文档内容
15.1 分式概念与基本性质
【考点1:分式的定义】
【考点2:分式意义的条件】
【考点3:分式的性质】
【考点4:分式的约分、最简分式】
【考点5: 分式的通分】
知识点1：分式相关概念
定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，
B叫做分母.
1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
2.分式有意义的条件：B≠0；
3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
【考点1:分式的定义】
2 3 4 7
【典例1】在代数式 ， ， ， −m中，是分式的有（ ）
π a x+ y 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】下列式子是分式的是（ ）
2 x+1 1 2
A． x2y B． C． D．x2−
3 π x 3
【变式1-2】下列代数式是分式的是（ ）
3 y y
A． B． +1 C．xy D．
x−1 2 43 y a 3 x a2+1
【变式1-3】在式子 , , , , 中，分式有（ ）个
x π x+1 3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点2:分式意义的条件】
3x
【典例2】如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
x+2
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠−2 D．x≠0
x−2
【变式2-1】要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
x+5
A．x≠−5 B．x≠2
C．x≠2且x≠−5 D．x≠2或x≠−5
2
【变式2-2】若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x−1
x2−1
【变式2-3】若分式 的值等于0，则x的值为 ．
x+1
知识点2：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，
用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
注意：
（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中
不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调 M≠0这个
前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如： ，在变形后，字母 的取值范围变大了.
【考点3:分式的性质】
x+ y
【典例3】如果把分式： 中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（ ）
2xy
1 1
A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的
10 20
3xy
【变式3-1】若将分式 中x、y都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
x+5 y
A．不变 B．扩大为原来的10倍
1
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的100倍
10
2x
【变式3-2】把分式 中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
x+ y
1
A．不变 B．扩大4倍 C．缩小 D．扩大2倍
2
a+b
【变式3-3】若把分式 中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
3ab
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
1
C．缩小为原来的 D．不变
3
知识点3：分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一
个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：根据分式的基本性质有 ， .根据有理数除法的符号法则有 .分式 与 互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
知识点4：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式
变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简
分式.
【考点4:分式的约分】
【典例4】化简： a2−1 ，其结果为（ ）
a2−2a+1
a+1 a−1
A．a+1 B．a−1 C． D．
a−1 a+1
【变式4-1】下列分式的约分中，正确的是（ ）
−2bx 2b 2x−y
A． = B． =1−y
−ac a 2x
C． 1−a
=
1 D． xy−x2
=
x
a2−2a+1 1−a (x−y) 2 x−y
6a2b
【变式4-2】约分∶ =
−2ab
31．化简：
(1)16x2y3； (2)ab2+2b； (3) x2−4 ； (4)a2+6a+9．
20x y4 b xy+2y a2−9
【考点5：最简分式】
【典例5】在下列分式中，最简分式是（ ）A．3x−5 B． 1−a C． am+2 D．2a+1
5−3x −a2+2a−1 2am+2 2b+1
【变式5-1】下列分式中是最简分式的是（ ）
2x x−y x2+2x+1 1−x
A． B． C． D．
4x2 x+ y x+1 x−1
【变式5-2】下列分式中，为最简分式的是（ ）
A． 3a B． 2a C． a+2 D．a2−ab
5a3b2 a2+3a a2+2 a2−b2
【变式5-3】下列分式是最简分式的是（ ）
4 x+1 2x 1−x
A． B． C． D．
2x x2−1 x2+1 x−1
知识点5：分式通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
【考点6: 分式的通分】
【典例6】通分：
4a 3c 5b 1 3
(1) ， ， ； (2) ， ．
5b2c 10a2b −2ac2 x2−4 4−2x
【变式6-1】通分：
(1) 4a ， 3c ， 5b ； (2) 1 ， 3 ； (3) 1 ， 1 ，
5b2c 10a2b −2ac2 x2−4 4−2x 2x 3 y(x−y) 2
1
．
x2(x−y)【变式6-2】通分：
1 2 1 1
(1) ，− ； (2) ， ．
a2b ab2 x2−y2 x2+xy
【变式6-3】（1）通分： 2xy 和 x ；（2）约分： m2−n2
(x+ y) 2 x2−y2 m2+2mn+n2
2 x+ y 2 2x−y x
1．在代数式 ， ， +x， ， 中，分式的个数为（ ）
x+1 3 3 3x π
A．1 B．2 C．3 D．4
2x−3
2．若分式 的值为0，则（ ）
x−8
3
A．x≠8 B．x=8 C．x=3 D．x=
2
1 3
3．分式 与 的最简公分母是（ ）
2x2y 4x3
A．2x2 B．2x2y C．4x2y D．4x3y
4．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．a+m a B．a2+b2 C．a6 D． a−b
= =a+b =a3 =−1
b+m b a+b a2 −a+b
3x
5．若将分式 中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
x+2y
1
A．不改变 B．缩小为原来的
101
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
100
2 4 6 8 10 12
6．按一定规律排列的数： , , , , , ,⋯则第n个数为（ ）
4 9 16 25 36 49
A．2n B． n2 C． 2n D． n2
n2 (n−1) 2 (n+1) 2 (n+1) 2
7．约分： 4m2n3 ．
=
−18m4n2
x y x+ y
8．已知 = ，则分式 = ．
3 4 y−x
x2−9
9．当x=2023时，分式 的值为 ．
x+3
1 1 3 x y
10．若 + = ，则 + 的值是 ．
x y x+ y y x
11．约分：
(1)−36x y2z3 (2)8−2m (3)m2+4+4m
6 yz2 m2−16 2m+m2
12．通分：
2y2 2 a−1 9
(1)x−y， ； (2) ， ， ．
x+ y 9−3a a2−9 a2−6a+9
13．材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：
x−1 x2
， 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例
x+1 x+2
1 2x
如： ， 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
x+1 x2−1
8 3×2+2 2
= =3 ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
3 3 3x2+2x−1 x(x+2)−1 1
= =x−
x+2 x+2 x+2
x2 (x2+2x)−2x x(x+2)−2x−4+4 x(x+2)−2(x+2)+4 4 ．
= = = =x−2+
x+2 x+2 x+2 x+2 x+2
请根据上述材料，解答下列问题：
2
(1)填空：①分式 是__________分式（填“真”或“假”）；
x+2
x2−3x+5
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： =__________．
x−3
x2+2x−13
(2)把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式
x−3
的值为整数．
