1)2
0
＝－32＋，
因为－1≤y≤1，
0
所以当y＝－，即点P时，d＋d取得最大值.
0
二、填空题
9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点
在坐标轴上；③离心率为.
答案 ＋＝1(答案不唯一)
解析 只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可．
10．(2022·平顶山模拟)已知点F是抛物线E：y2＝8x的焦点，A，B，C为E上三点，且FA＋
FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________.
答案 12
解析 由题意知F(2,0)，设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2 3 3
∵FA＋FB＋FC＝0，∴F为△ABC的重心，
∴＝2，即x＋x＋x＝6，
1 2 3
则|FA|＋|FB|＋|FC|＝x＋2＋x＋2＋x＋2＝6＋6＝12.
1 2 3
11．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：＋＝1(b>0)的焦点分别为F，F，且F 是抛物线C ：y2＝
1 1 2 2 2
2px(p>0)的焦点，若P是C 与C 的交点，且|PF|＝7，则cos∠PFF 的值为________．
1 2 1 1 2
答案
解析 依题意，由椭圆定义得|PF|＋|PF|＝12，而|PF|＝7，则|PF|＝5，
1 2 1 2
因为点F 是抛物线C ：y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线l过点F，如图，
2 2 1
过点P作PQ⊥l于点Q，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|＝5，
2
而FF∥PQ，
1 2
则∠PFF＝∠FPQ，
1 2 1
所以cos∠PFF＝cos∠FPQ＝＝.
1 2 112．(2022·福州质检)已知O为坐标原点，F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，A为C
的右顶点，过F作C的渐近线的垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的
中点，则C的离心率是________．
答案 2
解析 由题意可知，F(－c，0)，A(a，0)，
渐近线不妨设为y＝－x，
则k ＝，
FM
直线FM的方程为y＝(x＋c)，
令x＝0，可得y＝，
则P，
则OP的中点坐标为，
联立
解得M，
因为直线AM经过OP的中点，
所以＝，
则2b2＝ac＋c2,2(c2－a2)＝ac＋c2，
即c2－ac－2a2＝0，
则e2－e－2＝0，解得e＝－1 (舍)或e＝2.
三、解答题
13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线l过F 且与
1 2 2
双曲线交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为，△FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
1
(2)设b＝，若l的斜率存在，且(F1A＋F1B)·AB＝0，求l的斜率．
解 (1)设A(x ，y )．
A A
由题意知，F(c，0)，c＝，
2
y＝b2(c2－1)＝b4，
因为△FAB是等边三角形，
1
所以2c＝|y |，
A
即4(1＋b2)＝3b4，
解得b2＝2.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)由已知，F(－2,0)，F(2,0)．
1 2
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
直线l：y＝k(x－2)．显然k≠0.由
得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
因为l与双曲线交于两点，
所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.
设AB的中点为M(x ，y )．
M M
由(F1A＋F1B)·AB＝0，
即F1M·AB＝0，
知FM⊥AB，故 ·k＝－1.
1
而x ＝＝，
M
y ＝k(x －2)＝， ＝，
M M
所以·k＝－1，得k2＝，
故l的斜率为±.
