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第 3 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、
相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等．
考点一 弦长、面积问题
核心提炼
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝
＝|x－x|
1 2
＝，
或|AB|＝|y－y|
1 2
＝.
例1 (2022·大庆模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点
A到左焦点F 的距离为1.
1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程．
1 △BMN
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易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x＋x＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．
1 2
跟踪演练1 (2022·宝鸡模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，一个焦点与抛物线C ：y2＝4x
1 2
的焦点F重合，且椭圆C 的离心率为.
1
(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)过F点的直线l与C 交于A，B两点，与C 交于P，Q两点，且A，P点都在x轴上方，
1 2
如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直线l的方程．
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考点二 中点弦问题
核心提炼
已知A(x，y)，B(x，y)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x，y)，直线AB的斜率为k.
1 1 2 2 0 0
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
例2 (2022·新高考全国Ⅱ)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y
轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为______________．
规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法
跟踪演练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于
直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用
核心提炼
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线方程与圆锥曲线方程．
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程．
(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．
例3 (1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直
线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过
点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
易错提醒 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近
线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪演练3 (1)(2022·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作
抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，
则△OAB的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一
点A(x ，y)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C ：＋y2＝1，点B为
0 0 1
C 在第一象限中的任意一点，过B作C 的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两
1 1
点，O为坐标原点，则△OCD面积的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
