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第 1 讲 直线与圆
[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以
选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，
中高难度．
考点一 直线的方程
核心提炼
1．已知直线l ：Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为零)，直线l ：Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
同时为零)，则l∥l⇔AB－AB＝0，且AC －AC ≠0，l⊥l⇔AA＋BB＝0.
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
1 1 2 2
例1 (1)(2022·常德模拟)已知直线l ：ax－4y－3＝0，l ：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是
1 2
“l∥l”的( )
1 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·济宁模拟)已知直线l ：kx＋y＝0过定点A，直线l ：x－ky＋2＋2k＝0过定点B，l
1 2 1
与l 的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为______．
2
易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用AB －AB ＝0建立方程求出参数的值后，要注意代
1 2 2 1
入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直，
而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1 (1)已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值是(
)
A．1 B．－1
C．－2或1 D．2或1
(2)若直线l ：x－2y＋1＝0与直线l ：2x＋my＋1＝0平行，则直线l 与l 之间的距离为
1 2 1 2
________．
考点二 圆的方程
核心提炼
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
例2 (1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(多选)(2022·南京六校联考)在平面直角坐标系中，存在三点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,7)，动
点P满足|PA|＝|PB|，则( )
A．点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8
B．△PAB面积最大时|PA|＝2
C．∠PAB最大时，|PA|＝2
D．P到直线AC距离的最小值为
规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方
程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
则⊙M的方程为________________．
(2)直线l过定点(1，－2)，过点P(－1,0)作l的垂线，垂足为M，已知点N(2,1)，则|MN|的最
大值为________．考点三 直线、圆的位置关系
核心提炼
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆
相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (1)(2022·南通模拟)在平面直角坐标系中，已知直线ax－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2x－
3＝0交于A，B两点，若钝角△ABC的面积为，则实数a的值是( )
A．－ B．－
C. D.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2
＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (1)(2022·武汉模拟)圆C ：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C ：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数
1 2
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2022·益阳调研)已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：(x－5)2＋y2
＝9的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB的方程为__________．
规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于
切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可
先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
跟踪演练3 (1)(多选)(2022·湖北七市(州)联考)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C的方程为
(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项中正确的是( )A．直线l与圆C一定相交
B．当k＝0时，直线l与圆C交于M，N两点，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最
大值为3
C．当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2
D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程
________．
