文档内容
第2讲 圆锥曲线的方程与性质（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................12
【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程.........................................................................................12
【考点二】椭圆、双曲线的几何性质.............................................................................................18
【考点三】抛物线的几何性质及应用.............................................................................................23
【专题精练】...............................................................................................................................27
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离
心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024·全国·高考真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，
为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
3．（2023·全国·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，
B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B
两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，
点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
11．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交
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学科网（北京）股份有限公司于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
12．（2022·全国·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A B B D D A B ACD
1．C
【分析】由焦点坐标可得焦距 ，结合双曲线定义计算可得 ，即可得离心率.
【详解】由题意，设 、 、 ，
则 ， ， ，
则 ，则 .
故选：C.
2．A
【分析】设点 ，由题意，根据中点的坐标表示可得 ，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点 ，则 ，
因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又 在圆 上，
所以 ，即 ，
即点 的轨迹方程为 .
故选：A
3．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
4．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从而得出|OP|的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公式以及数量积即
可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
5．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的渐近线为 ，
当渐近线为 时，圆心 到该渐近线的距离 ，不合题意；
当渐近线为 时，则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司6．D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对
于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
7．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
8．B
【分析】根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故椭圆的方程为 .
故选：B.
9．ACD
3p ❑√6p
【分析】由 及抛物线方程求得A( , )，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线
4 2
p ❑√6p
的方程，联立抛物线求得B( ,- )，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可
3 3
判断C选项；由⃑OA⋅⃑OB<0，⃑MA⋅⃑MB<0求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
3p ❑√6p
代入抛物线可得 ，则A( , )，则直线 的斜率为 ，A正确；
4 2
1 p
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得 ，
2 ❑√6 2
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
p ❑√6p
B( ,- )，
3 3
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
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学科网（北京）股份有限公司3p ❑√6p p ❑√6p 3p p ❑√6p ( ❑√6p) 3p2
对于D，⃑OA⋅⃑OB=( , )⋅( ,- )= ⋅ + ⋅ - =- <0，则 为钝
4 2 3 3 4 3 2 3 4
角，
p ❑√6p 2p ❑√6p p ( 2p) ❑√6p ( ❑√6p) 5p2
又⃑MA⋅⃑MB=(- , )⋅(- ,- )=- ⋅ - + ⋅ - =- <0，则
4 2 3 3 4 3 2 3 6
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
10． /
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达式，
从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双曲线
得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
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学科网（北京）股份有限公司理得到关于 的齐次方程，从而得解.
11．
【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ，
， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即
12．2（满足 皆可）
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
考点突破
【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程
核心梳理：
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF|＋|PF|＝2a(2a>|FF|)．
1 2 1 2
(2)双曲线：||PF|－|PF||＝2a(0<2a<|FF|)．
1 2 1 2
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
一、单选题
1．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，下顶点为 ，直线 交 于另一点
， 的内切圆与 相切于点 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西吕梁·二模）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆
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学科网（北京）股份有限公司上，则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
二、多选题
3．（2020·山东·高考真题）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
4．（2024·重庆·三模）已知双曲线 的左，右焦点分别为 为双曲线 上点，且
的内切圆圆心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线PF 的斜率为
1
C． 的周长为 D． 的外接圆半径为
三、填空题
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 中点 到 轴距
离的最小值是 ．
6．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线 为抛物线内一点，不经过 点的直线
与抛物线相交于 两点，连接 分别交抛物线于 两点，若对任意直线 ，总存在 ，
使得 成立，则该抛物线方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B C ACD ACD
1．B
【分析】由三角形内切圆的性质得出 的周长为 ，再由椭圆的定义得 的周长为 ，列
出等式即可求解．
【详解】设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，则 ，|AF |=a，
2
设 的内切圆与 ， 相切于点 ，如图所示，
则 ， ，
所以 ，
所以 的周长为 ，
由椭圆定义可得， ，
所以 ，则 ，
故选：B．
.
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学科网（北京）股份有限公司2．C
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m与n的等量关系，
再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，且 的图象所过定点为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C.
3．ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线，
时表示两条直线.
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
4．ACD
【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件 、 、 以
及与各个所需量的关系即可求出 、 和 ，进而可依次求出直线PF
1
的斜率、结合焦三角形面积公式 得 的周长、结合正弦定理得 的外
接圆半径.
【详解】如图1，由条件，点 应在双曲线 的右支上，
设圆 分别与 的三边切于点 ，则由题 ，
且 ， ，
又
，A选项正确；
由选项A得 ，连接 、 、 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，B选项错误；
同理， ，
，
，
所以由焦三角面积公式得 ，
又 ，故得 ，
的周长为 ， 选项正确；
由 ，
由正弦定理 得 ，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：求直线PF 的斜率、 的周长、 的外接圆半径的关键是根据已知条件 、
1
、 以及与各个所需量的关系即可求出 、 和 .
5．2
【分析】利用抛物线的定义结合中位线定理，列出不等式，发现取等条件，得到最小值即可.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司如图，由抛物线 得焦点 ，准线方程为 ，
过 分别作 的垂线，交于 ，
连接 ，则 ，当且仅当 过点 时取等，
显然 是梯形 的中位线，
又由中位线定理知 ，
则 ，故 到 轴距离的最小值为 .
故答案为：2
6．
【分析】设 ，根据 推出
，结合点在抛物线上可得 ， ，即可求得p，即得答案.
【详解】由题意设 ，
由 可得： ，
可得： ，同理可得： ，
则： （*）
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学科网（北京）股份有限公司将 两点代入抛物线方程得 ，
作差可得： ，而 ，即 ，
同理可得， ，代入（*），可得 ，
此时抛物线方程为 ，
故答案为：
规律方法：
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为 a2＝b2＋
c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．
【考点二】椭圆、双曲线的几何性质
核心梳理：
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取
值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
一、单选题
1．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在直线
上运动，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．15
2．（2023·安徽蚌埠·三模）若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A．6 B． 或 C． D． 或
二、多选题
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学科网（北京）股份有限公司3．（2024·浙江·二模）已知椭圆 左右两个焦点分别为 和 ，动直线 经过椭圆左
焦点 与椭圆交于 两点，且 的最大值为8，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．离心率 D．若 ，则
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点， ，则
（ ）
A．C的离心率为
B．C的焦距为2
C．平面上存在两个定点A，B，使得
D． 的最小值为
三、填空题
5．（2024·湖北·二模）已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 是双曲线 上在第一象限内
的点，直线 的倾斜角分别为 ，则 ；当 取最小值时，
的面积为 ．
6．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中， ，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E
的两条渐近线的夹角为 ； 的取值范围为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A D AB ACD
1．A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由椭圆方程确定 ， 的坐标，根据向量的数量积的坐标表示求出 的表达式，结合二
次函数性质，即可求得答案.
【详解】由椭圆 可得 ， ，
点 在直线 上运动，设 ，
则
，
当 时， 取到最小值7，即 的最小值为7，
故选：A
2．D
【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．
【详解】当焦点在 轴时，由 ，解得 ，符合题意，此时椭圆 的长轴长为 ；
当焦点在 轴时，由 ，解得 ，符合题意，此时椭圆 的长轴长为 ．
故选：D．
3．AB
【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得 ，由椭圆性质可得 ，且离心率 ，联立直
线和椭圆方程可知当 ，方程无解，因此D错误.
【详解】如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司易知 ，由椭圆定义可知 ，
因为 ，当 轴，即|AB|为通径时，|AB|最小，所以 ，
解得 ，所以A正确；
当|AB|为长轴时，|AB|最大，此时 ，所以 ，即B正确；
可得椭圆方程为 ，易知 ，所以离心率 ，即C错误；
因为 ，可设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，整理可得 ，
因此 ；
若 ，可得 ，即 ，所以 ；
整理得 ，此时方程无解，因此D错误.
故选：AB
4．ACD
【分析】根据等轴双曲线的离心率可判断A的正误，根据 图象的对称轴可求 ，从而可求 ，故可判
断BCD的正误.
【详解】对于A，因为 是等轴双曲线，故其离心率为 ，故A正确.
对于B，因为 图象的对称轴为 和 ，
由 可得 或 ，故双曲线的顶点坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故双曲线的实半轴长为 ，故半焦距为 ，
故焦距为4，故B错误.
对于C，因焦点在直线 上，故设焦点坐标为 ，
因为 ，且双曲线的中心为原点，故 即 ，
取 ，由双曲线的定义可得 ，
故C正确.
对于D，由C的分析可得 为焦点，则 ，故D正确，
故选：ACD.
5．
【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解.
【详解】设 ，则 ，可得 ，
又因为 分别为双曲线 的左右顶点，可得 ，
所以 ；
又由 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故答案为： ； .
6．
【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足 的位置，再由 得到双曲线中
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学科网（北京）股份有限公司的关系，即可得到渐近线的夹角；根据 对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可.
【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为 .
设 的内心为 ，过点 向三边作垂线，垂足分别为 .
根据三角形内心的性质可知， ，
又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以点 在双曲线的左支上，所以 .
而 ，
所以 ，
所以 为双曲线的左顶点.
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，渐近线的倾斜角为 ，
所以两条渐近线的夹角为 .
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
而 ，
所以 .
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据 作出
三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解.
规律方法：
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建
立与|PF|·|PF|的联系．
1 2
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式
分解得到．
【考点三】抛物线的几何性质及应用
核心梳理：
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(2)|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
一、单选题
1．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 为 轴正半轴上一
点，线段 的垂直平分线 交 于 两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
2．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线 ： 的焦点为 ， 在 上， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标是
B．抛物线 关于 轴对称
C．抛物线 的准线方程为
D．抛物线 的焦点到准线的距离为4
4．（2024·河北·二模）已知 为坐标原点，焦点为 的抛物线 过点 ，过 且与
垂直的直线 与抛物线 的另一交点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．直线 与抛物线 的准线相交于点
三、填空题
5．（2024·河南郑州·二模）抛物线 的准线方程为 ，则实数a的值为 .
6．（2024·河南·模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，直线 与 的一个交点为 ，
直线 与 的另一个交点为 ，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A A AC ACD
1．A
【分析】线段 的垂直平分线 交 于 两点,结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形
为菱形,可设 点坐标,通过几何关系求出 点坐标,在代入抛物线方程即可求解.
【详解】因为线段 的垂直平分线 交 于 两点，
所以结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形 为菱形.
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学科网（北京）股份有限公司设点 且 则线段 的垂直平分线 方程为 ，
令 与 轴交于点 ,又 ，
则在直角三角形 中
继而可得 ，
所以 点坐标为 ，
代入抛物线 ，可得 ，解得 ，
直角三角形 中 ,
所以四边形 的周长为 .
故选：A.
2．A
【分析】根据抛物线的定义求得 ，进而确定正确答案.
【详解】抛物线 的开口向上，
由于 在 上，且 ，
根据抛物线的定义可知 ，
所以抛物线 的方程为 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司3．AC
【分析】依题意可得抛物线 的方程为 ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质
判断即可.
【详解】因为抛物线 与抛物线 关于 轴对称，
所以抛物线 的方程为 ，
则抛物线 的焦点坐标是 ，准线方程为 ，故A、C正确；
抛物线 关于 轴对称，故B错误；
抛物线 的焦点到准线的距离为 ，故D错误.
故选：AC
4．ACD
【分析】将点 代入抛物线方程可确定抛物线方程，可判断A；由抛物线定义可求 ，可判断B；
求出直线 的方程，与抛物线方程联立解得点 ，从而求出|MN|，可判断C；易求出直线 与准线交点，
可判断D.
【详解】由抛物线 过点 ，
可得 ，则 ，故A正确；
由上可知抛物线 ，准线方程为 ，
所以 ，故B错误；
由已知可得 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，得 ，
解得 或 ，故 ，
所以 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司由直线 的方程 ，令 ，得 ，
所以直线 与抛物线 的准线相交于点 ，故D正确.
故选：ACD
5． /
【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.
【详解】依题可知 ，
则 ，
故答案为： .
6．
【分析】根据给定条件，联立直线 与抛物线 的方程求出交点坐标，进而求出点 的坐标，再借助抛物
线定义求出 长.
【详解】抛物线 的焦点为 ，由 ，解得 或 ，
即点 或 ，当点 时，直线 ，即 ，
由 ，得 ，因此 ，
显然点 与 关于 轴对称，则当点 时，点 与点 关于 轴对称， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为：
规律方法：
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来
沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
专题精练
一、单选题
1．（2023·江苏南通·三模）已知 为椭圆 ： 的右焦点， 为 上一点， 为圆 ：
上一点，则 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知椭圆 的焦点在 轴上，若焦距为4，则该椭圆的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁·三模）设点 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使
得 成立的点 恰好有4个，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
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学科网（北京）股份有限公司4．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线 的左焦点 作倾斜角为 的直线 交 于 两点．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线 的右支上一点 到右焦点的距离为9，则 到
左焦点的距离为（ ）
A．3 B．12 C．15 D．3或15
6．（2024·北京海淀·一模）若双曲线 上的一点到焦点 的距离比到焦点
的距离大 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏南通·二模）设抛物线 的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在
第一象限的交点为M，N，且 ，则直线MN的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东·模拟预测）抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于A，B两点．则
的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于
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学科网（北京）股份有限公司两点，则（ ）
A． 的周长为4
B．|PF |的取值范围是
1
C．|PQ|的最小值是3
D．若点 在椭圆上，且线段 中点为 ，则直线 的斜率为
10．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 的图象是双曲线，设其焦点
为 ，若 为其图象上任意一点，则（ ）
A． 是它的一条对称轴 B．它的离心率为
C．点 是它的一个焦点 D．
11．（2024·全国·二模）已知圆O： 经过椭圆C： （ ）的两个焦点 ， ，
且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且 的面积为1，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2
C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为
三、填空题
12．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线 的焦点到它的准线距离为1，则实数m=
13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知 是双曲线 上任意一点，若 到 的两条渐近
线的距离之积为 ，则 上的点到焦点距离的最小值为 ．
34 / 47
学科网（北京）股份有限公司14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P
是C上一点，且 ，H是线段 上靠近 的三等分点，且 ，则C的离心率为
.
四、解答题
15．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆 经过点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 交椭圆 于 ， 两点， 是坐标原点，求 的面积 .
16．（2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆 和部分双曲线 ，
组成的曲线 称为“盆开线”．曲线 与 轴有 两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之
积为 ．
(1)设过点(1,0)的直线 与 相切于点 ，求点 的坐标及直线 的方程；
(2)过 的直线 与 相交于点 三点，求证： ．
17．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知 是抛物线 上任意一点，且 到 的焦点
的最短距离为 .直线 与 交于 两点，与抛物线 交于 两
点，其中点 在第一象限，点 在第四象限.
(1)求抛物线 的方程.
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学科网（北京）股份有限公司(2)证明：
(3)设 的面积分别为 ，其中 为坐标原点，若 ，求 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C D A D BCD ABD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】
利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.
【详解】依题意 ，设椭圆 的左焦点为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
，
当 三点共线，且 在 之间时等号成立.
而 ，
所以 ，
当 四点共线，且 在 之间， 是 的延长线与圆 的交点时等号成立.
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司2．B
【分析】根据椭圆的焦点在 轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案.
【详解】由题得 ，即 ，
由焦距为4得 ，解得 ，
可得椭圆方程为 ，所以 ， ，
所以离心率为 .
故选：B.
3．B
【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得 ， ，结合对称性列不等
式，求 的范围，由此可得结论..
【详解】因为点 分别为椭圆 的左、右焦点；
所以 ，
设 则 ，
由 可得 ，
又因为 在椭圆上，即 ，
所以 ，
由对称性可得，要使得 成立的点恰好是 个，则
解得 ，
所以 的值可以是 .
故选：B.
4．D
【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设双曲线的右焦点为 ,连接 ,
由题意可得 ，
设
由余弦定理可得 ,
即 ，解得 ，
所以 ，故 ．
故选：D
5．C
【分析】利用双曲线方程求得 ，再利用双曲线的定义即可得解.
【详解】因为双曲线方程为 ，所以 ，则 ，
设双曲线的左､右焦点分别为 ，
又点 在双曲线 的右支上，且 ，
所以 ，则 .
故选：C.
6．D
【分析】根据题意及双曲线的定义可知 ， ，再结合 ，求出 ，即可求出结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题知 ，根据题意，由双曲线的定义知 ，又 ，
所以 ，得到 ，所以双曲线的方程为 ，
故选：D.
7．A
【分析】根据题意可设 直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，通过根与系数的关系
及抛物线的焦半径公式，建立方程，即可求解，
【详解】根据题意可得抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则有 ，设 直线方程为 ，
联立 ，可得 ，
则 ，得 ，故 ，
设 ， ，
到准线距离为 ， 到准线距离为 ，
又 ，有 ，即 ，得 ，
，又 ，解得 ，
，又 ，解得 .
故选：A
8．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意可知F(1,0)，设 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线 与抛物线方程 ，
所以 ，
而 .
当且仅当 时取得等号.
故选：D
9．BCD
【分析】利用椭圆的定义可判定A，利用焦半径公式可判定B，利用椭圆弦长公式可判定C，利用点差法可
判定D.
【详解】由题意可知椭圆的长轴长 ，左焦点 ，
由椭圆的定义可知 ，
故A错误；
设 ， ，
易知 ，故B正确；
若 的斜率存在，不妨设其方程为： ，
联立椭圆方程 ，则 ，
所以 ，
若 的斜率不存在，则其方程为 ，与椭圆联立易得 ，
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学科网（北京）股份有限公司显然当 的斜率不存在时， ，故C正确；
设 ，易知
，
若 中点为 ，则 ，故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及 即可逐一判断求
解.
【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为 ，
容易知道 是实轴， 是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程 与反比例函数表达式 得实轴顶点 ，
所以 ，其中一个焦点坐标应为 而不是 ，
由双曲线定义可知 ．
故选：ABD.
11．BD
【分析】根据圆的方程确定 的值，再由 的面积可得点P的坐标，从而可得 的值，再逐项判断
即可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为圆O： 经过椭圆C： （ ）的两个焦点 ， ，
所以 ，
又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，
则 ，故 ，代入圆方程可得 ，所以 ，故点P
的坐标为 ，故D正确；
将点P的坐标 代入椭圆方程可得 ，又 ，解得 ，
故椭圆C的长轴长为 ，短轴长为 ，故A不正确，B正确；
则椭圆C的离心率为 ，故C不正确.
故选：BD.
12．
【分析】根据抛物线性质得到方程，求出 .
【详解】由题意得 ，解得 .
故答案为：
13．
【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】所求的双曲线方程为 ，则渐近线方程为 ，
设点 ，则 ，
点 到 的两条浙近线的距离之积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，故双曲线 方程为： ，
故 ，故双曲线 上的点到焦点距离的最小值为 ．
故答案为： ．
14．
【分析】根据题意可得 ， ， ，再结合三角形相似可得 ，
代入分析求解即可.
【详解】由题意，不妨设点P在第一象限，如图.
因为 ，则 ， ， .
因为 ，则 ，可知 ，
则 ，即 ，整理得 .
由 得 ，解得 或 （舍去），
所以C的离心率为 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司15．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求 ，即可得椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.
【详解】（1）因为椭圆 经过点 ，所以 ，
把点 的坐标代入方程 ，得 ，解得 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）联立方程组 消去 ，得 .
解得 或 不妨设 ， ，则 .
16．(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率乘积以及 ，可求得 ，可得椭圆方程和双曲线方程，设切点为
，可得切线方程，由过点(1,0)，即可求解 和直线方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合的 斜率之和为零，即可求
证.
【详解】（1）由题设可得 , ，
故椭圆方程为： ，双曲线方程为 ．
由图可知，切点 在双曲线 上．
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，则切线 的方程为： ，
因为直线 过点(1,0)，所以， ，
将 代入 ，得 ，
所以， ，直线 的方程为： ．
（2）由题意可得 的斜率存在且不为零，故设方程为： ，
联立 整理得： ，
,即 且 ,
解得： 或 ，即 ．
联立 整理得： ，
解得： 或 ，即 ．
所以 ，
所以 ，所以 ．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用焦半径公式求得 ，即可求解抛物线方程；
（2）设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，结合韦达定理利用根与系数的关系求解即可；
（3）由 得 ，结合（2）的韦达定理得 ，从而求得 ，从
而面积之比转化为 的值.
【详解】（1）设P(x ,y )，易知 ，准线方程为 ，所以 .
0 0
当 时，|PF|取得最小值 ，由 ，解得 .所以抛物线 的方程为 .
（2）设直线 与 轴交于点 ，因为直线 的斜率显然不为0，
所以设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
所以 ，所以 ，
同理可得 ，所以 .
（3）因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，由（2）知 ，所以 ，
故 ，所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得 ，解得 或 ，
若 ，则 ，这与 矛盾，所以 ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
