专题16圆锥曲线中的范围与最值问题、探索性问题（原卷版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习

专题 16 圆锥曲线中的范围与最值问题 一、核心先导 二、考点再现 x2 y2  1(ab0) 【考点1】、若椭圆方程为a2 b2 ，半焦距为 ，焦点 ，设 过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B两点，则有：① ；② x2 y2  1(ab0) 若椭圆方程为a2 b2 ，半焦距为 ，焦点 ，设 过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B两点，则有 ：① ；② 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 （a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： x2 y2  1(ab0) AB  2ae(x x ) 【考点2】、过椭圆a2 b2 左焦点的焦点弦为AB ,则 1 2 ；过右焦 AB  2ae(x x ) 点的弦 1 2 .【考点3】、抛物线 与直线 相交于 且该直线与 轴交于点 ，则有 . 【考点4】、设 为过抛物线 焦点的弦， ，直线 的倾斜 角为 ，则 ①. ②. ③. [来源:学§科§网] ④. ； ⑤. ； ⑥. ； 三、解法解密 方法1. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函 数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围； [来源:学*科*网Z*X*X*K] ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围 方法2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 四、考点解密题型（一）利用题设条件，结合几何特征与性质求范围 例 1、（1）.已知 ， 为双曲线 ， 的左、右焦点，过 的直线 与圆 相切于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. （2）.（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知椭圆 的离心率为 为 的一个焦点， 为 上一动点，则 的最大值为（ ） A．3 B．5 C． D． 【变式训练1-1】、（2021·陕西·咸阳市实验中学高二阶段练习）已知椭圆C： 的下焦点为 ， 点 在椭圆C上，点N在圆E： 上，则 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式训练 1-2】、过双曲线 的右支上一点 ,分别向圆 ： 和圆 ： 作切线,切点分别为 , ,则 的最小值为（ ） A．10 B．13 C．16 D．19题型（二）利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围 例2、已知抛物线 : 与圆 : ，直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，且 ， 位于 轴的上方，则 _________． 【变式训练2-1】、（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）过椭圆 的右 焦点F且与长轴垂直的弦的长为 ，过点 且斜率为 的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是 AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ） A．6 B． C． D． 题型（三）求解函数值域得范围 例3、（2022·四川·树德中学高二期中）已知 是椭圆 和双曲线 的交点， ， 是 ， 的公共焦点， ， 分别为 ， 的离心率，若 ，则 的取值范围为______． 【变式训练3-1】、（2022·浙江·杭州四中高二期中）设P是椭圆 上的任一点，EF为圆 的任一条直径，则 的最大值为__________．例4、平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别是 、 ．以 为圆心以3为半径的圆与以 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 ．( i )求 的值；（ii）求△ 面积的最大值． 【变式训练4-1】、（2022·四川省成都市第八中学校模拟预测）已知椭圆 的左、 右焦点分别为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程； (2)如图， 四边形 是矩形， 与椭圆 相切于点 与椭圆 相切于点 与椭圆 相 切 于点 与椭圆 相切于点 ， 求矩形 面积的取值范围.题型（四）利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围 例5、【2018全国卷Ⅲ】已知斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 ， 两点，线段 的中点 为 ． (1)证明： ； (2)设 为 的右焦点， 为C上一点，且 ．证明： ， ， 成等差 数列，并求该数列的公差． 【变式训练5-1】、（2021·陕西·安康市教学研究室三模）已知椭圆 长轴的顶点与 双曲线 实轴的顶点相同，且 的右焦点 到 的渐近线的距离为 ． (1)求 与 的方程； (2)若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，且 经过点 ， 与 交于 、 两点，与 交 于 、 两点，求 ．【变式训练5-2】、（2021·广东·一模）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆C右焦点 并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积 为 ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为 ，求点P到直线l 距离的最大值．五、分层训练 A组 基础巩固 1．（2022·四川雅安·二模）已知双曲线 的一条渐近线为直线 ， 的右顶点坐标为 ．若点 是双曲线 右支上的动点，点 的坐标为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·江苏·高二专题练习）已知 是椭圆 上的一点， 是坐标原点， 是椭圆的左焦点且 ， ，则点 到该椭圆左准线的距离为（ ） A．6 B．4 C．3 D． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的 直线交 于 、 两点，若 ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 为弦 的中点， 为 上一点，则 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2022·四川省平昌中学高二阶段练习）知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， 的面积为 ，点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是 的内心，直线 交 于 M，则 （ ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，点P满足 ，动点M，N满足 ， ，则 的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 7．（2022·四川·石室中学模拟预测）已知抛物线 上有两动点 ， ，线段 的中点 到 轴距离的是2，则线段 长度的最大值为______. 8．（2022·山东·枣庄市第三中学高二期中）已知椭圆 是椭圆 上的点， 是椭圆 的左右焦点，若 恒成立，则椭圆 的离心率 的取值范围是 __________. 9．（2022·福建·高二期中）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，.它脱胎于古 代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对 善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生 的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈 伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔， 其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员 对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建 立如图所示坐标系， 恰为左焦点， 均匀对称分布在上半个椭圆弧上( 在 上 的投影把线段 八等分)， 为琴弦，记 ，数列 前n项和为 ，椭圆方 程为 ，且 ，则 的最小值为_____ 10．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆 ，椭圆上的点到两焦点的距离和为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的标准方程； (2)过点 作直线 交椭圆于 两点，点 为点 关于 轴的对称点，求 面积的最大值. 11．（2022·云南大理·模拟预测）已知 为椭圆C的左、右焦点，点 为其上一点，且 ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点 的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问 PQR的面积是否 △存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．B组 能力提升 12．（2020·山西·太原五中模拟预测）已知圆 : ，一动圆与直线 相切且与圆 外切． (1)求动圆圆心 的轨迹 的方程； (2)若经过定点 的直线 与曲线 交于 两点， 是 的中点，过 作 轴的平行线与曲线 相 交于点 ，试问是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由． 13．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 ，过点 作椭圆的两条切线，且两切线垂直. (1)求 ； (2)已知点 ，若存在过点 的直线与椭圆交于 ，且以 为直径的圆过点 （ 不与 重合），求直线 斜率的取值范围.14．（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 与椭圆 有相同的焦点 ， ，且右焦点 到上顶点的距离为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若过椭圆 左焦点 ，且斜率为 的直线 与椭圆交于 ， 两点，求 的面积． 15．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知椭圆 ，和一条过定点 且不与 轴重合的 直线 相交于 两点，线段 的中点为点 ， (1)求点 的轨迹方程； (2)射线 交椭圆于点 ， 为直线 上一点，且 为 的等比中项，过点 作圆 的两条切线，切点为 ，求 面积的最小值 .16．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模）已知抛物线C： ，圆O： . (1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求 ； (2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求 的最小值及相应p的值. 17．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知椭圆 的离心率为 ， 上的点P与 外的点 距离的最小值为2． (1)求椭圆 的方程； (2)若直线l与椭圆 交于点A，B，当直线l被圆 截得的弦长为2b时，求 面积的取值 范围．18．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且 ，动点P满 足 ，设点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)直线 ： 与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为 的直线 经过点G，与曲线C交于E，F两点．若 的值与点G的位置无关，求 的值．C组 真题实战练 19．（2021·全国·高考真题（理））设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都 满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 20．（2017·全国·高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1， l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 21．（2008·江西·高考真题（文））已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内 部，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 22．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足 ∠AMB=120°，则m的取值范围是 A． B． C． D． 23．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双 曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是 _________． 24．（2009·重庆·高考真题（文））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 25．（2021·全国·高考真题（文））已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原 点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________． 26．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ． （1）求 ； （2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．27．（2021·北京·高考真题）已知椭圆 一个顶 点 ，以椭圆 的四个顶点为 顶点的四边形面积为 ． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交 y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．28．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的 交点，且 ， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P， Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.29．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM 的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 30．（2019·全国·高考真题（理））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 − .记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C 于点G. （i）证明： 是直角三角形； （ii）求 面积的最大值.