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解密23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围）
【考点解密】
1．解圆锥曲线综合问题的一般步骤
第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法)．
第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程．
第三步：写出根与系数的关系(或求出交点出标)．
第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题．
第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性．
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
【方法技巧】
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线
的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表
达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
3. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【核心题型】
题型一：弦长问题
1．（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与 的
左、右两支分别交于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·统考二模）已知抛物线E： （p>0），过点 的两条直线l，l 分别交E于AB两
1 2
点和C，D两点．当l 的斜率为 时，
1
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
3．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆
交于M，N两点，M在N的左侧．
(1)若 ，求l的斜率；
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
题型二：面积问题
4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，
若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．5 D．105．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 与直线 垂直，A为垂足且
位于第一象限，直线 与直线 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 （O为原点）的面积为8，
动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 ， 的斜率之和为1， ，求
的面积.
6．（2023·辽宁·校联考一模）已知椭圆 离心率为 ，经过 的左焦点 斜率为1的直线
与 轴正半轴相交于点 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)设M，N是 上异于 的两点，若 ，求 面积的最大值.
题型三：中点弦问题
7．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线 与椭圆 交于A，B两点，
线段 的中点为 ，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1的直线
交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形 的面积
等于8，则E的方程为（ ）A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知如图，椭圆 ： ，斜率为 的直线 与椭圆 交于 ，
两点，与 轴， 轴分别交于 ， 两点，若 ，则椭圆 的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
题型四：范围问题
10．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知点F为抛物线C： 的焦点，过点F
作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与C交于A，B两点，直线 与C交于D，E两点，则 的最小值
为（ ）
A．64 B．54 C．50 D．48
11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知双曲线 的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为
，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一
象限，O为坐标原点．
(1)求双曲线E的方程；(2)设 ， ， 的面积分别是 ， ， ，若不等式 恒成立，求 的
取值范围．
12．（2021·北京·高三校考强基计划）如图，已知抛物线 ，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切
点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线 交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设
与y轴交于点K．
(1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程．
(2)连结 ，记 的面积分别为 ，求 的最小值．
题型五：定点问题
13．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，点 在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点， ，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q
与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
14．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点 在双曲线C： （ ， ）上，过P作x轴的平
行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点， ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，从下面两个条件
中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
① ；② ．
15．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线 的右顶点为 ，左焦点 到其渐近
线 的距离为2，斜率为 的直线 交双曲线 于A，B两点，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于P，Q两点，直线 ， 分别与直线 相交于 ， 两点，试问：
以线段 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
题型六：定值问题16．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知 是椭圆 的右焦点，且 在椭圆 上，
垂直于 轴.
(1)求椭圆 的方程.
(2)过点 的直线 交椭圆 于 （异于点 ）两点， 为直线 上一点.设直线 的斜率分别为 ，
若 ，证明：点 的横坐标为定值.
17．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，动直线
与抛物线 交于 ， 两点，且当 时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)连接 ， 并延长分别交抛物线 于两点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 是
定值，并求出该值.
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点 是焦点为F的抛物线 上一点，A，B是抛
物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为 .(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求 的最大值.
题型七：向量问题
19．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C： 的短轴长为2，离心率为 ．点 ，
直线 ： ．
(1)证明：直线 与椭圆 相交于两点，且每一点与 的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点 的直线与椭圆交于 两点，与直线 交于点 ，求证： ．
20．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ．(1)设M是C上任意一点，M到直线 的距离为d，证明： 为定值．
(2)过点 且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且 ， ，O
为坐标原点，证明： ．
21．（2023·山西大同·校联考模拟预测）已知双曲线 过点 ，且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)已知点 ，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明： ．
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·陕西安康·统考二模）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ， ，且 ，则直线的
方程为（ ）
A． B．
C． D．23．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知 为双曲线 左支上的一点，
双曲线的左、右顶点分别为 、 ，直线 交双曲线的一条渐近线于点 ，直线 、 的斜率为 、 ，若
以 为直径的圆经过点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ，直线 过坐标原点并
与双曲线交于 两点（ 在第一象限），过点 作 的垂线与双曲线交于另一个点 ，直线 交 轴于点 ，
若点 的横坐标为点 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·福建·统考一模）过抛物线 的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段 中点的纵坐标
为2，则 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、多选题26．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）， 的左、右焦点分别为 ， ，
为 上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若 ，且 轴，则 的方程为
B．若 的一条渐近线方程是 ，则 的离心率为
C．若点 在 的右支上， 的离心率为 ，则等腰 的面积为
D．若 ，则 的离心率 的取值范围是
27．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆 的左右顶点， 为椭圆的上
顶点.设 是椭圆 上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，
则（ ）
A．若直线 与 的斜率分别为 ， ，则
B．直线 与 轴垂直
C．
D．
28．（2023·山西·校联考模拟预测）过抛物线C： 的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，
则下列判断正确的是（ ）
A． 可能为锐角三角形
B．过点 且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
C．若 ，则 的面积为D． 最小值为
29．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，点 在抛物线W上，过点F
的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，
N，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
三、填空题
30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于点 ，过点 的直线交该抛物
线于 两点，则直线 与直线 的斜率之和为________．
31．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）设过点 的直线l与椭圆 交于M，N两点，已
知点 ，若直线AM与直线AN的斜率分别为 ， ，则 ______．
32．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，经过 的直线 ， 与 的对称轴不垂
直， 交 于 ， 两点，点 在 的准线上，若 为等腰直角三角形，则 ______．33．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）经研究发现，若点 在椭圆 上，
则过点 的椭圆切线方程为 .现过点 作椭圆 的切线，切点为 ，当
（其中 为坐标原点）的面积为 时， ___________.
四、解答题
34．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的焦距为10，且经过点 ．A，B
为双曲线E的左、右顶点，P为直线 上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
35．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知椭圆 的一个焦点为 ，且椭圆经过点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A、B是x轴上的两个动点，且 ，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：
直线PQ的斜率为定值．
36．（2023·河南·统考模拟预测）已知椭圆 的右焦点 ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．若 ， ，求 的最小值（ 是坐标
原点）．
