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15.1 图形的轴对称
题型一 轴对称图形的识别
1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线
叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形；
故选：D．
2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两
旁的部分能够完全重合，进行判断即可．
【详解】解： ．是轴对称图形，故该选项符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）下列标志中，是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是找到对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后
重叠，根据概念一一判断即可；
【详解】解：根据轴对称图形的概念一一判断可知：第1，2，4是轴对称图形，共3个，
故选：C．
4．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）剪纸艺术不仅具有艺术价值，还承载着丰富的文化内涵和历史记忆．
它是中国传统文化的重要组成部分，也是世界文化遗产的瑰宝．以下四幅剪纸图案中，不是轴对称图形的
是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形
关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解： 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
题型二 求对称轴条数
1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）下列图形中，对称轴最少的是（ ）
A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查了求对称轴条数，熟练掌握常见的轴对称图形的对称轴的条数是解题的关键．
分别列出各选项图形的对称轴条数，进行比较即可．
【详解】解：A圆有无数条对称轴；
B等边三角形有 条对称轴；
C正方形有 条对称轴；
D等腰三角形只有 条对称轴；
对称轴最少的图形是等腰三角形，
故选： ．
2．（2024八年级上·内蒙古·专题练习）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形对称轴的数量，正确掌握轴对称图形对称轴的数量是关键．根据对称轴的
概念判断即可．
【详解】由轴对称图形的意义可知：
A、同心圆有无数条对称轴；
B、等边三角形有3条对称轴；
C、正六边形有6条对称轴；
D、正八边形有8条对称轴；
所以对称轴条数最多的是同心圆；
故选：A．
3．（24-25八年级上·河南漯河·期中）下列图形具有两条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形的对称轴，根据轴对称图形的性质逐一判断即可求解，掌握以上图形的性质是解
题的关键．
【详解】解： 、该图形只有一条对称轴，不合题意；
、该图形不是轴对称轴图形，不合题意；
、该图形有两条对称轴，不合题意；
、该图形由四条对称轴，不合题意；
故选： ．
4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图
形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的
对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可．【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有 条，即 ，
A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有 条，不符合题意；
B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有 条，不符合题意；
C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有 条，符合题意；
D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有 条，不符合题意；
故选：C．
题型三 根据轴对称图形的特征求解
1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在 中， ， 于D，点B关于 的对称点
在 上，若 ，则 ．
【答案】 /54度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由题意可得 ，由折叠
的性质可得 ，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在 中， ， ， ，垂足为
， 与 关于直线 对称，点 的对称点是点 ，则 的度数为 ．【答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，角的和差运算等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．利用轴对称的性质先证明
，再求解 结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：∵ ， 与 关于直线 对称，
，
，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
3．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 与 关于直线 对称， ，延长
交 于点F，当 时， ．
【答案】 /36度
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是
解题关键．设 ，根据三角形的外角性质可得 ，再根据轴对称的性质可得
， ，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：设 ，
则 ，
由轴对称的性质得： ， ，
若 ，
则在 中， ，
解得 ，
即当 时， ．
故答案为： ．4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 中， ， ， ，D为 上的
一动点，把 沿 翻折得到 ，连 ，当 取最小值时， 的面积是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质．如图，由 ，当A、P、C三点共线
时取等号，此时 最小，过D作 于G，作 于F， ， ，由对折可得：
， ，可得 ，再利用等面积法求解即可．
【详解】解：如图，∵ ，当A，P，C三点共线时取等号，此时 最小，
过D作 于G，作 于F， ， ，
由对折可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．题型四 台球桌面上的轴对称问题
1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇
迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的
台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经
过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋．
【答案】3
【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴该球最后将落入的球袋是3号．
故答案为：3．
2．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，
反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
【详解】解：如图，可以瞄准点 击球．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，
如图所示， ，若 ，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保
证 为 ．
【答案】
【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出 的度数，即可求出 的度数．利用数形结
合的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
4．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，
使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个．
【答案】2
【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解．【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．
题型五 轴对称中的光线反射问题
1．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个
平面镜 ， ，两个平面镜所成的夹角为 ，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同
学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜 反射后，又沿 射向平面镜 ，在点 C 处再次反射，
反射光线为 ，已知入射光线 ，反射光线 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出 ，再结合三角形内角和，推出 的度数．
【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道 ，，
，
故选：C ．
2．（2025·山西吕梁·二模）如图， 为平面镜， 为水面， ．一束光线从点 射入，经过平面
镜 反射后，从光线 变成光线 ，再经过水面 折射，从光线 变成光线 ．若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到
，再由平行线性质、对顶角相等确定 ，最后数形结合表示出
即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：由反射性质可知， ，
，
，则 ，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同
一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角 入射角 等于反射光线与
法线的夹角 反射角 ，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜
以改变光的路线，当太阳光线 与水平线 的夹角 时，要使太阳光线经反射后刚好竖直
射入井底 即 ，则调整后平面镜 与水平线 的夹角 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作 ，求出 ，从
而得出 ，继而得解．
【详解】解：过点F，作 ，则 ，依题意得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型六 折叠问题
1．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将 折叠， 为折痕，A点落在的位置，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，熟练掌握四边形内角和定理是解题的关键．
由翻折的性质得到 ，根据四边形内角和定理得到 ，再利用
邻补角的性质求出答案．
【详解】解： 将 折叠， 为折痕，A点落在 的位置，若 ，
，
在四边形 中， ，
，
．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ； ，D是直线
上的一个动点，连结 ，将 沿着 翻折得到 ，当 与 的边垂直时， 的度
数是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分当 点在线段 上时，当点D在线段 延长线
上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：当 点在线段 上且 时，如图，由折叠可知： ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∵ ，
∴ ；
当 点在线段 上且 时，
由折叠的性质可得 ，
∴ ；
当 点在线段 延长线上且 时，如图所示，
同理可得 ；
当 点在线段 延长线上且 时，如图所示，∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴由折叠的性质可得 ；
综上所述，当 与 的边垂直时， 的度数是 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
3．（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图所示，把 沿直线 翻折后得到 ，如果
，那么 度．
【答案】60
【分析】本题主要查了折叠的性质．根据折叠的性质可得 ，再由补角的性质解答，即可求
解．
【详解】解：由折叠的性质得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：60
4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）将图1中的 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，点 ，点
分别在 上，得图形2，若 ，则 的周长是 ．【答案】8
【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到 ，由周长的计算即可求解．
【详解】解：将图1中的 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
∴ ，
∵ 的周长为
，
故答案为：8 ．
题型七 画对称轴
1．（24-25八年级上·山东德州·期中）画出下列轴对称图形的所有的对称轴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合，作
出各图形的对称轴即可．
【详解】解：如图：2．（2024八年级上·全国·专题练习）画出图中的轴对称图形的所有对称轴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合作出各图形的对
称轴即可．
【详解】解：如图所示．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， 和 关于某条直线成轴对称，请画出这条直线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了画对称轴，连接 ，取 的中点E，作直线 即为对称轴．
【详解】解：如图所示，直线 即为对称轴．4．（2024八年级上·全国·专题练习）利用图形中的对称点，画出图形的对称轴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质来画，先从图上找出几个对称点，连接，作垂
直平分对应点连线的垂线就是对称轴．
【详解】解：如图，
题型八 作已知线段的垂直平分线
1．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点 ， 表
示初级中学， ， 表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所
初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图
中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图
形的性质和基本作图的方法作图．分别作 的垂直平分线和 （或 的邻补角）的平分线，它们的交点即为 点．
【详解】解：如图，点 、点 为所作．
2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，电信部门要在 区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，
发射塔到两个城镇 ， 的距离必须相等，到两条高速公路 和 的距离也必须相等，发射塔应修在什么
位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其
尺规作图．
分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．
【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点．
3．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和
A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距
离相等．(1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）．
(2)请你运用所学知识，简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的判定和线段垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）作出两条公路相交形成夹角的平分线与线段 的垂直平分线，交点即为点 ；
（2）点 到两条公路距离相等，说明点 在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点
在线段 的垂直平分线上，那么交点即为点 的位置．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求：
（2）解：由题意得，点 到两条公路距离相等，说明点 在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇
距离相等，则点 在线段 的垂直平分线上，那么交点即为点 的位置．
4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知锐角 ， ．请用尺规作图法，在 内
部求作一点P，使 ，且 （保留作图痕迹，不写做法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．作 的平分线，的垂直平分线，交于 点，则 点满足条件．
【详解】解：如图，点 即为所求．
题型一 线段垂直平分线的性质
1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交 于点
F，交 于点E，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
（1）由垂直平分线的性质可得 ， ，即可得到结论；
（2）由题意可得 ，再结合 ， 求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 的周长为 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
．
2．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在 和 中，
．连接 ．
(1)求证： ；
(2)将 和 绕点A向相反方向旋转，如图2， 与 交于点O， 与 交于点F．
①若 ，求 的度数；
②连接 ，求证： 平分 ；
③若G为 上一点， ，且 ，连接 ，直接写出 与 的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2) ； 见解析；
【分①析】（②1）根据 ③ ，推出 ，结合 证明 ，即可得出结论；
（2）①根据 ，得出 ，根据 ，结合三角形内角和定理即可得出
答案；②过点A作 于点M， 于点N，根据 ，得出 ，证明
，即可证明结论；
③连接 ， 证明 ，得出 ，证明 ，根据等
腰三角形三线合一得出 ，根据垂直平分线的性质得出 ，再根据
，即可求出结果．
【详解】（1）证明： ，
，
即： ，
在 和 中，
，
，
；
（2）①解：根据解析（1）可知， ，
，
，
又 ，
；
②证明：过点A作 于点M， 于点N，如图所示：
，
，
∴ ，
，平分 ；
③解： ；理由如下：
连接 ，如图3所示：
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
即： ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角
形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键．
3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在 中， 垂直平分 ，交 于点F，交 于点
E， ，垂足为D，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据 ，且 ，可得 垂直平分 ，则 ，根据 垂直平分 ，可得
，据此可证明 ；
（2）根据线段垂直平分线的定义得到 ，根据 ，得到 ，再根据三角形周
长计算公式和线段之间的关系可得 的周长 ．
【详解】（1）证明： ，垂足为D，且 ，
垂直平分 ， ∵
∴ ，
∴垂直平分 ，交 于点F，交 于点E，
∵ ，
∴ ；
∴（2）解： 垂直平分 ，交 于点F，交 于点E，
∵．
∴ ，
∵ ．
∴由（1）得 ，
的周长 ．
∴
4．（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交 于点 ，
交 于点 ，且 是 的中点，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 的长为 ，求 的周长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得 ，进而利用等腰三角形的性质可得
， ，然后利用三角形的内角和定理可得 ，最后利用三角形的外角性质
即可解答．
（2）根据已知可得 ，再用线段的和差关系，以及等量代换可得
，即可求得 的周长．
【详解】（1）解：（1）∵ ，且 是 的中点， 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ，∴ ，
∴
（2）解：∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ 的周长 ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，外角的知识，熟练掌握
以上知识是解题的关键．
题型二 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用
1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，在 ， ， 为 内一点，且
，求证：直线 垂直平分 ，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．
要证直线 垂直平分 ，只要证点 、点 都在 的垂直平分线上，即要证
______=_____，______=_____
（2）如图（2），在 中， ，点 、 分别在 、 上，且 ，请你只用无刻度
的直尺画出 边的垂直平分线，并说明理由．
（3）如图3，在五边形 中， ， ， ，请你只利用无刻度的直尺画出
边的垂直平分线．
【答案】（1） ， ， ， ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与
判定是解题的关键；
（1）利用线段垂直平分线定理的逆定理；
（2）连接 、 ，它们相交于 点，延长 交 于 ，如图（2），证明 得到
，则 ，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断 垂直平分 ；
（3）如图（3），连接 、 、 、 ， 与 相交于 ，延长 交 于 ，则 为所作．【详解】（1）证明：∵ ， ，
直线 垂直平分 ；
故答案为 ， ；
（2）如图，连接 、 ，它们相交于 点，延长 交 于 ，如图（2），则 为 的垂直平分
线．
理由如下：
，
，
， ，
，
，
，
而 ，
垂直平分 ；
（3）如图（3）， 为所作．2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在 中，点 是 上一点，点 是 的中点，连接 并延长到点 ，过
点 作 交 于点 ，连接 ，求证： ；
【问题解决】
（2）如图2，四边形 是一个工业区，点 是一个入口， 是两个仓库，点 分别是粗加工
厂和精密加工厂，点 分别在 上， 是两条小路， 是两条运输公路，为方便从
粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿 修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨
道 与运输公路 之间的数量关系．已知 ， ．
请你帮助管理人员探索线段 之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关
系的应用．构造全等三角形是解题的关键．
（1）先证明 ，由全等三角形的性质得出 ，再根据线段垂直平分线的判定以
及性质得出 ，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出 ．
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明．
【详解】证明：（1） 点 是 的中点，
，
，
，
．
，
垂直平分 ，，
在 中，
，
．
（2） ，
证明如下：
如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一
种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等
的四边形叫做筝形．(1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写
出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ；
(2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
(3)如图，若 ， ，求筝形 的面积．
【答案】(1) 垂直平分 ，
(2)见解析
(3)30
【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据题意易得 垂直平分 ， ；
（2）根据中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法进行判断即可；
（3）分割法求出筝形 的面积即可．
【详解】（1）解：观察可知： 垂直平分 ， ；
故答案为： 垂直平分 ， ；
（2）性质1：∵ ， ，
∴点 均在线段 的中垂线上，
∴ 垂直平分 ；
性质2：∵ ，
∴ ；
（3）∵ 垂直平分 ，
∴ ．
4．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点 为 外一动点，连接 并延长至点 ，连接
交 于点 ．过点 作 的垂线于点 ， ，已知 ．过 作 于点 ，
于点(1)求证：
(2)证明： 为 的平分线．
(3)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判
定与性质是解题关键．
（1）先证出 垂直平分 ，根据线段垂直平分线的性质可得 ，再根据垂直的定义可得
，然后利用 定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得 ，再证出 ，根据全等三角形的性质即
可得证；
（3）先根据全等三角形的性质可得 ， ，再根据线段和差、等量代换即可得证．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）证明：由（1）已证： ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的平分线．
（3）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究
【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”．
研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．
在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形 中，
． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
请结合教材内容，解决下面问题：
(1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形 的
性质进行探究．在① ；② ；③ 垂直平分 ；④ 平分 和 ；⑤
中一定正确的有 ．（填序号）．
(2)【性质应用】如图2，在筝形 中， ，点P是对角线 上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形．
(3)【拓展应用】如图3，在 中， ，点 D、E分别是线段 上的动点，当四
边形 为筝形时，请直接写出 的度数．
【答案】(1)③④⑤
(2)见解析
(3) 或
【分析】（1）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可；
（2）根据“筝形”的性质同（1）得∶ 得出 ，由角平分线的性质定理
得出 ，再通过 证明 可得 ，再结合 运用“筝形”即可证明结
论；
（3）分“筝形”两种情况，分别根据“筝形”的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵“筝形” ，
∴① 不一定成立；② 不一定成立；故①②都是错误的；
∵ ，
∴ 垂直平分 ，故③是正确的；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 和 ，即④正确；
∵ ，
∴ ，故⑤是正确的．
故答案为：③④⑤．
（2）证明：在筝形 中， ，
同（1）得： ，∴ ，
依题意知： ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是筝形．
（3）解：分两种情况∶
①如图：当四边形 是筝形且 时，
∴ ；
②如图：当四边形 是筝形时且 时，
则 ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识
点，灵活运用相关知识以及掌握分类讨论是解题的关键．
2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在 中， ， ．若点 在 的平分线所在
的直线上．(1)如图1，当点 在 的外部时，过点 作 于 ，作 交 的延长线于 ，且
．求证：点D在 的垂直平分线上；
(2)如图2，当点 在线段 上时，若 ， 平分 ，交 于点 ，交 与点 ，过点
作 ，交 于点 ．
① ；
②若 ， ，求 的长度．
(3)如图3，过点 的直线 ，若 ， ，点 到 三边所在直线的距离相等，则点
到直线 的距离是______．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
(3)1或2或3或6
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质
定理是解决问题的关键．
（1）①点 在 的平分线所在的直线上，过点 作 于 ，作 交 的延长线于 ，
得出 ，借助 ，得到 ，即可证明点 在 的垂直平分线上；
（2）①先利用角平分线的定义求得 ，再利用三角形的外角性质求得
，即可求解；
②延长 交 于 ，证明 ，得到 ，再由 ，即可求解；
（3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ， ，如图1，点 在 的平分线所在的直线上，过点 作 于 ，作 交
的延长线于 ，
，
在 和 中，
，
，
，
点 在 的垂直平分线上；
（2）解：① 平分 ， 平分 ， ，
，即 ，
，
，即 ，
；
故答案为： ；
②延长 交 于 ，如图2，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
∵ ， ， ， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
；
（3）解：当点 在 内部时，如图
，
，
，
点 到直线 的距离是 ；
当点 在 的下方时，如图设点 到三边的距离为 ，
由题意得： ， ，
，
，
点 到直线 的距离是 ；
综上，点 到直线 的距离是2或6．
当点D在 的右边时，如图：
设点D到三边的距离为y，
同理可得： ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
当点D在 的上方时，如图：设点D到三边的距离为z，
同理可得： ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6．
故答案为：1或2或3或6．
3．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）【发现】如图1， ，E为 的中点， 平
分 ，过点E作 ，垂足为F，连接 ．
（1）求证： 是 的平分线；
【拓展】如图2， 和 的平分线 和 相交于点E，过点E的直线与 分
别相交于点B，C（点B，C在 的同侧）．
（2）判断E是否为线段 的中点，并说明理由；
（3）若四边形 的面积为16， 的面积为2，则 的面积是 ．
【答案】（1）见解析；（2） 为线段 的中点，理由见解析；（3）6
【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，
正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）由题意得 和 ，根据角平分线的判定定理即可判定；
（2）过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，交 于点 ，有 ．作 于点 ，由角平分线的性质可得 ，证得 ，即可求证；
（3）因为 和 ，有 ，根据 ，得到
即可．
【详解】（1）证明： ，
．
又 ， 平分 ，
．
为 的中点，
，
．
，
．
又 ，
是 的平分线；
（2）解： 为线段 的中点；
理由：过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，交 于点 ，如图，
，
．
作 于点 ，由角平分线的性质可得 ．
在 与 中，
，
，
，为线段 的中点；
（3）解：在 和 中，
，
，
则 ，
同理可证 ，则 ，
．
又 ，
，
，
．
4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，
条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，
构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围；
(2)如图2，在 中，点D是 的中点，点M在 边上，点N在 边上，若 ．
求证： ；
(3)如图3， 和 均为等腰直角三角形，且 ，连接 ， ，点D为
边的中点，连接 ．请直接写出 与 的数量关系和位置关系．
【答案】(1)
(2)见解析(3) ，
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，由 证明 得出 ，在
中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 、 ，同（1）得： ，由全等三角形的性质
得出 ，由线段垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系即可得出结
论；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，同（1）得： ，由全等三角形的性质得出
， ，证出 ，证明 得出 ， ，则
．延长 交 于 ，证出 ，得出 ，即可．
【详解】（1）解：延长 至 ，使 ，连接 ，如图1，
是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
，即 ，
；
（2）证明：延长 至点 ，使 ，连接 、 ，如图2：同（1）得： ，
，
， ，
，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
；
（3）解： ， ，理由如下：
延长 至 ，使 ，连接 ，如图3，
同（1）得： ，
， ，
，
，
即 ，
，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
．延长 交 于 ，
，
，
，
，
，
即 ， ．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分
线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长
中线，构造三角形全等是解决问题的关键．
