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第 1 讲 直线与圆
[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以
选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，
中高难度．
考点一 直线的方程
核心提炼
1．已知直线l ：Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为零)，直线l ：Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
同时为零)，则l∥l⇔AB－AB＝0，且AC －AC ≠0，l⊥l⇔AA＋BB＝0.
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
1 1 2 2
例1 (1)(2022·常德模拟)已知直线l ：ax－4y－3＝0，l ：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是
1 2
“l∥l”的( )
1 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若l∥l，
1 2
则有－a2＋4＝0，解得a＝±2，
当a＝2时，l：2x－4y－3＝0，
1
l：x－2y＋1＝0，l∥l，
2 1 2
当a＝－2时，l：2x＋4y＋3＝0，
1
l：x＋2y＋1＝0，l∥l，
2 1 2
所以若l∥l，则a＝±2，
1 2所以“a＝2”是“l∥l”的充分不必要条件．
1 2
(2)(2022·济宁模拟)已知直线l ：kx＋y＝0过定点A，直线l ：x－ky＋2＋2k＝0过定点B，l
1 2 1
与l 的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为______．
2
答案 2
解析 由l：kx＋y＝0，得l 过定点A(0,0)，
1 1
由l：x＋2＋k(2－y)＝0，
2
得l 过定点B(－2，2)，
2
显然k×1＋1×(－k)＝0，即l，l 相互垂直，
1 2
而l 与l 的交点为C，
1 2
即AC⊥BC，又|AB|＝2，
∴|AC|2＋|BC|2＝12，
∴(|AC|＋|BC|)2＝12＋2|AC|·|BC|≤12＋(|AC|2＋|BC|2)＝24，
∴|AC|＋|BC|的最大值为2，
当且仅当|AC|＝|BC|＝时，等号成立．
∴|AC|＋|BC|的最大值为2.
易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用AB －AB ＝0建立方程求出参数的值后，要注意代
1 2 2 1
入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直，
而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
跟踪演练1 (1)已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值是(
)
A．1 B．－1
C．－2或1 D．2或1
答案 D
解析 当a＝0时，直线y＝2，此时不符合题意，应舍去；
当a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为，纵截距为2－a.
由＝2－a，
解得a＝1或a＝2.
经检验，a＝1,2均符合题意，故a的值是2或1.
(2)若直线l ：x－2y＋1＝0与直线l ：2x＋my＋1＝0平行，则直线l 与l 之间的距离为
1 2 1 2
________．
答案解析 由直线l：x－2y＋1＝0与直线l：2x＋my＋1＝0平行，
1 2
可得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4，故两直线可化为l ：2x－4y＋2＝0，l ：2x－4y＋1＝
1 2
0，故直线l 与l 之间的距离为d＝＝.
1 2
考点二 圆的方程
核心提炼
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
例2 (1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心在直线y＝－x上，
设圆心坐标为(a，－a)，
因为圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，
所以＝，
解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，
又＝R，
所以R＝，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)(多选)(2022·南京六校联考)在平面直角坐标系中，存在三点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,7)，动
点P满足|PA|＝|PB|，则( )
A．点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8
B．△PAB面积最大时|PA|＝2
C．∠PAB最大时，|PA|＝2
D．P到直线AC距离的最小值为
答案 ABD解析 设P(x，y)，
由|PA|＝|PB|得|PA|2＝2|PB|2，
即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，
化简可得(x－3)2＋y2＝8，
即点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8，A正确；
∵直线AB过圆(x－3)2＋y2＝8的圆心，
∴点P到直线AB的距离的最大值为圆(x－3)2＋y2＝8的半径r，即为2，
∵|AB|＝2，
∴△PAB面积最大为×2×2＝2，
此时P(3，±2)，
∴|PA|＝＝2，B正确；
当∠PAB最大时，则PA为圆(x－3)2＋y2＝8的切线，
∴|PA|＝＝2，C错误；
直线AC的方程为7x－y＋7＝0，则圆心(3,0)到直线AC的距离为＝，
∴点P到直线AC距离的最小值为－2＝，D正确．
规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方
程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
则⊙M的方程为________________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M，
∴
解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
则k ＝＝－，AB的中点坐标为，
AB∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0.
联立解得
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
(2)直线l过定点(1，－2)，过点P(－1,0)作l的垂线，垂足为M，已知点N(2,1)，则|MN|的最
大值为________．
答案 3
解析 设点A(1，－2)，依题意知AM⊥PM，
所以点M的轨迹是以AP为直径的圆，
圆心C的坐标为(0，－1)，
半径为R＝|AP|＝，
又N(2,1)为圆外一点，
所以|MN| ＝|NC|＋R＝＋＝3.
max
考点三 直线、圆的位置关系
核心提炼
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆
相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (1)(2022·南通模拟)在平面直角坐标系中，已知直线ax－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2x－
3＝0交于A，B两点，若钝角△ABC的面积为，则实数a的值是( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 由圆C：x2＋y2－2x－3＝0，可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r＝2，
因为钝角△ABC的面积为，
则S ＝×2×2sin∠ACB＝，
△ABC
解得sin∠ACB＝，
所以∠ACB＝，
可得|AB|＝2，
又由圆的弦长公式，可得2＝2，
解得d＝1，
根据点到直线ax－y＋2＝0的距离公式d＝＝1，解得a＝－.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2
＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
答案
解析 方法一 由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)，
所以k ＝，
A′B
所以直线A′B的方程为y＝x＋a，
即(3－a)x－2y＋2a＝0.
由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，
易知圆心坐标为(－3，－2)，半径为1，
所以≤1，
整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.
方法二 易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由题意知该对称圆与直线AB有公共点．直线AB的方程为y＝x＋a，
即(a－3)x－2y＋2a＝0，
又对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
所以≤1，
整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.
方法三 易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由题意知该对称圆与直线AB有公共点．
设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋3＋2k＝0，
因为对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
所以≤1，解得－≤k≤－，
又k＝，所以－≤≤－，
解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (1)(2022·武汉模拟)圆C ：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C ：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数
1 2
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 依题意得，圆C 的圆心C (2,4)，半径R ＝3，圆C 的圆心C (5,0)，半径R ＝4，|
1 1 1 2 2 2
C C |＝＝5∈(1,7)，故圆C 与C 相交，有2条公切线．
1 2 1 2
(2)(2022·益阳调研)已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：(x－5)2＋y2
＝9的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB的方程为________．
答案 x－y－2＝0
解析 ⊙C：(x－5)2＋y2＝9的圆心C(5,0)，半径r＝3，
∵四边形PACB的面积
S＝|PC|·|AB|＝2S ＝|PA|·|AC|
△PAC
＝3|PA|＝3，
∴要使|PC|·|AB|最小，则需|PC|最小，
当PC与直线l垂直时，|PC|最小，
此时直线PC的方程为y＝－x＋5，
联立解得P(2,3)，
则以PC为直径的圆的方程为
2＋2＝，
则两圆方程相减可得直线AB的方程为x－y－2＝0.
规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于
切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可
先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
跟踪演练3 (1)(多选)(2022·湖北七市(州)联考)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C的方程为
(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项中正确的是( )
A．直线l与圆C一定相交B．当k＝0时，直线l与圆C交于M，N两点，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最
大值为3
C．当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2
D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48
答案 AC
解析 直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1,1)，(1－2)2＋(1＋2)2<16，P在圆内，因此直线l
一定与圆C相交，A正确；
当k＝0时，直线为y＝1，代入圆的方程得(x－2)2＋9＝16，解得x＝2±，因此|MN|＝2，
因为圆心C(2，－2)，半径r＝4，圆心到直线l的距离d＝3，因此点E到直线l的距离的最
大值h＝4＋3＝7，
所以△MNE面积的最大值S＝×7×2＝7，B错误；
当l与圆有两个交点M，N时，当|MN|最小时，
PC⊥l，|PC|＝＝，
因此|MN| ＝2＝2，C正确；
min
在圆的方程(x－2)2＋(y＋2)2＝16中，分别令x＝0和y＝0，求得圆与坐标轴的交点坐标为
A(2－2，0)，B(2＋2，0)，C(0，－2＋2)，
D(0，－2－2)，则|AB|＝4，|CD|＝4，
所以四边形ABCD的面积S′＝×4×4＝24，D错误．
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程
________．
答案 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的
一个即可)
解析 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r ＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心
1
为A(3,4)，半径r＝4，
2
所以|OA|＝5，r＋r＝5，所以|OA|＝r＋r，所以两圆外切，公切线有三种情况：
1 2 1 2
①易知公切线l 的方程为x＝－1.
1
②另一条公切线l 与公切线l 关于过两圆圆心的直线l对称．
2 1
易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得
由对称性可知公切线l 过点.
2
设公切线l 的方程为y＋＝k(x＋1)，
2
则点O(0,0)到l 的距离为1，
2
所以1＝，解得k＝，
所以公切线l 的方程为y＋＝(x＋1)，
2
即7x－24y－25＝0.
③还有一条公切线l 与直线l：y＝x垂直，设公切线l 的方程为y＝－x＋t，
3 3
易知t>0，则点O(0,0)到l 的距离为1，
3
所以1＝，
解得t＝或t＝－(舍去)，
所以公切线l 的方程为y＝－x＋，
3
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
专题强化练
一、单项选择题
1．直线l经过两条直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，
则直线l的方程为( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0
答案 B
解析 由得两直线交点为(－1,0)，直线l的斜率与x－2y＋4＝0相同，为，
则直线l的方程为y－0＝(x＋1)，
即x－2y＋1＝0.
2．(2022·福州质检)已知A(－，0)，B(，0)，C(0,3)，则△ABC外接圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝2
B．(x－1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝2
D．x2＋(y－1)2＝4
答案 D
解析 设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2则有解得
则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.
3．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是
桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其
中DD ，CC ，BB ，AA 是举，OD ，DC ，CB ，BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别
1 1 1 1 1 1 1 1
为＝0.5，＝k ，＝k ，＝k.已知k ，k ，k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为
1 2 3 1 2 3
0.725，则k 等于( )
3
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
答案 D
解析 设OD ＝DC ＝CB ＝BA＝1，
1 1 1 1
则CC ＝k，BB＝k，AA＝k，
1 1 1 2 1 3
依题意，有k－0.2＝k，k－0.1＝k，
3 1 3 2
且＝0.725，
所以＝0.725，
故k＝0.9.
3
4．过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若
PA⊥PB，则点P到直线l：x＋y－5＝0的距离的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．3
答案 B
解析 因为过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P向圆C引两条切线PA，PB，切点分别为A，
B，
由PA⊥PB可知，四边形CAPB是边长为1的正方形，所以|CP|＝，
所以P点的轨迹是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，则圆心 C(1,0)到直线l：x＋y－5＝0的距
离d＝＝＝2，所以点P到直线l：x＋y－5＝0的最短距离为d－r＝2－＝.
5．与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标为(－1,1)，半径为，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝
0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求圆的圆心在此直线上，又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0
的距离为＝3，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0上，所
以＝，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)，故所求圆的方程
为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
6．已知圆O：x2＋y2＝，圆M：(x－a)2＋(y－1)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的
两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝，则实数a的取值范围是( )
A．[－，]
B．[－，]
C．[，]
D．[－，－]∪[，]
答案 D
解析 由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为
A，B，使得∠APB＝，则∠APO＝，
在Rt△PAO中，|PO|＝3，
∴点P在圆x2＋y2＝9上，
由于点P也在圆M上，故两圆有公共点．
又圆M的半径等于1，圆心坐标M(a，1)，
∴3－1≤|OM|≤3＋1，
∴2≤≤4，
∴a∈[－，－]∪[，]．
7．已知圆C ：(x＋6)2＋(y－5)2＝4，圆C ：(x－2)2＋(y－1)2＝1，M，N分别为圆C 和C 上
1 2 1 2
的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的取值范围是( )
A．[6，＋∞) B．[7，＋∞)
C．[10，＋∞) D．[15，＋∞)
答案 B
解析 C (－6,5)，C (2,1)，C 关于x轴的对称点为C (－6，－5)，
1 2 1 3
故|PC |＋|PC |≥|C C |＝＝10，
1 2 2 3
又两圆的半径分别为2,1，
则|PM|＋|PN|≥10－2－1＝7，
故|PM|＋|PN|的取值范围是[7，＋∞)．8．(2022·菏泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位
于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作
△ABC，|AB|＝|AC|，点B(－1,1)，点C(3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：x2＋y2＝4的
两条切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值为( )
A. B．2
C. D．2
答案 B
解析 由题设知BC的中点为(1,3)，
“欧拉线”斜率为k＝－＝－1，
所以“欧拉线”方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋y－4＝0，
又O到x＋y－4＝0的距离为d＝>2，即“欧拉线”与圆O相离，
要使|MN|最小，则在Rt△PMO与Rt△PNO中，∠MOP＝∠NOP最小，即∠MPN最大，
而仅当OP⊥“欧拉线”时，∠MPN最大，
所以d＝|OP|＝2，
则|MN|＝2rsin∠NOP，
且圆O半径r＝2，cos∠NOP＝＝，
所以sin∠NOP＝，即|MN| ＝2.
min
二、多项选择题
9．已知直线l过点(3,4)，点A(－2,2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
答案 BC
解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B
到直线l的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
∵点A(－2,2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，
∴＝，
解得k＝－或k＝2，
当k＝－时，直线l的方程为y－4＝－(x－3)，整理得2x＋3y－18＝0，
当k＝2时，直线l的方程为y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0.
综上，直线l的方程可能为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
10．在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使
过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4答案 AB
解析 由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，
则圆心为C(2,0)，半径r＝2，过点P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为 A，
B，连接AC，BC，所以四边形PACB为正方形，即PC＝r＝2，圆心到直线的距离d＝≤2，
即－2≤k≤2，
所以实数k的取值可以是1,2.
11．(2022·南通模拟)已知P是圆O：x2＋y2＝4上的动点，直线l ：xcos θ＋ysin θ＝4与l ：
1 2
xsin θ－ycos θ＝1交于点Q，则( )
A．l⊥l
1 2
B．直线l 与圆O相切
1
C．直线l 与圆O截得弦长为2
2
D．|PQ|长的最大值为＋2
答案 ACD
解析 圆O半径为2，
cos θ·sin θ＋sin θ·(－cos θ)＝0，
所以l⊥l，A正确；
1 2
圆心O到l 的距离为d＝＝4>2，
1
l 与圆O相离，B错误；
1
圆心O到直线l 的距离为
2
d′＝＝1，
所以弦长为2＝2，C正确；
由
得
即Q(4cos θ＋sin θ，4sin θ－cos θ)，
所以|OQ|＝
＝，所以|PQ|的最大值为＋2，D正确．
12．(2022·龙岩质检)已知点P(x，y)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2
0 0
的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，则( )
A．当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为(2,2)
B．|PA|的取值范围为[，＋∞)
C．当△PAB为等边三角形时，点P的坐标为(1,3)
D．直线AB过定点
答案 BD
解析 对于A选项，当四边形OAPB为正方形时，则|OA|＝|OB|＝|AP|＝|BP|，
∵圆O：x2＋y2＝2⇒r＝，
∴|PO|＝＝2.
又点P(x，y)是直线l：x＋y＝4上的一点，
0 0
设P(x，4－x)，
0 0
∴|PO|＝
＝＝2，
即x－4x＋6＝0，该方程Δ<0，x 无解，
0 0
故不存在点P使得四边形OAPB为正方形，
A错误；
对于B选项，由A知，
|PA|＝＝，
又|PO|2＝x＋(4－x)2＝2x－8x＋16
0 0
＝2(x－2)2＋8≥8，
0
∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥，
即PA的取值范围是[，＋∞)，故B正确；
对于选项C，若△PAB为等边三角形，
易知∠APB＝60°，又OP平分∠APB，
∴∠APO＝∠BPO＝30°.
在Rt△PAO中，由于|OA|＝，
∴sin 30°＝⇒|OP|＝2.
又P点坐标为(x，4－x)，
0 0
∴x＋(4－x)2＝8，
0
即2x－8x＋8＝0⇒(x－2)2＝0，
0 0
∴x＝2，y＝2，故C错误；
0 0
对于选项D，∵P(x，4－x)，
0 0
∴|PO|2＝x＋(4－x)2＝2x－8x＋16，
0 0
记OP的中点为D，则以D为圆心，为半径的圆与圆O的公共弦为AB，
∴圆D方程为2＋2＝(2x－8x＋16)，
0
整理得x2＋y2－xx－(4－x)y＝0，
0 0
联立
化简得xx＋(4－x)y＝2，
0 0
即得直线方程为xx＋(4－x)y－2＝0，
0 0
将x＝y＝代入方程恒成立，
故直线AB过定点，D正确．
三、填空题
13．与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的方程为________．
答案 2x＋y＋1＝0
解析 直线2x－y＋1＝0的斜率为k＝2，与x轴交于点A，
直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的斜率为－k＝－2，并且过点A，
由直线的点斜式方程得y－0＝－2，
即2x＋y＋1＝0，
所以所求直线的方程为2x＋y＋1＝0.
14．过点P(2,2)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则直线l的方程为______________．
答案 3x－4y＋2＝0或x＝2
解析 当过点P(2,2)的直线l斜率不存在时，方程为x＝2，与圆(x－1)2＋y2＝1相切，满足题
意；
当过点P(2,2)的直线l斜率存在时，设方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，
∴圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线l的距离
d＝＝1，解得k＝，
∴l：x－y＋＝0，即3x－4y＋2＝0，
∴直线l的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.
15．(2022·杭州模拟)在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A在直线l：y＝2x上，
B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为 D.若AB⊥CD，则圆C的半径等于
________．
答案
解析 依题意，设点A(a，2a)，a>0，
则圆心C，
|AB|2＝(a－5)2＋(2a)2，圆C的方程为2＋(y－a)2＝＋a2，
由
解得或
于是得D(1,2)，DC＝，BA＝(a－5,2a)，而AB⊥CD，
则DC·BA＝·(a－5)＋2a(a－2)＝0，
即a2－2a－3＝0，而a>0，解得a＝3，
则有点C(4,3)，
|CD|＝＝，
所以圆C的半径等于.
16．若抛物线y＝x2＋ax＋b与坐标轴分别交于三个不同的点A，B，C，则△ABC的外接圆
恒过的定点坐标为________．
答案 (0,1)
解析 设抛物线y＝x2＋ax＋b交y轴于点B(0，b)，交x轴于点A(x ，0)，C(x ，0)，由题意
1 2
可知关于x的方程：x2＋ax＋b＝0，Δ＝a2－4b>0，
由根与系数的关系可得x＋x＝－a，xx＝b，
1 2 1 2
所以线段AC的中点为，
设圆心为P，
由|PA|2＝|PB|2可得2＋t2＝＋(t－b)2，
解得t＝，
∵x＋ax＋b＝0，
1
则t＝＝，则t－b＝，
所以圆P的方程为2＋2＝，
整理可得(x2＋y2－y)＋ax＋b(1－y)＝0，
方程组的解为
因此，△ABC的外接圆恒过的定点坐标为(0,1)．
