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第 2 讲 圆锥曲线的方程与性质
一、单项选择题
1．(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方
0
程为( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝12x D．y2＝16x
2．已知双曲线－y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±2x D．y＝±x
3．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|
BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2
C．3 D．3
4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的
设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似
看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下
顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．(2022·福州质检)已知点F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F 的直线交
1 2 2
椭圆于A，B两点，且满足AF⊥AB，＝，则该椭圆的离心率是( )
1
A. B.
C. D.
6.如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直
的直线l ，l ，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任意
1 2
一点，记点P到两直线的距离分别为d，d，则d＋d的最大值是( )
1 2A．4 B．5 C. D.
二、多项选择题
7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇
航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图
在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点 F(0,2)，椭圆的短
轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下
半圆交于点B，则( )
A．椭圆的长轴长为4
B．|AB|的取值范围是[4,2＋2]
C．△ABF面积的最小值是4
D．△AFG的周长为4＋4
8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶
1 2
点分别为A，A，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则( )
1 2
A．||PA|－|PA||＝2a
1 2
B．若焦点F 关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为
2
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA 的斜率与直线PA 的斜率之积为1
1 2
D．若双曲线C为等轴双曲线，且∠APA＝3∠PAA，则∠PAA＝
1 2 1 2 1 2
三、填空题
9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点
在坐标轴上；③离心率为.
10．(2022·淄博模拟)已知P ，P ，…，P 是抛物线x2＝4y上不同的点，且F(0,1)．若FP1＋
1 2 8
FP2＋…＋FP8＝0，则|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP8|＝________.
11．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：＋＝1(b>0)的焦点分别为F，F，且F 是抛物线C ：y2＝
1 1 2 2 2
2px(p>0)的焦点，若P是C 与C 的交点，且|PF|＝7，则cos∠PFF 的值为________．
1 2 1 1 2
12．(2022·福州质检)已知O为坐标原点，F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，A为C
的右顶点，过F作C的渐近线的垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的
中点，则C的离心率是________．
四、解答题13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线l过F 且与
1 2 2
双曲线交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为，△FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
1
(2)设b＝，若l的斜率存在，且(F1A＋F1B)·AB＝0，求l的斜率．
