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专题 12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳
【命题规律】
1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求
椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空
题的形式考查，难度中等．
2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、
逻辑推理与数学运算四大核心素养．
【核心考点目录】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
核心考点二：蒙日圆
核心考点三：阿基米德三角形
核心考点四：仿射变换问题
核心考点五：圆锥曲线第二定义
核心考点六：焦半径问题
核心考点七：圆锥曲线第三定义
核心考点八：定比点差法与点差法
核心考点九：切线问题
核心考点十：焦点三角形问题
核心考点十一：焦点弦问题
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦
点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 ．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 ．
故选：B
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右
顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 ．
所以 ，因为所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 ．
故选：B．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，
过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确．
故选：BCD
5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线
与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确．
故选：ACD．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
．
故答案为：13．
7．（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．【答案】
【解析】 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分
别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ，又 ，∴
∵ ， ，∴ ，又 ，解得m=2
所以直线 ，即
[方法三]：
令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
【方法技巧与总结】
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹
曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 或
进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求 ；在双曲线的定
义中，要求 ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之
比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．
不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不
等关系等．
【核心考点】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 的左右两个焦点分别为 、 ， 是双曲线上任意
一点，过 的直线与 的平分线垂直，垂足为 ，则点 的轨迹曲线 的方程________； 在曲线
上，点 ， ，则 的最小值________．
【答案】
【解析】如图所示：延长 与 的延长线交于点 ，
则 ，
故轨迹方程为 ．
取点 ，则 ， ，故 ，
，当 共线时等号成立．
故答案为： ；例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平
面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 是满足
的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点 为抛物线 上的动点， 在 轴上的射
影为 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】设点 ， ，
∴ ．
抛物线的焦点为点 ，由题意知 ， ，∴ ．
故答案为： ； ．
例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足
，当 且 时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故
我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线 ， 分别为双曲线的左､右焦点，A，
B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足 ， 面积的最大值为4．点M，N在双曲线上，且
关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线 和 的斜率满足 ，则双曲线方程是
______________ ；过 的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点 ､ 分别
为 ､ 的内心，则 的范围是 ____________ ．
【答案】
【解析】设 ，
由题意知 ，可得 ，即 ，
整理得 ，可得圆心为 ，半径 ，
所以 的最大面积为 ，解得 ，即 ，
设 ，则 ，
则 ，可得 ，同理
则 ，则 ，
整理得 ，所以双曲线的方程为 ．
如图所示，设边 上的切点分别为 ，
则 横坐标相等，则 ，
由 ，即 ，即 ，
即 ，即点 的横坐标为 ，则 ，
于是 ，可得 ，同样内心 的横坐标也为 ，则 轴，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
在 中，
，
由双曲线的方程，可得 ，则 ，
可得 ，
又由直线 为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为 ，倾斜角为 ，
可得 ，即 ，
可得 的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
核心考点二：蒙日圆
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两
条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆
的蒙日圆为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为 ，
该点在圆 上，所以， ，解得 ；
当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为 、 ，
设两切线的交点坐标为 ，并设过该点的直线方程为 ，
联立 ，
消去 得 ，
，
化简得 ，由韦达定理得 ，
整理得 ，解得 ．
综上所述， ．
故选：B．
例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两
条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆 ：
的离心率为 ，则椭圆 的蒙日圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆 ： 的离心率为 ，
所以 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ，
所以椭圆的上顶点 ，右顶点 ，
所以经过 两点的切线方程分别为 ， ，
所以两条切线的交点坐标为 ，又过 ， 的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆 同心的圆上，可得圆的半径 ，
所以椭圆 的蒙日圆方程为 ．
故选：B．
例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国
著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线 的交点
在圆上，
所以 ，
故选：A
核心考点三：阿基米德三角形
【典型例题】
例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点 ， 处的切线交于点 ，称 为“阿基米德三角
形”，当线段 经过抛物线的焦点 时， 具有以下特征：
① 点必在抛物线的准线上；② ．
若经过抛物线 的焦点的一条弦为 ，“阿基米德三角形”为 ，且点 的纵坐标为4，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为 ，
由题意可知，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
因为 为“阿基米德三角形”，且线段 经过抛物线 的焦点，
所以点 必在抛物线的准线上，
所以点 ，
直线 的斜率为 ．
又因为 ，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
故选：A．
例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊
西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三
大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他
利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 （即右图
中阴影部分面积等于 面积的 ）．若抛物线方程为 ，且直线 与抛物线围成封闭
图形的面积为6，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即 时，
，即 ，
故选：D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、
数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物
线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图， 为阿基米德三角形．
抛物线 上有两个不同的点 ，以A，B为切点的抛物线的切线 相交
于P．给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦 过焦点，则 为直角三角形且 ；
（2）点P的坐标是 ；
（3） 的边 所在的直线方程为 ；
（4） 的边 上的中线与y轴平行（或重合）．A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
【答案】D
【解析】由题意设 ， ， ，由 ，得 ，则 ，所以 ，
，若弦 过焦点，∴ ，∴ ，∴ ，故（1）正确；
以点 为切点的切线方程为 ，以点 为切点的切线方程为 ，联立消
去 得 ，将 代入 ，得 ，所以 ，故（2）错
误；
设 为抛物线弦 的中点， 的横坐标为 ，因此则直线 平行于 轴，即平行于抛物线的
对称轴，故（4）正确；设直线 的斜率为 ，故直线 的方程为
，化简得 ，故（3）正确，
故选：D．．
核心考点四：仿射变换问题
【典型例题】
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆 交于M，N两点，当 ______，
面积最大，并且最大值为______．记 ，当 面积最大时， _____﹐
_______．Р是椭圆上一点， ，当 面积最大时， ______．
【答案】 4 2 1【解析】作变换 此时椭圆变为圆，方程为 ，
当 时， 最大，并且最大为 ，
此时 ， ．
由于 ， ，
∴ ，
，
因为 ，所以
．
故答案为： ； ；4；2；1．
例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆 的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则
面积最大值为_______．
【答案】
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ， ，
由于 ，因此 时面积最大，
此时 ，
那么 ，
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 左顶点为 ， 为椭圆 上两动点，直线
交 于 ，直线 交 于 ，直线 的斜率分别为 且 ， （
是非零实数），求 ______________．【答案】1
【解析】解法1：可得点 ，设 ，则 ，
由 可得 ，即有 ，
， ，两边同乘以 ，可得 ，
解得 ，将 代入椭圆方程可得 ，由 可得
，可得 ；
故答案为： ．
解法2：作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
，
设 ，则 ，
，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为： ．
核心考点五：圆锥曲线第二定义
【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线 的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于
A，B两点，则 （ ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【解析】依题意可知抛物线 焦点为 ，直线AB的方程为 ，代入抛物线方程得 ，可得 ，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为 ．
故选：B．
例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线 焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左
到右依次为A，B，C．若 ，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由抛物线的方程可得焦点 ，渐近线的方程为： ，
由 ，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作 垂直于准线于 ，
准线交x轴与N，则 ，
故 ，故 ，
而 x轴，故 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线 的方程为 ，
设 ， ， ， ，
联立 ，整理可得： ，
可得 ，
所以 的中点的横坐标为3，
则线段 的中点到准线的距离为 ，故选：B．
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若F是AC的中点，且 ，则线段AB的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】设 在准线上的射影分别为 ，准线与 轴交于 ，则 ，
由于点 是 的中点，且 ，
根据抛物线的定义，可得 ，所以 ，
设 ，则 ，即 ，解得 ，
所以 ，
即 的长为 ．
故选：C．
核心考点六：焦半径问题
【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是双曲线 上的动点， ， 为该双曲线的左右焦
点， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性，假设 在右支上，即 ，
由 到 的距离为 ，而 ，
所以 ，
综上， ，同理 ，则 ，
对于双曲线 ，有 且 ，
所以 ，而 ，即 ．
故选：D
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右支上的点 ， 满足
， 分别是双曲线的左右焦点），则 为双曲线 的半焦距）的取值范围是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由双曲线的第二定义可知 ， ，
右支上的点 ， 满足 ，
由 ，解得 ，
在右支上，可得 ，可得 ，即 ，则 ，
令 ， ，可得而 在 ， 单调递减， ， ， ，
故选：B
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线 上的动点， ， 是左、右焦
点，O是坐标原点，若 的最大值为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】不妨设 为右支上的一点 ，其中 ，可得 ， ，
又由 ，
则 ，所以 时，取得最大值，
所以 ，可得 ，故选B．
核心考点八：圆锥曲线第三定义
【典型例题】
例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆 ： 的左、右顶
点分别为 ， ，点 在 上且直线 的斜率的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ，
设 ，则 ，
又由 ，可得 ，因为 ，即 ，可得 ，
所以直线 斜率的取值范围 ．
故选：A．
例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，点 在 上且直线
的斜率的取值范围是 ， ，那么直线 斜率的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由题意得：
由椭圆 可知其左顶点 ，右顶点 ．
设 ， ，则得 ．
记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则
直线 斜率的取值范围是 ， ，
直线 斜率的取值范围是 ，
故选：A
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别是
，过点 且斜率为k的直线与圆 交于A，B两点（点B在x轴上方），线段 与椭圆交
于点M， 延长线与椭圆交于点N，且 ，则椭圆的离心率为___________，直
线 的斜率为___________．
【答案】
【解析】过原点 作 于点 ，则 为 的中点，
又∵ ， ∴ ， 即 的中点，
∴ ∥ ， ∴ ，
连接 ， 设 ，则 ， ， ，在 △ 中， ，解得 ，
在 △ 中， ，整理得 ，
解得 ，
．
故答案为： ； ．
例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 长轴的两个顶点分别为 、 ，点 为椭
圆上不同于 、 的任一点，若将 的三个内角记作 、 、 ，且满足 ，则
椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 可得 ，即 ，
而在三角形中， ，所以上式可得
而 ，
所以可得 ，即 ，
由题意可得 ， ，设 ， ，
可得 ，由椭圆的对称性设 在第一象限，如图所示：
在 中， ，在 中， ，
所以 ，
所以可得 ，
所以离心率
故选： ．
核心考点八：定比点差法与点差法
【典型例题】
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段
的中点为 （ ），那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． ，或
【答案】A
【解析】设 ， ，
又点 ， 在椭圆 上，
则 ， ，
两式相减可得： ，
又 ，
则 ，
又点 ， 在椭圆内，
则 ，则 ，
所以 ，
故选：A．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，
若点 恰为弦 中点，则直线 斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
则 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，
即直线 斜率是 ．
故选：C
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 内有一定点 ，过点P的两条直线 ，
分别与椭圆 交于A、C和B、D两点，且满足 ， ，若 变化时，直线CD的斜率总
为 ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 因为 ，且 ，所以 ，同
理 ．将 两点坐标代入椭圆方程并化简得 ，
即 ，同理 ，由于 ， ，所以 ，即 ，即 ，两式
相加得 ，即 ，所以 ，所
以 ，故选A．
核心考点九：切线问题
【典型例题】
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线 上一点 的切线方程为 ．
过椭圆 上的点 作椭圆的切线 ，则过 点且与直线 垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过椭圆 上的点 的切线 的方程为 ，即 ，切线 的斜率
为 ．与直线 垂直的直线的斜率为 ，过 点且与直线 垂直的直线方程为 ，即 ．
故选：B
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ､ ，若过 ､ 两点的动抛物线的准线始终与圆
相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解析】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为 ，
所以 ，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．
故选：A
例28．（2023·全国·高三专题练习）设P是双曲线C： 在第一象限内的动点，O为坐
标原点，双曲线C在P点处的切线的斜率为m，直线OP的斜率为n，则当 取得最小
值时，双曲线C的离心率为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则双曲线C在P点处的切线方程为：
，则 ，
，
，
，
令 ，则 ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
得 时， 取最小值，
，即 时， 取最小值，
．
故选：D．
核心考点十：焦点三角形问题
【典型例题】
例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 、 ，点 在椭圆上，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】在椭圆 中， ， ，则 ，所以， ，
由椭圆的定义可得 ，
取 的中点 ，因为 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
所以， ．
故选：B．
例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为 ， ，动点 在椭圆上，若
的面积的最大值为12，则此椭圆上使得 为直角的点 有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【解析】因为 的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 ，所以此椭圆上使得 为直角的
点 有 个，
故选：A．
例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的左、右焦点分别 、 ，P为双曲线右支上的点，
的内切圆与x轴相切于点C，则圆心I到y轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为双曲线 ，所以
设三角形内切圆的切点为 ， ， ，其中 在 轴上，由内切可得，
那么 ，又
所以 ，
又 ，
所以 点的横坐标为4， 点的横坐标也为4，
故圆心 到 轴的距离为4．
故选：D．
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知 在双曲线 上，其左、右焦点分别为 、 ，
三角形 的内切圆切x轴于点M，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 在双曲线 上，可得 ，∴ 、 ，
如图，设 ，内切圆与x轴的切点是点M， 、 与内切圆的切点分别为N、H，
∵由双曲线的定义可得 ，由圆的切线长定理知， ，
故 ，即 ，设内切圆的圆心横坐标为x，
则点M的横坐标为x，故 ，∴ ，
∴ ，
故选：C．核心考点十一：焦点弦问题
【典型例题】
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点F与椭圆 的右焦点重合．
斜率为 直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若 ，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】椭圆 ， ，所以 ， ，所以抛物线 ： ．
设 ，直线 的方程为 ．
联立 消去 ，化简整理得 ，
则 ．
因此直线 的方程是 ．
故选：A．
例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线 的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的
关系是（ ）
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定
【答案】A
【解析】抛物线的焦点 ，准线x＝－1，设 ，把它代入 得 ，
设 ， ，则 ，由抛物线定义可得 ， ，
∴ ， ，
∴m＋n＝mn．
故选：A
例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示， ， 是双曲线 ： 的左、
右焦点，过 的直线与 的左、右两支分别交于A， 两点．若 ，则双曲线的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】 ，不妨令 ， ， ，
， ，
又由双曲线的定义得： ， ，
，
， ．
在 中， ，
又 ， ，
双曲线的离心率 ．故选；C
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
【典型例题】
例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点 为曲线 外的一点， 为 上的两个动点，则 取
最大值时， 叫点 对曲线 的张角．已知点 为抛物线 上的动点，设 对圆
的张角为 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图， ，
要使 最小，则 最大，即需 最小．
设 ，则 ，
∴当 ，即 时， ， ，
此时 或 ， ．
故答案为： ．
例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，点P在C上，直线PF 与y轴交于点Q，点P在线段 上， 的内切圆的圆心为 ，
2
若 为正三角形，则 =___________，C的离心率的取值范围是___________．
【答案】
【解析】设 为上顶点，点 位于第一象限，作 交椭圆于点 ，则 如图所示：
依题意得依题意得点 位于点 与 之间，故
所以 ，则
化为 ，解得
故答案为： ，
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【典型例题】
例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆 的左､右焦点分别为
为 上不与左､右顶点重合的一点， 为 的内心，且 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 是 的中点，连接 ，如图，则 ，由 ，得
三点共线， ．由 既是 的平分线，
又是 边上的中线，得 ．作 轴于点 ，
，且 ， ．
故选：B．例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线 的左右焦点分别为 、
， 是双曲线右支上一点， 为 的内心， 交 轴于 点，若 ，且 ，
则双曲线的离心率 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为 的内心，所以 是三个内角角平分线的交点，
在 中，根据角平分线性质定理有
，
在 中，根据角平分线性质定理有
， ，
故选：B
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的两个焦点 ， 与短轴的两个端
点 ， 都在圆 上， 是 上除长轴端点外的任意一点， 的平分线交 的长轴于点 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆 的两个焦点 ， 与短轴的两个端点 ， 都在圆 上，得 ，则
，所以椭圆 的方程为 ，故 ， ，
由 的平分线交 长轴于点 ，显然， ，又 ，
所以， ，即 ，
由 ， ，得 ，
设 ，则 ，而 ，
即 ，也就是 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：B．
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
【典型例题】
例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，以点 ， 为焦点的动椭圆与
双曲线 的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______．
【答案】
【解析】依题意知， 为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为 ，则 ，
设点 为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，
， ，
则 ，所以有 ．所以椭圆的通径为 ，这里 ，
所以由函数的单调性可知，当 时，椭圆的通径最小，最小值为 ．
故答案为： ．
例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线 的焦点 的直线与 交于 两点，且
， 的准线 与 轴交于 ， 的面积为 ，则 的通径长为___________．
【答案】
【解析】设过抛物线的焦点 的直线方程为 ，
与抛物线方程 联立得： ，
设 ，
由根与系数的关系得： ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 的通径长为8
故答案为：8
例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称
为双曲线的通径，其长等于 （ 、 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线
（ ）的左、右焦点分别为 、 ，若点 是双曲线 上位于第四象限的任意一点，直
线 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， 于点 ，且 的最小值为3，则双曲线 的
通径为__________．
【答案】
【解析】如图所示，连接 ，由双曲线的定义知 ，当
且仅当 三点共线时取得最小值 ，此时，由 到直线 的距离 ，
，由定义知通径等于 ，
故答案为： ．
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【典型例题】
例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射
后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 、 是它的焦点，长轴长
为 ，焦距为 ，静放在点 的小球（小球的半径不计），从点 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次
回到点 时，小球经过的路程是（ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
【答案】D
【解析】当小球沿有向线段AB方向运动时，小球经过的路程是 ；当小球沿有向线段BA方向运动
时，小球经过的路程是 ；当小球沿除有向线段AB和BA方向运动时，小球经过的路程是 ，故选
D．
例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反
射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为 ， ，经过 且与
垂直的光线经双曲线E反射后，与 成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意得： ，则 ，将 代入到 ， ，即 ，
故 ，即 ，同除以 得： ，解得： 或 （舍去）
故选：B
例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平
行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线 ，一条平行于x轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经 上另
一点 反射后，沿直线 射出，则 （ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知， 轴，
又光线 从点 射入，经过 上的点 ，
所以 ，
又抛物线 的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
联立方程 ，整理可得 ，所以 或
所以 ，所以 ．
故选：D．
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【典型例题】
例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： ，过其左焦点 作直线l交椭圆 于P，A两
点，取P点关于x轴的对称点B．若G点为 的外心，则 （ ）A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
【答案】C
【解析】根据题意可得 ，显然直线 的斜率存在，故可设其方程为 ，
联立椭圆方程可得： ，设 ，
故 ， ， ，
故 ，
设 的中点为 ，则其坐标为 ，
显然 轴垂直平分 ，故可设 ，又 直线方程为： ，
令 ，解得 ，故 ，
故 ．
故选：C．
例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的渐近线与抛物线
交于点 ，若抛物线 的焦点恰为 的内心，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出双曲线 与抛物线 的大致图像，
如图：双曲线 的渐近线方程为： ，即 ，
联立 ，解得 或 ，
当 时，则 ，
所以焦点 到 的距离为 ，
焦点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，整理可得 ，
即 ，整理可得 ，
两边同除以 可得 ，
，
又 ，即 ，解得 ．
故选：D
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别是 ， ，
是双曲线右支上一点，且 ， 和 分别是 的内心和重心，若 与 轴平行，则双曲线的
离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示：由题意得： ，
则 ，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得 ，
所以 ，则 ，
因为 与 轴平行，
所以 ，即 ，
则 ，即 ，
解得 ，
故选：B
例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆 ： 的左右焦点为 ， ，过 的直线 交椭圆于
， ， ， 处的切线交于点 ，设 的垂心为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆 的左右焦点为 ， ，
由题意，易知直线 的斜率存在，（若斜率不存在，则 三点共线，不能构成三角形），设直线 的
方程为 ， ， ，
对 两边同时求关于 的导数，得 ，则 ，则椭圆在点 处的切线斜率为 ，
则椭圆在点 处的切线方程为 ，
即 ，即 ；
同理，椭圆在点 处的切线方程为 ，
由 得 ，
则 ，
所以 ，即 ；
又 的垂心为 ，则 ， ，
即 轴，则 的横坐标也为 ，记 的纵坐标为 ，
由 得 ，所以 ，则 ，
因此 ，
因为 过点 ，所以直线 与椭圆必有两个交点，故 且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：D．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆 ： 的左右顶点分别为 ， ，圆 的方程为 ，动点 在曲线 上运动，动点 在圆 上运动，若 的面积为 ，记
的最大值和最小值分别为 和 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆 ： 中， ，设 ，因 的面积为 ，
则 ，解得 或 ，当 时， ，当 时， ，
即点 或 或 或 ，
圆 圆心 ，半径 ，
此时 或 或 或 ，显然 ，
又点 在圆 上运动，则有 ，
此时点 ， ，此时 ，
即 ，所以 ．
故选：B
2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元 年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖
暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意
思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面
之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体
积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线
与直线 围成的图形绕 轴旋转一周得到一个旋转体 ，则旋转体 的体积是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】 与双曲线的交点为 、 ，
则用垂直于 轴的平面截旋转体 的截面为圆面，截面圆的半径为 ，截面面积为 ，
与双曲线的渐近线 的交点为 ，
所以 是用垂直于 轴的平面截两条渐近线绕 轴旋转得到的旋转体的截面面积，
， 绕 轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为 ，
用垂直于 轴的平面去截旋转体 ，所得圆环的面积为 ，
因为底面半径为 ，高为 的圆柱的截面面积为 ，体积为 ，
所以根据祖暅原理得旋转体 的体积为 ，
故选：D．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设 是双曲线 的左、右两个焦点，O为坐标原
点，点P在C上且 ，则 的面积为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】由题可知， ，且 ．
因为 ，
所以 ．
所以点P在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形．故 ，即 ．
又 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
则 的面积为5，
故选：A．
4．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，动点 满
足 ，过点 的直线与动点 的轨迹交于 ， 两点，记点 的轨迹的对称中心为 ，则当
面积取最大值时，直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，由 得 ，
化简得 的轨迹方程为 ，所以点 ，
设点 到 的距离为 ，则 ，
所以 的面积 ，
等号成立时 ，即 面积最大时，点 到直线 的距离为 ，
故直线 不垂直于 轴，设直线 方程为 ，
即 ，则 ，
解得 ，所以直线 方程为 ．
故选：A5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于
特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直
角坐标系中，曲线 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线 围成的图形的面积是 ；
②曲线 上的任意两点间的距离不超过2；
③若 是曲线 上任意一点，则 的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当 且 时，曲线 的方程可化为 ；
当 且 时，曲线 的方程可化为 ；
当 且 时，曲线 的方程可化为 ；
当 且 时，曲线 的方程可化为 ，
曲线 的图像如图所示；
由图可知，曲线 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为 的正方形的面积之和，
从而曲线 所围成的面积 ，故①正确；
过原点 且连接两个半圆圆心 、 的直线交曲线 于 、 两点，如下图所示：
则 ，
所以， ，故命题②错误；
因为 到直线 的距离为 ，所以 ，
当 最小时，易知 在曲线 的第一象限内的图象上，
因为曲线 的第一象限内图象是圆心为 ，半径 的半圆，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，故③正确．
故选：C
6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P为抛物线 上一动点，点Q为圆
上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若 的最小值为
2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
易知圆 的圆心 ，半径 ，
抛物线焦点 ，准线方程 ，
由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离 ，
所以 ，由图可知：当 共线，且 在线段 之间时， 最短，
而 ，故有 ，
即 ，解得： ．
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦
点， 的右支上存在一点 满足 ， 与 的左支的交点 满足 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理得： ①，
在 中，由正弦定理得： ②，
又 ，则 ，
所以 得： ，
又 ，则 ，即 ；
设 （ ），由双曲线的定义得： ， ， ，
由 得： ，解得： ，
所以 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
整理得： ，即双曲线 的离心率 ，故选：C．
8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中， 是直线 上的两点，且 ．若对
于任意点 ，存在 使 成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，满足 ，
则点P在圆 上，
又存在 ， 使 成立，则点P又在以 为直径的圆上，
P是圆 上任意一点， ， 是直线 上的两点，
则应满足圆 上点到直线的最远距离小于等于5，
原点到直线的距离为 ，
则只需满足 ，解得 ．
故选：B．
9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个
椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，
使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切．给出下列三个结论：
①两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①③【答案】C
【解析】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ，
，②正确；
就是平面 与轴线 的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C．
10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆 和圆 相交于
A，B两点，下列说法中错误的是（ ）．
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线 对称
C．线段 的长为
D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则 的最大值为
【答案】C
【解析】由题可知圆 圆心为 ，半径为 ，圆 化简得
，即圆心为 ，半径为 ，作出图形，圆心距为 ， ，故两圆相交，圆O与圆M有两条公切线，A项正确；
两圆半径相等，故关于相交弦 对称，故B项正确；
两圆方程作差可得 ，设 中点为 ，作 的垂直平分线交两圆于 ，由几何关系可知，
圆心 到直线 距离为 ，
则 ，故C项错误；
由图可知， 两点连线恰好垂直于 时，此时距离最大， ，故D项正确．
故选：C
二、多选题
11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的两点，
为坐标原点，则
（ ）
A．若 轴，则 B．若 ，则 的面积为
C． 长度的最小值为 D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由抛物线方程知： ，则 ， ，A正确；
对于B， ， ， ，解得： ，
，B正确；
对于C，当 ， 时， ，
最小值不是 ，C错误；
对于D，设 ， ，由 知： ，即 ，解得： （舍）或 ， ，
，
（当且仅当 时取等号）， ，D正确．
故选：ABD．
12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆 的左，右焦点分别为
，长轴长为4，点 在椭圆 外，点 在椭圆 上，则（ ）
A．椭圆 的离心率的取值范围是
B．当椭圆 的离心率为 时， 的取值范围是
C．存在点 使得
D． 的最小值为2
【答案】ABC
【解析】由题意得 ，又点 在椭圆 外，则 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 ，故A正确；
当 时， ， ，所以 的取值范围是 ，即 ，故B正
确；
设椭圆的上顶点为 ， ， ，由于 ，
所以存在点 使得 ，故C正确；
，
当且仅当 时，等号成立，
又 ，
所以 ，故D不正确．
故选：ABC13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点，抛物线 ： （ ）的焦点 为 ，过
点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，点 为抛物线 上的动点，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的准线方程为
C．
D．当 时，点 到直线 的距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A、B，由抛物线的焦点 ，则 ，即 ，其准线方程为 ，
设点 到准线的距离为 ，则 ，
设点 到准线的距离为 ，易知 ，如下图：
故A错误，B正确；
对于C，由题意可知，过点 的直线 可设为 ，代入抛物线 ，可得
，
设 ，则 ，
，
将 代入上式，可得
，故C正确；
对于D，由C可得直线 的方程为 ，可设直线 的方程为 ，
易知点 到直线 的距离等于两平行线 与 的距离 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，则 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
由当 时， ，当 时， ，则 ， ，可得 ，故D正确．
故选：BCD．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，
则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【答案】BCD
【解析】抛物线 ，即 ，
对于A，由抛物线方程知其焦点在 轴上，焦点为 ，故A错误；
对于B，依题意，直线 斜率存在，设其方程为 ，
由 ，消去 整理得 ， ， ，故B正确；
对于C，若 ，则直线 过焦点，
所以 ，
所以当 时 ，
的最小值为抛物线的通径长 ，故C正确；
对于D， ， ，即 点纵坐标为 ，
到 轴的距离为 ，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆
的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点
A，B．设直线MA，MB的斜率分别为 ______
【答案】
【解析】由椭圆的方程得，右焦点为 ，所以抛物线的焦点为 ，所以 ， ，所以抛物线
方程为 ，准线方程为 ．
设 ，设过点 的直线方程为 ，与抛物线联立，消去 得 ，
令其 ，得 ，则直线MA，MB的斜率为 的两个根，有韦达定理得 ．
故答案为：
16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的离心率 ，直线
交双曲线于点 ， ， 为坐标原点且 ，则双曲线实轴长的最小值是__________．
【答案】
【解析】联立 化简得 ，
设 ， ，则 ， ，
由 ，则 ，
即 ，化简得 ， ，，解得 ，所以实轴长最小值为 ．
故答案为：
17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆 与圆 相交于A，B两
点，则 ________．
【答案】
【解析】两方程作差： ，化简得 ，
， ．
故答案为： ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： （ ）的准线方程为 ，焦点为F，准
线与x轴的交点为A､B为抛物线C上一点，且满足 ，则点F到 的距离为______．
【答案】
【解析】准线方程为 ，故 ，抛物线方程为 ，焦点 ，
不妨设 ， ， ，即 ，
化简得到 ，
根据等面积法，点F到 的距离为
．
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足： ，则 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】解法一：因为 ，所以令 ， ，
则 ， ，
故 ，其中 ，，因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 的取值范围为 ．
解法二：因为圆心 到直线 的距离 ，
所以圆心上的点到直线 的距离的取值范围为 ，
又因为 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线 ： ，圆 ： ，在抛物
线 上任取一点 ，向圆 作两条切线 和 ，切点分别为 ， ，则 的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
由已知， ， ．
如图，设点 ，则 ，
，
在 中，有
，
易知 ，则 ，
则 ，因为， ，所以当 时， 取得最大值 ，
又 ，所以， ．
所以， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
