文档内容
15.1 图形的轴对称
题型一 轴对称图形的识别
1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）下列标志中，是轴对称图形的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）剪纸艺术不仅具有艺术价值，还承载着丰富的文化内涵和历史记忆．
它是中国传统文化的重要组成部分，也是世界文化遗产的瑰宝．以下四幅剪纸图案中，不是轴对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
题型二 求对称轴条数
1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）下列图形中，对称轴最少的是（ ）
A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形
2．（2024八年级上·内蒙古·专题练习）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·河南漯河·期中）下列图形具有两条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图
形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的
对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④题型三 根据轴对称图形的特征求解
1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在 中， ， 于D，点B关于 的对称点
在 上，若 ，则 ．
2．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在 中， ， ， ，垂足为
， 与 关于直线 对称，点 的对称点是点 ，则 的度数为 ．
3．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 与 关于直线 对称， ，延长
交 于点F，当 时， ．
4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 中， ， ， ，D为 上的
一动点，把 沿 翻折得到 ，连 ，当 取最小值时， 的面积是 ．
题型四 台球桌面上的轴对称问题
1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的
台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经
过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋．
2．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，
反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，
如图所示， ，若 ，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保
证 为 ．
4．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，
使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个．
题型五 轴对称中的光线反射问题
1．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜 ， ，两个平面镜所成的夹角为 ，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同
学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜 反射后，又沿 射向平面镜 ，在点 C 处再次反射，
反射光线为 ，已知入射光线 ，反射光线 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西吕梁·二模）如图， 为平面镜， 为水面， ．一束光线从点 射入，经过平面
镜 反射后，从光线 变成光线 ，再经过水面 折射，从光线 变成光线 ．若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同
一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角 入射角 等于反射光线与
法线的夹角 反射角 ，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜
以改变光的路线，当太阳光线 与水平线 的夹角 时，要使太阳光线经反射后刚好竖直
射入井底 即 ，则调整后平面镜 与水平线 的夹角 为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
题型六 折叠问题
1．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将 折叠， 为折痕，A点落在
的位置，若 ，则 ．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ； ，D是直线
上的一个动点，连结 ，将 沿着 翻折得到 ，当 与 的边垂直时， 的度
数是 ．3．（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图所示，把 沿直线 翻折后得到 ，如果
，那么 度．
4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）将图1中的 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，点 ，点
分别在 上，得图形2，若 ，则 的周长是 ．
题型七 画对称轴
1．（24-25八年级上·山东德州·期中）画出下列轴对称图形的所有的对称轴．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）画出图中的轴对称图形的所有对称轴．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， 和 关于某条直线成轴对称，请画出这条直线．4．（2024八年级上·全国·专题练习）利用图形中的对称点，画出图形的对称轴．
题型八 作已知线段的垂直平分线
1．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点 ， 表
示初级中学， ， 表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所
初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图
中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，电信部门要在 区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，
发射塔到两个城镇 ， 的距离必须相等，到两条高速公路 和 的距离也必须相等，发射塔应修在什么
位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法）
3．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和
A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距
离相等．(1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）．
(2)请你运用所学知识，简要说明理由．
4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知锐角 ， ．请用尺规作图法，在 内
部求作一点P，使 ，且 （保留作图痕迹，不写做法）．
题型一 线段垂直平分线的性质
1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交 于点
F，交 于点E，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．
2．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在 和 中，
．连接 ．(1)求证： ；
(2)将 和 绕点A向相反方向旋转，如图2， 与 交于点O， 与 交于点F．
①若 ，求 的度数；
②连接 ，求证： 平分 ；
③若G为 上一点， ，且 ，连接 ，直接写出 与 的数量关系．
3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在 中， 垂直平分 ，交 于点F，交 于点
E， ，垂足为D，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
4．（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交 于点 ，
交 于点 ，且 是 的中点，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 的长为 ，求 的周长．
题型二 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用
1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，在 ， ， 为 内一点，且，求证：直线 垂直平分 ，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．
要证直线 垂直平分 ，只要证点 、点 都在 的垂直平分线上，即要证
______=_____，______=_____
（2）如图（2），在 中， ，点 、 分别在 、 上，且 ，请你只用无刻度
的直尺画出 边的垂直平分线，并说明理由．
（3）如图3，在五边形 中， ， ， ，请你只利用无刻度的直尺画出
边的垂直平分线．
2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在 中，点 是 上一点，点 是 的中点，连接 并延长到点 ，过
点 作 交 于点 ，连接 ，求证： ；
【问题解决】
（2）如图2，四边形 是一个工业区，点 是一个入口， 是两个仓库，点 分别是粗加工
厂和精密加工厂，点 分别在 上， 是两条小路， 是两条运输公路，为方便从
粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿 修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨
道 与运输公路 之间的数量关系．已知 ， ．
请你帮助管理人员探索线段 之间的数量关系，并加以证明．
3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一
种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等
的四边形叫做筝形．(1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写
出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ；
(2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
(3)如图，若 ， ，求筝形 的面积．
4．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点 为 外一动点，连接 并延长至点 ，连接
交 于点 ．过点 作 的垂线于点 ， ，已知 ．过 作 于点 ，
于点
(1)求证：
(2)证明： 为 的平分线．
(3)求证：
1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究
【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”．
研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．
在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形 中，
． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请结合教材内容，解决下面问题：
(1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形 的
性质进行探究．在① ；② ；③ 垂直平分 ；④ 平分 和 ；⑤
中一定正确的有 ．（填序号）．
(2)【性质应用】如图2，在筝形 中， ，点P是对角线 上一点，过点 P分别作
的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形．
(3)【拓展应用】如图3，在 中， ，点 D、E分别是线段 上的动点，当四
边形 为筝形时，请直接写出 的度数．
2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在 中， ， ．若点 在 的平分线所在
的直线上．
(1)如图1，当点 在 的外部时，过点 作 于 ，作 交 的延长线于 ，且
．求证：点D在 的垂直平分线上；
(2)如图2，当点 在线段 上时，若 ， 平分 ，交 于点 ，交 与点 ，过点
作 ，交 于点 ．
① ；
②若 ， ，求 的长度．
(3)如图3，过点 的直线 ，若 ， ，点 到 三边所在直线的距离相等，则点
到直线 的距离是______．3．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）【发现】如图1， ，E为 的中点， 平
分 ，过点E作 ，垂足为F，连接 ．
（1）求证： 是 的平分线；
【拓展】如图2， 和 的平分线 和 相交于点E，过点E的直线与 分
别相交于点B，C（点B，C在 的同侧）．
（2）判断E是否为线段 的中点，并说明理由；
（3）若四边形 的面积为16， 的面积为2，则 的面积是 ．
4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，
条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，
构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围；
(2)如图2，在 中，点D是 的中点，点M在 边上，点N在 边上，若 ．
求证： ；
(3)如图3， 和 均为等腰直角三角形，且 ，连接 ， ，点D为
边的中点，连接 ．请直接写出 与 的数量关系和位置关系．
