文档内容
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】弦长问题.......................................................................................................................2
【考点二】面积问题.......................................................................................................................4
【考点三】中点弦问题...................................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点
弦等问题，难度中等．
真题自测
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一
点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
3．（2023·全国·高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
4．（2022·全国·高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直
线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
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学科网（北京）股份有限公司考点突破
【考点一】弦长问题
核心梳理：
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝＝|x－x|
1 2
＝，
或|AB|＝|y－y|＝.
1 2
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 ，其右焦点为 ，若直线 过点 与 交于 ，则
最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024·北京·模拟预测）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 的
同一支交于 ， 两点，且 ，则线段 的长度为（ ）
A． B．9 C． D．6
二、多选题
3．（2024·山东·二模）已知抛物线 焦点为 ，过点 （不与点 重合）的直线交
于 两点， 为坐标原点，直线 分别交 于 两点， ，则（ ）
A． B．直线 过定点
C． 的最小值为 D． 的最小值为
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线 经过椭圆 的一个焦点和一
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学科网（北京）股份有限公司个顶点 ，且与 在第四象限交于点 的左、右焦点分别为 ，则（ ）
A． 离心率为 B． 的周长为
C．以 为直径的圆过点 D．
三、填空题
5．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线 ： ，则双曲线 的渐近线方程是 ；
直线 与双曲线相交于 ， 两点，则 .
6．（2024·黑龙江·二模）已知抛物线 ，经过焦点 斜率为 的直线交抛物线于 两点，
线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 的值为 .
规律方法：
(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x＋x＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．
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【考点二】面积问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与
交于 两点，四边形 的周长为 ，若 的面积是 的面积的2倍（ 为坐标原点），
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津·二模）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上的点 到 的距离为6，
双曲线 的左焦点 在抛物线的准线上，过点 向双曲线的渐近线作垂线，垂足为
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学科网（北京）股份有限公司，则 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B． C． D．3
二、多选题
3．（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已
知抛物线 ，阿基米德三角形 ，弦 过 的焦点 ，其中点 在第一象限，则下列说法正确
的是（ ）
A．点 的纵坐标为 B． 的准线方程为
C．若 ，则 的斜率为 D． 面积的最小值为16
4．（2024·广东·三模）已知椭圆 的长轴端点分别为 ､两个焦点分别为 是 上
任意一点，则（ ）
A． 的离心率为 B． 的周长为
C． 面积的最大值为 D．
三、填空题
5．（2024·湖南常德·三模）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，过 的直线
与双曲线的左、右两支分别相交于 两点，直线 与双曲线的另一交点为 ，若 为等腰三角
形，且 的面积是 的面积的2倍，则双曲线C的离心率为 .
6．（2024·江西南昌·二模）如图，有一张较大的矩形纸片 分别为AB，CD的中点，点 在
上， .将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与 点重合的点为
，折痕为 .过点 再折一条与BC平行的折痕 ，并与折痕 交于点 ，按上述方法多次折叠， 点的
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学科网（北京）股份有限公司轨迹形成曲线 .曲线 在 点处的切线与AB交于点 ，则 的面积的最小值为 .
规律方法：
圆锥曲线中求解三角形面积的方法
(1)常规面积公式：S＝×底×高．
(2)正弦面积公式：S＝absin C.
(3)铅锤水平面面积公式：
①过x轴上的定点：S＝a|y－y|(a为x轴上定长)；
1 2
②过y轴上的定点：S＝a|x－x|(a为y轴上定长)．
1 2
【考点三】中点弦问题
核心梳理：
已知A(x，y)，B(x，y)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x，y)，直线AB的斜率为k.
1 1 2 2 0 0
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆 ，一组斜率 的平行直线与椭圆相交，则这些直线被
椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东肇庆·一模）已知直线 ： 与双曲线 ： 交于 ， 两点，
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学科网（北京）股份有限公司点 是弦 的中点，则双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
为双曲线 右支上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ， ．若圆 与双曲线
的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率
B． 为定值
C．|AB|的最小值为3
D．若直线 与双曲线 的渐近线交于 、 两点，点 为 的中点， （ 为坐标原
点）的斜率为 ，则
4．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为 的直线交抛物线 于 、
两点，下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B．线段 的中点在一条定直线上
C． 为定值 D． 为定值（ 为抛物线的焦点）
三、填空题
5．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线 ，直线 和 相互平行，直线 与
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学科网（北京）股份有限公司双曲线 交于 两点，直线 与双曲线 交于 两点，直线 和 交于点 （异于坐标原点）.若
直线 的斜率为3，直线 是坐标原点 的斜率 ，则双曲线 的离心率的取值范围为 .
6．（2023·北京朝阳·二模）已知圆A： ，抛物线C： ，则圆心A到抛物线C的
准线的距离为 ；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若
，则 .
规律方法：
处理中点弦问题常用的求解方法
专题精练
一、单选题
1．（2024·四川内江·三模）设 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆C上，若 为直角
三角形，则 的面积为（ ）
A． B．1或 C． D．1或
2．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，
线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x
轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ ❑√3 ，2]
4．（2023·陕西商洛·三模）如图，已知过原点的直线 与双曲线 相交于 两点，
双曲线 的右支上一点 满足 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的 的弦中最短的弦长为
8，点 在 上， 是线段 上靠近点 的五等分点，则 （ 为坐标原点）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 两点，已知 ，线
段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
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学科网（北京）股份有限公司7．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆 过点 ，其右顶点 ，上顶点 ．
那么以下说法正确的是（ ）
A．设 是半焦距 到 的其中一个焦点的距离，那么必然有
B． 到直线 的距离 不是定值
C． 和 没有交点
D．三角形 面积的取值范围是
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 为坐标原点，若直线 与双曲线 的两
条渐近线分别交于点 ，则 内切圆的半径等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知 是椭圆 ： （ ）位于第一象限上的一点，
， 是 的两个焦点， ，点 在 的平分线上， 的平分线与 轴交于点 ，
为原点， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的面积为
B． 的离心率为
C．点 到 轴的距离为
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学科网（北京）股份有限公司D．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线 与双曲线 ，其中
，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线 的焦距之比为
B．双曲线 的离心率相同，渐近线也相同
C．过 上的任一点 引 的切线交 于点 ，则点 为线段 的中点
D．斜率为 的直线与 ， 的右支由上到下依次交于点 ，则
11．（2024·河北唐山·二模）设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与 交于
， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．以 为直径的圆与 相切
C．以 为直径的圆过坐标原点 D． 为直角三角形
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ，平行于 轴的直线与 交于点 ，平行
于 轴的直线与 交于点 ，直线 与直线 在第一象限交于点 ，且 ， ， ，
，若过点 的直线 与 交于点 ，且点 为 的中点，则 的方程为 ．
13．（2023·河南·模拟预测）已知 为坐标原点，双曲线 ： （ ， ）的左，右焦点分
别为 ， ，过左焦点 作斜率为 的直线 与双曲线交于 ， 两点（ 在第一象限）， 是 的中
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学科网（北京）股份有限公司点，若 是等边三角形，则直线 的斜率为 ．
14．（2024·广东·模拟预测）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，且
.记点 的轨迹为曲线 ，若直线 与曲线 交于 两点，且线段 中点的
横坐标为1，则直线 的斜率为 .
四、解答题
15．（2020·浙江·模拟预测）已知抛物线 的顶点是椭圆 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知动直线 过点 ，交抛物线 于 、 两点，坐标原点 为 中点，
①求证： ；
②是否存在垂直于 轴的直线 被以 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出 的方程；
如果不存在，说明理由.
16．（2024·福建漳州·模拟预测）已知 ，我们称双曲线 与椭圆 互为
“伴随曲线”，点 为双曲线 和椭圆 的下顶点.
(1)若 为椭圆 的上顶点，直线 与 交于 ， 两点，证明：直线 ， 的交点在双曲线
上；
(2)过椭圆 的一个焦点且与长轴垂直的弦长为 ，双曲线 的一条渐近线方程为 ，若 为双曲
线 的上焦点，直线 经过 且与双曲线 上支交于 ， 两点，记 的面积为 ， （
为坐标原点）， 的面积为 .
（i）求双曲线 的方程；
（ii）证明： .
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ．过F作两条互相垂直的
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学科网（北京）股份有限公司直线 ， ，且直线 与 交于M，N两点，直线 与 交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分
别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
(1)求 的方程．
(2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
(3)证明：点H在直线 上．
18．（2023·河北保定·三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，离心率为 ，且
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆上异于 的两动点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 .直线
与 轴相交于点 ，求 的面积的最大值.
19．（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线 与直线 ，分别与抛物线
交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当 经过T的焦点F且垂直于x轴时，
．
(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若 ，求四边形ABCD的面积
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