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第 2 讲 圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求
椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF|＋|PF|＝2a(2a>|FF|)．
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(2)双曲线：||PF|－|PF||＝2a(0<2a<|FF|)．
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(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的
a2，b2，p的值．
例1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，右顶点为
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A，上顶点为B，以线段FA为直径的圆交线段FB的延长线于点P，若FB∥AP且线段AP
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的长为2＋，则该椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F ，F ，点P是C右支上的一
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点(不是顶点)，过 F 作∠FPF 的角平分线的垂线，垂足是 M，O 是原点，则|MO|＝
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________.
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式
为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值
为( )
A．5 B．5
C．10 D．10
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
核心提炼
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求
得e的值或取值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例2 (2022·河南五市联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，以F
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为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 的中点，则双曲线
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C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
考向2 离心率问题
例3 (多选)(2022·全国乙卷)双曲线C的两个焦点为F ，F ，以C的实轴为直径的圆记为
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D，过F 作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠FNF ＝，则C的离心率为( )
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A. B.
C. D.
规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定
义，运用平方的方法，建立与|PF|·|PF|的联系．
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(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为
“0”，然后因式分解得到．
跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，
且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B.C. D.
(2)(多选)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，
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过点F 的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF|＝|BF|＝2|AF|，则( )
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A．∠AFB＝∠FAB
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B．双曲线的离心率e＝
C．双曲线的渐近线方程为y＝±x
D．原点O在以F 为圆心，|AF|为半径的圆上
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考点三 抛物线的几何性质
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
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(1)xx＝，yy＝－p2.
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(2)|AB|＝x＋x＋p.
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(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射
线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，FM＝MN，则p的值等于( )
A. B．2
C. D．4
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线
与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形
(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，
使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方
程为________．
(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左
到右依次为A，B，C.若AB＝BF，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
