文档内容
15.1 分式概念与基本性质
【考点1:分式的定义】
【考点2:分式意义的条件】
【考点3:分式的性质】
【考点4:分式的约分、最简分式】
【考点5: 分式的通分】
知识点1：分式相关概念
定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，
B叫做分母.
1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
2.分式有意义的条件：B≠0；
3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
【考点1:分式的定义】
2 3 4 7
【典例1】在代数式 ， ， ， −m中，是分式的有（ ）
π a x+ y 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义，依次判断即可．
3 4
【详解】解：根据分式的定义 ， 为分式，有2个，
a x+ y
故选：B．
【变式1-1】下列式子是分式的是（ ）2 x+1 1 2
A．
x2y
B． C．
D．x2−
3 π x 3
【答案】C
A
【分析】本题考查的是分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分
B
式，根据分式的定义对各选项进行分析即可．
2
【详解】解：A、
x2y是整式，不符合题意；
3
x+1
B、 是整式，不符合题意；
π
1
C、 是分式，符合题意；
x
2
D、x2−
是整式，不符合题意．
3
故选：C．
【变式1-2】下列代数式是分式的是（ ）
3 y y
A． B． +1 C．xy D．
x−1 2 4
【答案】A
B
【分析】此题考查了分式的辨别能力，形如 （其中A、B是两个整式，并且A中含有字母）的式子，
A
叫作分式．据此判断即可．
3
【详解】解：A、 是分式，符合题意；
x−1
y
B、 +1是整式，不符合题意；
2
C、xy是整式，不符合题意；
y
D、 是整式，不符合题意．
4
故选：A．
3 y a 3 x a2+1
【变式1-3】在式子 , , , , 中，分式有（ ）个
x π x+1 3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意π不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案．
3 y a 3 x a2+1 3 y 3
【详解】解：式子 , , , , 中，分式有 , ，共2个，
x π x+1 3 3 x x+1
故选：B．
【考点2:分式意义的条件】
3x
【典例2】如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
x+2
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠−2 D．x≠0
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
3x
【详解】解：∵分式 有意义，
x+2
∴x+2≠0，
∴x≠−2，
故选：C．
x−2
【变式2-1】要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
x+5
A．x≠−5 B．x≠2
C．x≠2且x≠−5 D．x≠2或x≠−5
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，进行列式计算，即可作答．
x−2
【详解】解：∵分式 有意义，
x+5
∴x+5≠0，
∴x≠−5，
故选：A．
2
【变式2-2】若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x−1
【答案】x≠1
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
2
【详解】解：若代数式 有意义，则x−1≠0，
x−1解得：x≠1；
故答案为：x≠1．
x2−1
【变式2-3】若分式 的值等于0，则x的值为 ．
x+1
【答案】1
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据分式有意义和分式的值为0的条件
{x2−1=0)
可得 ，据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为0的条件是解题的关键．
x+1≠0
{x2−1=0)
【详解】解：根据题意得 ，
x+1≠0
解得x=1，
故答案为：1．
知识点2：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，
用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
注意：
（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中
不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调 M≠0这个
前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发
生变化.例如： ，在变形后，字母 的取值范围变大了.【考点3:分式的性质】
x+ y
【典例3】如果把分式： 中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（ ）
2xy
1 1
A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的
10 20
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质解答即可．
x+ y 10x+10 y 1 x+ y 1
【详解】解：把分式 中的x和y都扩大10倍后可得： = ⋅ ，缩小为原来的 ．
2xy 100×2xy 10 2xy 10
故选：B．
3xy
【变式3-1】若将分式 中x、y都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
x+5 y
A．不变 B．扩大为原来的10倍
1
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的100倍
10
【答案】B
【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根
据分式的基本性质判断作答即可．
3xy 300xy 30xy 3xy
【详解】解：分式 中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式 = =10× ，
x+5 y 10x+50 y x+5 y x+5 y
则分式的值扩大为原来的10倍，
故选：B．
2x
【变式3-2】把分式 中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
x+ y
1
A．不变 B．扩大4倍 C．缩小 D．扩大2倍
2
【答案】A
【分析】此题考查分式的性质，先根据分式的基本性质进行计算，即可求出答案．
2x
【详解】解：分式 中的x和y都同时扩大2倍，
x+ y
2×2x 4x 2x
= =
可得
2x+2y 2(x+ y) x+ y所以分式的值不变．
故选：A．
a+b
【变式3-3】若把分式 中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
3ab
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
1
C．缩小为原来的 D．不变
3
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变．
a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3a和3b．用3a和3b代替式子中的a和b，看
得到的式子与原来的式子的关系．
3a+3b 3(a+b) a+b 1 a+b
【详解】解：由题意得： = = = × ，
3×3a⋅3b 27ab 9ab 3 3ab
1
∴分式的值缩小为原来的 ，
3
故选：C．
知识点3：分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一
个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：根据分式的基本性质有 ， .根据有理数除法的符号法则有 .分
式 与 互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
知识点4：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式
变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简
分式.【考点4:分式的约分】
a2−1
【典例4】化简： ，其结果为（ ）
a2−2a+1
a+1 a−1
A．a+1 B．a−1 C． D．
a−1 a+1
【答案】C
【分析】本题考查分式的约分，涉及完全平方公式、平方差公式进行分解因式，是重要考点，掌握相
关知识是解题关键．利用完全平方公式与平方差公式进行分解因式，再约分化简即可．
a2−1
【详解】解：
a2−2a+1
(a+1)(a−1)
=
(a−1) 2
a+1
= ，
a−1
故选：C．
【变式4-1】下列分式的约分中，正确的是（ ）
−2bx 2b 2x−y
A． = B． =1−y
−ac a 2x
1−a 1 xy−x2 x
C． = D． =
a2−2a+1 1−a (x−y) 2 x−y
【答案】C
【分析】本题考查了分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式．
分别根据分式的基本性质进行化简得出即可．
−2bx 2bx
【详解】解：A． = ，此选项约分错误；
−ac ac
2x−y
B． 不能约分，此选项错误；
2x1−a 1−a 1
= =
C． ，此选项正确；
a2−2a+1 (1−a) 2 1−a
xy−x2 x(y−x) x
D． = = ，此选项错误；
(x−y) 2 (y−x) 2 y−x
故选：C．
6a2b
【变式4-2】约分∶ =
−2ab
【答案】−3a
【分析】本题考查了分式的约分，找出分子分母的公因式约去即可，掌握分式的性质是解题的关键．
6a2b 2ab·3a
【详解】解： = =−3a，
−2ab −2ab
故答案为：−3a．
31．化简：
16x2y3
(1) ；
20x y4
ab2+2b
(2) ；
b
x2−4
(3) ；
xy+2y
a2+6a+9
(4) ．
a2−9
4x
【答案】(1)
5 y
(2)ab+2
x−2
(3)
y
a+3
(4)
a−3
【分析】本题考查分式的约分；
（1）分子分母提取公因式后约分即可；
（2）分子分母提取公因式后约分即可；
（3）分子分母因式分解后约分即可；
（4）分子分母因式分解后约分即可．16x2y3 4x y3 ⋅4x 4x
【详解】（1） = = ；
20x y4 4x y3 ⋅5 y 5 y
ab2+2b b(ab+2)
（2） = =ab+2；
b b
x2−4 (x−2)(x+2) x−2
（3） = = ；
xy+2y y(x+2) y
a2+6a+9 (a+3) 2 a+3
（4） = = ．
a2−9 (a+3)(a−3) a−3
【考点5：最简分式】
【典例5】在下列分式中，最简分式是（ ）
3x−5 1−a am+2 2a+1
A． B． C． D．
5−3x −a2+2a−1 2am+2 2b+1
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握
最简分式的定义是解题的关键．
3x−5 3x−5
【详解】解：A、 = =−1，不是最简分式，不合题意；
5−3x −(3x−5)
1−a −(a−1) 1
B、 = = ，不是最简分式，不合题意；
−a2+2a−1 −(a−1) 2 a−1
am+2 1
C、 = ，不是最简分式，不合题意；
2am+2 2
2a+1
D、 ，是最简分式，符合题意；
2b+1
故选：D．
【变式5-1】下列分式中是最简分式的是（ ）
2x x−y x2+2x+1 1−x
A． B． C． D．
4x2 x+ y x+1 x−1
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式的定义解答即可．2x 1
=
【详解】因为 ，所以A不符合题意；
4x2 2x
x−y
因为 是最简分式，所以B符合题意；
x+ y
x2+2x+1 (x+1) 2
因为 = =x+1，所以C不符合题意；
x+1 x+1
1−x
因为 =−1，所以D不符合题意．
x−1
故选：B．
【变式5-2】下列分式中，为最简分式的是（ ）
3a 2a a+2 a2−ab
A． B． C． D．
5a3b2 a2+3a a2+2 a2−b2
【答案】C
【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的
方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为
相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案．
3a 3
【详解】解：选项A、 = ，不符合题意；
5a3b2 5a2b
2a 2
选项B、 = ，不符合题意；
a2+3a a+3
a+2
选项C、 不能约分，符合题意；
a2+2
a2−ab a(a−b) a
选项D、 = = ，不符合题意，
a2−b2 (a+b)(a−b) a+b
故选：C．
【变式5-3】下列分式是最简分式的是（ ）
4 x+1 2x 1−x
A． B． C． D．
2x x2−1 x2+1 x−1
【答案】C
【分析】本题考查了最简分式的判断，解题关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分
式．根据最简分式的定义，即可求出答案．
4 2
【详解】解：A、 = ，不是最简分式，不符合题意；
2x xx+1 x+1 1
B、 = = ，不是最简分式，不符合题意；
x2−1 (x+1)(x−1) x−1
2x
C、 是最简分式，符合题意；
x2+1
1−x x−1
D、 =− =−1，不是最简分式，不符合题意；
x−1 x−1
故选：C．
知识点5：分式通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
【考点6: 分式的通分】
【典例6】通分：
4a 3c 5b
(1) ， ， ；
5b2c 10a2b −2ac2
1 3
(2) ， ．
x2−4 4−2x
8a3c 3bc3 25ab3
【答案】(1) ， ，−
10a2b2c2 10a2b2c2 10a2b2c2
2 3(x+2)
(2) ，−
2(x+2)(x−2) 2(x+2)(x−2)
【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键．
（1）先求出最简公分母是10a2b2c2，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）先求出最简公分母是2(x+2)(x−2)，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：最简公分母是10a2b2c2，4a 8a3c
所以 = ；
5b2c 10a2b2c2
3c 3bc3
= ；
10a2b 10a2b2c2
5b 25ab3
=− ；
−2ac2 10a2b2c2
（2）解：最简公分母是2(x+2)(x−2)，
1 2
=
所以 ；
x2−4 2(x+2)(x−2)
3 3(x+2)
=− ．
4−2x 2(x+2)(x−2)
【变式6-1】通分：
4a 3c 5b
(1) ， ， ；
5b2c 10a2b −2ac2
1 3
(2) ， ；
x2−4 4−2x
1 1 1
(3) ， ， ．
2x 3 y(x−y) 2 x2(x−y)
8a3c 3bc3 25ab3
【答案】(1) ， ，− ；
10a2b2c2 10a2b2c2 10a2b2c2
2 3(x+2)
(2) ，− ；
2(x+2)(x−2) 2(x+2)(x−2)
3xy(x−y) 2 2x2 6 y(x−y)
(3) ， ， ．
6x2y(x−y) 2 6x2y(x−y) 2 6x2y(x−y) 2
【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先求出最简公分母是10a2b2c2，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）先求出最简公分母是2(x+2)(x−2)，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（3）先求出最简公分母是6x2y(x−y) 2，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答．【详解】（1）解：最简公分母是10a2b2c2，
4a 4a·2a2c 8a3c 3c 3c·bc2 3bc3
所以 = = ， = = ，
5b2c 5b2c·2a2c 10a2b2c2 10a2b 10a2b·bc2 10a2b2c2
5b 5b 5b·5ab2 25ab3
=− =− =− ；
−2ac2 2ac2 2ac2·5ab2 10a2b2c2
（2）解：最简公分母是2(x+2)(x−2)，
1 1 2 3 3 3(x+2)
所以 = = ， =− =− ；
x2−4 (x+2)(x−2) 2(x+2)(x−2) 4−2x 2(x−2) 2(x+2)(x−2)
（3）解：最简公分母是6x2y(x−y) 2，
1 1·3xy(x−y) 2 3xy(x−y) 2 1 1·2x2 2x2
所以 = = ， = = ，
2x 2x·3xy(x−y) 2 6x2y(x−y) 2 3 y(x−y) 2 3 y(x−y) 2·2x2 6x2y(x−y) 2
1 6 y(x−y) 6 y(x−y)
= =
．
x2(x−y) x2(x−y)·6 y(x−y) 6x2y(x−y) 2
【变式6-2】通分：
1 2
(1) ，− ；
a2b ab2
1 1
(2) ， ．
x2−y2 x2+xy
1 b 2 2a
【答案】(1) = ，− =−
a2b a2b2 ab2 a2b2
1 x 1 x−y
(2) = ， =
x2−y2 x(x+ y)(x−y) x2+xy x(x+ y)(x−y)
【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先求出最简公分母是a2b2，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）先求出最简公分母是x(x+ y)(x−y)，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
1 1×b b
【详解】（1）解： = = ，
a2b a2b⋅b a2b2
2 2a 2a
− =− =− ；
ab2 ab2 ⋅a a2b21 1 1⋅x x
（2）解： = = = ，
x2−y2 (x+ y)(x−y) x(x+ y)(x−y) x(x+ y)(x−y)
1 1 1⋅(x−y) x−y
= = = ．
x2+xy x(x+ y) x(x+ y)⋅(x−y) x(x+ y)(x−y)
2xy x m2−n2
【变式6-3】（1）通分： 和 ；（2）约分：
(x+ y) 2 x2−y2 m2+2mn+n2
2xy(x−y) x(x+ y) m−n
【答案】（1） ； ；（2）
(x+ y) 2 (x−y) (x+ y) 2 (x−y) m+n
【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分
母的公因式．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
2xy 2xy(x−y) x x x(x+ y)
【详解】解：（1） = , = = ；
(x+ y) 2 (x+ y) 2 (x−y) x2−y2 (x+ y)(x−y) (x+ y) 2 (x−y)
(m+n)(m−n) m−n
（2）原式= = ．
(m+n) 2 m+n
2 x+ y 2 2x−y x
1．在代数式 ， ， +x， ， 中，分式的个数为（ ）
x+1 3 3 3x π
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字
A
母，那么式子 就叫做分式，据此求解即可．
B
2 x+ y 2 2x−y x 2 2x−y
【详解】解；在代数式 ， ， +x， ， 中，分式有 ， ，共2个，
x+1 3 3 3x π x+1 3x
故选：B．2x−3
2．若分式 的值为0，则（ ）
x−8
3
A．x≠8 B．x=8 C．x=3 D．x=
2
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值是0的条件，分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一
不可．
【详解】解：由题意可知，2x−3=0，且x−8≠0，
3
∴ x= ，
2
故选：D．
1 3
3．分式 与 的最简公分母是（ ）
2x2y 4x3
A．2x2 B．2x2y C．4x2y D．4x3y
【答案】D
【分析】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，先找系数的
最小公倍数，找所有因式的最高次幂，其积便是最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
1 3
【详解】解：分式 与 的分母分别是2x2y、4x3，故最简公分母是4x3y，
2x2y 4x3
故选：D．
4．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
a+m a a2+b2 a6 a−b
A． = B． =a+b C． =a3 D． =−1
b+m b a+b a2 −a+b
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，变形计算解答即可．
本题考查了分式的性质，分式的化简，熟练掌握性质和化简是解题的关键．
a+m a
【详解】解：A. = 是错误的，不符合题意；
b+m b
a2+b2
B. =a+b是错误的，不符合题意；
a+b
a6
C.
=a4是错误的，不符合题意；
a2a−b a−b
D.
= =−1，正确，符合题意，
−a+b −(a−b)
故选：D．
3x
5．若将分式 中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
x+2y
1
A．不改变 B．缩小为原来的
10
1
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
100
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
3x×10 3x×10 3x
= =
【详解】由题意得： ，
x×10+2y×10 (x+2y)×10 x+2y
3x
若将分式 中的x，y都扩大10倍，则分式的值不变，
x+2y
∴
故选：A．
2 4 6 8 10 12
6．按一定规律排列的数： , , , , , ,⋯则第n个数为（ ）
4 9 16 25 36 49
2n n2 2n n2
A． B． C． D．
n2 (n−1) 2 (n+1) 2 (n+1) 2
【答案】C
【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数
字．
根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数．
2 4 6 8 10 12
【详解】解：一组数为 , , , , , ,⋯
4 9 16 25 36 49
2 2×1
∴这组数据第1个数为： = ，
4 22
4 2×2
第2个数为： = ，
9 32
6 2×3
第3个数为： = ，
16 42
2n
∴第n个数为： ，
(n+1) 2故选：C．
4m2n3
7．约分： = ．
−18m4n2
2n
【答案】−
9m2
【分析】本题考查了分式的约分，将分式的分子和分母的公因式约去，这种变形成为分式的约分．本
题分子和分母得公因式为2m2n2，约去即可求出答案．
4m2n3 2n
【详解】 =− ，
−18m4n2 9m2
2n
故答案为：− ．
9m2
x y x+ y
8．已知 = ，则分式 = ．
3 4 y−x
【答案】7
【分析】本题主要考查了分式的求值等知识点．由题意知设x=3k，y=4k，再代入求值即可．
x y
【详解】解：∵ = ，
3 4
∴设x=3k，y=4k，
x+ y 3k+4k 7k
∴ = = =7，
y−x 4k−3k k
故答案为：7．
x2−9
9．当x=2023时，分式 的值为 ．
x+3
【答案】2020
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是利用平方差公式将所求式子进行化简．先将原式分
子因式分解，约分化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】解：当x=2023时，
x2−9 (x+3)(x−3)
= =x−3=2023−3=2020
x+3 x+3
故答案为：2020．
1 1 3 x y
10．若 + = ，则 + 的值是 ．
x y x+ y y x【答案】1
x+ y x+ y
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知条件式推出 + =3，进而得到
x y
y x
1+ +1+ =3，据此可得答案．
x y
1 1 3
【详解】解：∵ + = ，
x y x+ y
x+ y x+ y
∴ + =3，
x y
y x
∴1+ +1+ =3，
x y
x y
∴ + =1，
y x
故答案为：1．
11．约分：
−36x y2z3
(1)
6 yz2
8−2m
(2)
m2−16
m2+4+4m
(3)
2m+m2
【答案】(1)−6xyz；
2
(2)− ；
m+4
m+2
(3) ．
m
【分析】本题考查分式的约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分
母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
（1）根据分式的基本性质求解即可；
（2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；
（3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可．
−36x y2z3
【详解】（1）解：
6 yz2=−6xyz；
8−2m
（2）
m2−16
−2(m−4)
=
(m+4)(m−4)
2
=− ；
m+4
m2+4+4m
（3）
2m+m2
(m+2) 2
=
m(m+2)
m+2
= ．
m
12．通分：
2y2
(1)x−y， ；
x+ y
2 a−1 9
(2) ， ， ．
9−3a a2−9 a2−6a+9
x2−y2 2y2
【答案】(1) ，
x+ y x+ y
2(a−3)(a+3) −3(a−1)(a−3) −27(a+3)
(2) ， ，
−3(a−3) 2 (a+3) −3(a−3) 2 (a+3) −3(a−3) 2 (a+3)
【分析】本题考查了分式的通分，确定各分式的最简公分母即可．
（1）最简公分母为x+ y，据此即可求解；
（2）最简公分母为−3(a−3) 2 (a+3)，据此即可求解；
(x−y)(x+ y) x2−y2
【详解】（1）解：x−y = = ，
x+ y x+ y
2y2 2y2
=
x+ y x+ y
2 2(a−3)(a+3) 2(a−3)(a+3)
（2）解： = =
9−3a −3(a−3)(a−3)(a+3) −3(a−3) 2 (a+3)a−1 (a−1)[−3(a−3)) −3(a−1)(a−3)
= =
a2−9 (a−3)(a+3)[−3(a−3)) −3(a−3) 2 (a+3)
9 9×[−3(a+3)) −27(a+3)
= =
a2−6a+9 (a−3) 2[−3(a+3)) −3(a−3) 2 (a+3)
13．材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：
x−1 x2
， 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例
x+1 x+2
1 2x
如： ， 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
x+1 x2−1
8 3×2+2 2
= =3 ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
3 3 3
x2+2x−1 x(x+2)−1 1
= =x−
x+2 x+2 x+2
x2 (x2+2x)−2x x(x+2)−2x−4+4 x(x+2)−2(x+2)+4 4
= = = =x−2+ ．
x+2 x+2 x+2 x+2 x+2
请根据上述材料，解答下列问题：
2
(1)填空：①分式 是__________分式（填“真”或“假”）；
x+2
x2−3x+5
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： =__________．
x−3
x2+2x−13
(2)把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式
x−3
的值为整数．
5
【答案】(1)①真；②x+
x−3
(2)x=4或x=2或x=5或x=1
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；
2
【详解】（1）解：①分式 中，分子的次数小于分母的次数，
x+22
∴分式 是真分式；
x+2
x2−3x+5 x(x−3)+5 5
② = =x+ ，
x−3 x−3 x−3
5
故答案为：①真；②x+ ；
x−3
x2+2x−13
（2）解：
x−3
x2−3x+5x−13
=
x−3
x2−3x+5x−15+2
=
x−3
x(x−3)+5(x−3)+2
=
x−3
2
=x+5+
x−3
若这个分式的值为整数，
则x−3=1或x−3=−1或x−3=2或x−3=−2，
∴x=4或x=2或x=5或x=1．
