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第 1 讲 坐标系与参数方程
[考情分析] 本节内容在高考中主要考查极坐标、参数方程与普通方程的相互转化，以及直
线与曲线的位置关系等，中等难度．
考点一 极坐标方程
核心提炼
直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种
坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别
为(x，y)和(ρ，θ)，
则或
例1 (2022·西安模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系．曲线C 的方程为x2＋(y－1)2＝1，曲线C 的极坐标方程为ρsin＝2.
1 2
(1)求曲线C 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
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(2)曲线C ：θ＝α分别交曲线C 和曲线C 于点A，B，求的最大值及相应α的值．
3 2 1
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易错提醒 在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等
价性．
跟踪演练1 (2022·安阳模拟)在直角坐标系xOy中，⊙C 的圆心为C (1,1)，半径为.以坐标
1 1
原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
2
(1)求⊙C 的极坐标方程，并判断⊙C ，⊙C 的位置关系；
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(2)求经过曲线C ，C 交点的直线的斜率．
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考点二 参数方程
核心提炼
常见曲线的参数方程
(1)圆
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为
(α为参数)
当圆心在(0,0)时，方程为(α为参数)
(2)椭圆
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为
(φ为参数)
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为
(φ为参数)
(3)直线
经过点M(x，y)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)
0 0 0
例2 (2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(t为参数)，曲线C 的参
1 2
数方程为(s为参数)．
(1)写出C 的普通方程；
1
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos θ－
3
sin θ＝0，求C 与C 交点的直角坐标，及C 与C 交点的直角坐标．
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规律方法 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的
消参方法有代入消参法、加减消参法、平方和(差)消参法、乘法消参法、混合消参法等．把
曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前
后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
跟踪演练2 (2022·海东模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为
1
(t为参数)．曲线C 的参数方程为
2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C ，C 的极坐标方程；
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(2)若曲线C ，C 的交点为A，B，已知P(，－1)，求|PA|·|PB|.
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考点三 极坐标与参数方程的综合应用
核心提炼
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，
主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
例3 (2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
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规律方法 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点
(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方
程，这样思路可能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
跟踪演练3 (2022·张掖模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(t为参数)，以坐
1
标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin
2
＝.
(1)求曲线C 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
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(2)在极坐标系中，射线α＝(ρ≥0)与曲线C 交于点A，射线α＝(ρ≥0)与曲线C 交于点B，
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求△AOB的面积．
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