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微重点 2 函数的嵌套与旋转、对称问题
函数的嵌套与旋转、对称问题在高考中经常出现，主要与函数的性质、函数的零点综合，
考查判断函数的零点、方程的根的个数、求参数问题，以及求函数的函数值、值域等，难度
较大，主要以选择、填空的形式出现．
考点一 嵌套函数中的零点问题
考向1 函数的零点个数问题
例1 已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
考向2 求参数的取值范围
例2 (2022·安康质检)已知函数f(x)＝若函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点，则m的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
规律方法 解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为 t，构造新的函数或方程，转化成
两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解．
跟踪演练1 (1)(2022·天津质检)已知定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足：∀x∈(0，
＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
(2)(2022·江西重点中学联考)函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同
的实数根，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
考点二 函数的旋转
例3 (2022·青岛模拟)将函数y＝－2(x∈[－3,3])的图象绕点(－3,0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)得
到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为(
)
A. B. C．1 D.
规律方法 函数的旋转，要使旋转后需满足函数的定义，则每个自变量，都有唯一的函数值
与之对应．
跟踪演练2 函数y＝f(x)定义在R上，已知y＝f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，则关于方
程f(x)＝x的根，下列说法正确的是( )
A．没有实根
B．有且仅有一个实根C．有两个实根
D．有两个以上的实根
考点三 函数的对称问题
例4 已知函数f(x)＝ax－ex与函数g(x)＝xln x＋1的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则
实数a的取值范围为( )
A．(e－1，＋∞) B.
C. D．(－∞，e－1)
规律方法 注意区分函数图象关于点对称和轴对称、函数本身的对称性和两函数的对称性，
会在函数解析式中寻找对称性．
跟踪演练3 (2022·山东联考)函数f(x)＝1＋sin πx－xsin πx在区间上的所有零点之和为( )
A．0 B．3 C．6 D．12
