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解密23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围）
【考点解密】
1．解圆锥曲线综合问题的一般步骤
第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法)．
第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程．
第三步：写出根与系数的关系(或求出交点出标)．
第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题．
第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性．
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
【方法技巧】
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线
的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表
达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
3. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【核心题型】
题型一：弦长问题
1．（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与 的
左、右两支分别交于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，设 ，利用双曲线的定义得到 ，然后设
，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
由双曲线的定义得 ，
解得 ，
则 ，
设 ， ， ，
联立 ，消去x得 ，
由韦达定理得： ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
，解得 ，
则 ，
故选：D
2．（2023·福建福州·统考二模）已知抛物线E： （p>0），过点 的两条直线l，l 分别交E于AB两
1 2
点和C，D两点．当l 的斜率为 时，
1
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线的点斜式方程写出直线方程，与抛物线联立方程，利用弦长公式，求出 的值，从而求出
抛物线的标准方程；
（2）设直线方程为 或 ，与抛物线联立方程，由韦达定理得出 ， ，求出直线
方程 和直线方程 ，求出交点 的横坐标，然后进行化简，可以证明结论.
【详解】（1）当 的斜率为 时，得 方程为 ，
由 ,消元得 ， ， ， ；
由弦长公式得 ，
即 ，解得 或 （舍去）， 满足 ，
从而 的标准方程为 .
（2）法一：因为l，l 分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
1 2设直线 的方程为 ，设 ，
由 ，消去 得 ，则 .
设直线 的方程为 ，
同理 ，消去 得 可得 ．
直线 方程为 ，即 ，
化简得 ，
同理，直线 方程为 ，
因为 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点 必在垂直于 轴的直线上，所以只需证 的横
坐标为定值即可．
由 消去 ，
因为直线 与 相交，所以 ，
解得 ，
所以点 的横坐标为2，即直线 与 的交点 在定直线 上．法二：设直线 方程为 ，由 消去 得 ，
设 ，则 ．
设直线 的方程为 ，
同理可得 ．
直线 方程为 ，即 ，
化简得 ，
同理，直线 方程为 ，．
因为 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点 必在垂直于 轴的直线上，所以只需证 的横
坐标为定值即可．
由 消去 ，
因为直线 与 相交，所以 ，
解得 ，
所以点 的横坐标为2，即直线 与 的交点 在定直线 上．
【点睛】关键点点睛：本题中的证明问题的关键是：设出直线的横截距或者纵截距方程，联立抛物线，结合韦达
定理，把目标逐步化简，得出待证明的结论.3．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆
交于M，N两点，M在N的左侧．
(1)若 ，求l的斜率；
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【答案】(1) ；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】（1）当直线l不存在斜率时，方程为 ，显然与圆也相切，不符合题意，
设直线l的斜率为 ，方程为 ，与椭圆方程联立，得 ，
因为直线l与C相切，所以有 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以有 ；
（2） ，
由 ，
设 ，则有 ， ，
，
把 ， 代入上式，得
，而 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.
题型二：面积问题
4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，
若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】由抛物线的定义得出点 坐标，再联立直线和抛物线方程，得出 点坐标，由面积公式求解.
【详解】由题意可知， ，不妨设点 在第一象限， ，
因为 ，所以 ，即
联立 ，得 ，解得
.
故选：B5．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 与直线 垂直，A为垂足且
位于第一象限，直线 与直线 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 （O为原点）的面积为8，
动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 ， 的斜率之和为1， ，求
的面积.
【答案】(1) （ ）
(2)
【分析】（1）设动点 ，由题意知 ， ，由题意 ，化简可
得轨迹C的方程；
（2）设直线 的倾斜角为 ，斜率为k，直线 倾斜角为 ，则 斜率为 ， ， ，由过
点T直线与曲线C有两个交点确定 的范围，由 ，解得 ，从而可得直线 、 的
方程，与曲线C的方程联立解得 的坐标，求出 及点Q到直线 的距离 ，即可求出 的面积.
【详解】（1）设动点 ，由题意知M只能在直线 与直线 所夹的范围内活动.
， ，
动点 在 右侧，有 ，同理有 ，
∵四边形 的面积为8，∴ ，即 ，
所以所求轨迹C方程为 （ ）.（2）如图，设直线 的倾斜角为 ，斜率为k，直线 倾斜角为 ，则 斜率为 ，
， ， 在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则 或 ，同时 或 ，解得 或 .
，解得 或 （舍去）.
时，直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 .
直线 的方程为 ，
联立 ，消y得： ，则 或 ，得 ，
，
点Q到直线 的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则 ，.
6．（2023·辽宁·校联考一模）已知椭圆 离心率为 ，经过 的左焦点 斜率为1的直线
与 轴正半轴相交于点 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)设M，N是 上异于 的两点，若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和直线 斜率即可求出 ，则得到 值，即得到椭圆方程；
（2）设直线 ，联立椭圆方程得 ，得到韦达定理式，再利用
得到直线过定点 ，从而得到 ，通过换元和导数即可求出面积最值.
【详解】（1）由已知 ，可得 ， .可得 ，
因为 斜率为1，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
于是 的方程为 ；
（2）由（1）知 ，因为 ，所以 不垂直于 轴.
设直线 ，代入 得 .
当 时，设 ， ，则 ， ①
因为 ，所以 ，而
即 ，根据 ， ，
故 ，可得
.
将①代入上式可得 .
因为 ，整理得 ，则 ，解得 ，
直线 经过定点 ， .
因为 ，
所以 面积 .
设 ，则 ，则 ， ，
设 ， ，当 时， ，则 ，
所以当 ，即 时， 面积取最大值 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线 ，联立椭圆方程得到韦达定理
式，利用 ，即 ，得到 ，再将韦达定理式整体代入化
简得 ，从而得到直线 经过定点 ，再求出面积表达式 ，利用换元法和导数即可求出面积最值.
题型三：中点弦问题
7．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线 与椭圆 交于A，B两点，
线段 的中点为 ，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，利用点差法，整理方程，根据斜率公式和中点坐标公式，可得答案.
【详解】设 ，则 从而 ，
故 ．由题意可得 ，
则 ，从而 ，故椭圆C的离心率 ．
故选：A.
8．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1的直线
交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形 的面积
等于8，则E的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 求出 的坐标，然后得 的方程，令 ，得 的坐标，利用直角梯形的面积求出 ，可
得抛物线方程.
【详解】易知 ，直线AB的方程为 ，四边形OCMN为直角梯形，且 .
设 ， ， ，则 ，
所以 ，所以 ， ，∴ .
所以MC直线方程为 ，∴令 ，∴ ，∴ .
所以四边形OCMN的面积为 ，∴ .
故抛物线E的方程为 .
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知如图，椭圆 ： ，斜率为 的直线 与椭圆 交于 ，
两点，与 轴， 轴分别交于 ， 两点，若 ，则椭圆 的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】设 ， ，得到 ，再根据点差法解决中点弦问题，求出离心率.
【详解】设 ， ，
∵ ，
∴ ， ．则 ，得 ，
由 ，两式相减得： ，
即 ，
其中 ，且 ，解得： ，
故 ，
故 ，解得 ，
故 ，
∴ .
故选：C
题型四：范围问题
10．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知点F为抛物线C： 的焦点，过点F
作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与C交于A，B两点，直线 与C交于D，E两点，则 的最小值为（ ）
A．64 B．54 C．50 D．48
【答案】C
【分析】利用韦达定理表示出弦长 和 ，利用基本不等式可求最小值.
【详解】抛物线 ： 的焦点 ，
因为 ，所以直线 ， 斜率存在，且均不为0.
设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以将 中的 替换为 可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故 的最小值是50.
故选:C.
11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知双曲线 的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为
，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一
象限，O为坐标原点．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设 ， ， 的面积分别是 ， ， ，若不等式 恒成立，求 的
取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出 的方程组，解得结果即可.
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据题目条件，写出 ，根据 的范围即可求出结果.
【详解】（1）设双曲线 的右焦点 ，渐近线方程为 ，
则右焦点 到渐近线的距离
又 ，则 ，
∴双曲线的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，设
联立方程得，
渐近线方程为 则A到两条渐近线的距离 满足，联立方程得
联立方程得
.
恒成立
即 恒成立，
∴所求 的取值范围为
12．（2021·北京·高三校考强基计划）如图，已知抛物线 ，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切
点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线 交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设
与y轴交于点K．(1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程．
(2)连结 ，记 的面积分别为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）切线方程为 ，联立直线方程和抛物线方程后利用判别式为零可求斜率，从而得到切线
方程.
（2）设 ，利用（1）中的方法可求切线方程，从而得到 的坐标，从而得到直线 ，联立直线方程
和抛物线方程后可求 的值，从而可求 ，利用换元法和基本不等式可求表达式的最小值.
【详解】（1）根据题意，有 ，且在 处的切线的斜率存在，
设切线方程为 ，由 可得 ，
由 解得 ，故切线的方程为： ．
（2）设 ，同（1）可得 ，
进而 ，从而 ，因此 ．设 ，由 可得 ，
故 即
因此设 ，显然 ，则 ，
解得 ，
且由点到直线的距离公式 ，
因此 ，
其中 ，等号当 即 时取得，因此所求最小值为8．
题型五：定点问题
13．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，点 在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线的左、右顶点， ，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q
与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）把点 代入双曲线的标准方程 ，结合其离心率 来联立方程求解
即可；（2）根据题意当 时，设出直线 方程为 ，并设交点 ， ，联立直线与曲线的方程，
利用韦达定理可得 ， ，从而由题意 推出直线PQ恒过定点 ，最后检验当 时，也
符合题意即可.
【详解】（1）由题意可知 ，解得 ,
故双曲线C的方程为 ．
（2）证明：①A，B为双曲线 的左、右顶点， ，又
当 时，可得， ， ，
又点P在双曲线 上，∴ ，
∴ ．
设 ， ， ： ，与双曲线C的方程联立得 ，
， ， ，
，解得 ，此时满足 ，
∴直线PQ恒过点 ．
②当 时，P与B重合，Q与A重合，此时直线PQ的方程为 ．
综上，直线PQ恒过点 ．
14．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点 在双曲线C： （ ， ）上，过P作x轴的平
行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点， ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，从下面两个条件
中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
① ；② ．
【答案】(1)
(2)选①直线 过定点 ；选②直线 过定点
【分析】（1）求出双曲线的渐近线，得到 两点的坐标，利用 及点在双曲线上可得方程；
（2）选择两个条件都是先联立方程，得出韦达定理，结合斜率之和或者之积得到 的关系式，从而可得定点.
【详解】（1）由题意可知：点 在双曲线上，所以 ；
过 做 轴的平行线 ，与 相交于 两点，那么 两点可求： ；
所以 ，所以 ；
代入 ，可知 ，所以双曲线的方程为 .
（2）选①：由题意可知，直线 与双曲线C交于不同的两点A, B,设 ，联立方程:
得 ，
所以 ，即 ；
由条件 所以 ，
所以 ，
整理可得 ，
代入韦达定理得 ，
即 ，
解得 或 ；
当 时， ，则直线 过定点 ；
当 时， ，则直线 过定点 ，不合题意；
综上可得，直线 过定点 .
选②：由题意可知，直线 与双曲线C交于不同的两点A, B,
设 ，联立方程:
得 ，
所以 ，即 ；
由条件 ，得即 ，
整理可得
代入韦达定理，整理可得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，则直线 过定点 ；
当 时， ，则直线 过定点 ，不合题意；
综上可得，直线 过定点 .
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用韦达定理把 或 进行转化，然后把求解方程得出
的关系式，从而可得定点，定点问题虽然运算过程繁琐，但是求解思路较为明确.
15．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线 的右顶点为 ，左焦点 到其渐近
线 的距离为2，斜率为 的直线 交双曲线 于A，B两点，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于P，Q两点，直线 ， 分别与直线 相交于 ， 两点，试问：
以线段 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以线段 为直径的圆过定点 和 ．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解 ，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解
，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在 轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线 的左焦点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为 ，而
，∴ ．
∴双曲线 的方程为 ．
依题意直线 的方程为 ．
由 消去y整理得： ，
依题意： ， ，点A，B的横坐标分别为 ，
则 ．
∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
即 ，解得 或 （舍去），且 时， ，
∴双曲线 的方程为 ．
（2）依题意直线 的斜率不等于0，设直线 的方程为 ．
由 消去 整理得： ，
∴ ， ．
设 ， ，则 ， ．直线 的方程为 ，令 得： ，∴ ．
同理可得 ．由对称性可知，若以线段 为直径的圆过定点，则该定点一定在 轴上，
设该定点为 ，则 ， ，
故
．
解得 或 ．
故以线段 为直径的圆过定点 和 ．
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求
解就可，对计算能力要求较高.
题型六：定值问题
16．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知 是椭圆 的右焦点，且 在椭圆 上，
垂直于 轴.
(1)求椭圆 的方程.
(2)过点 的直线 交椭圆 于 （异于点 ）两点， 为直线 上一点.设直线 的斜率分别为 ，若 ，证明：点 的横坐标为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点 的坐标以及 垂直于 轴，可得 ，再将点 的坐标代入椭圆方程在结合椭圆
的关系解出 ，即可得出椭圆 的方程；
（2）设 ，根据已知设出直线 的方程为 ，则设点 的坐标为 ，将直
线 的方程与椭圆 的方程联立，根据韦达定理得出 与 ，根据斜率的两点公式得出
，再根据直线 的方程消去式子中的 与 ，再结合韦达定理结果即可得出
，再结合已知与斜率的两点公式即可解出 ，即证明.
【详解】（1）由 垂直于 轴，可得 .
将点 代入 ，可得 ，
又 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）证明：由（1）知， ，则椭圆 的右焦点坐标为 .
设直线 的方程为 ，点 的坐标为 .
设 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立得： ，恒成立，
由韦达定理知 ， ，
又 ， ，
所以
.
因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，即点 的横坐标为定值.
17．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，动直线
与抛物线 交于 ， 两点，且当 时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)连接 ， 并延长分别交抛物线 于两点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 是
定值，并求出该值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据联立方程，结合韦达定理，利用弦长公式即可求出方程；
（2）通过分别联立直线 ， 与抛物线，用 ， 点的坐标表示出 ， 的坐标，再化简 即可得到定值.【详解】（1）联立 ，得 ，
则 ，设 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，
解得 或 (舍)，
故抛物线 的方程为 .
（2）由题意知 ,由（1）得 ，且 ，
设直线 ,
联立 ，得 ，
则 ，所以 ，所以 ，
同理可得， ，所以 ,
所以 ，
又 ，所以 ,即 是定值，且定值为 .
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点 是焦点为F的抛物线 上一点，A，B是抛
物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为 .(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；
（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；
（3）在前两问基础上用斜率k表达出 ，换元后使用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）解：将点 代入抛物线方程可得： ，
所以抛物线 ；
（2）证明：设 ，
与抛物线方程联立可得：
，
∴ ，因为直线PA，PB的倾斜角互补，
用 代k可得：
因此， ，
即 .
（3）解：由（2）可知， ， ，
因此 ，
到直线AB的距离 ，
所以
∵ ，
∴
，
令 ，
由 ，得
∴
当且仅当 时取等号.所以 的最大值为 .
【点睛】方法点睛：对于直线与抛物线类的题目解题时注意两点：一是紧扣抛物线的定义，二是设抛物线上点的
坐标时，尽量设其中一个坐标，用此坐标的代数式表示另一个坐标，从而减小计算量.
题型七：向量问题
19．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C： 的短轴长为2，离心率为 ．点 ，
直线 ： ．
(1)证明：直线 与椭圆 相交于两点，且每一点与 的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点 的直线与椭圆交于 两点，与直线 交于点 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知求得椭圆方程，联立直线 与椭圆方程，即可证得线 与椭圆 相交于两点，设交
点 ，得直线 的方程为 ，代入椭圆方程，整理成关于 的一元二次方程，即
可证明 的连线都是椭圆的切线；
（2）根据 四点共线，要证 即证 ，设 ，不妨设
，则证明转化为 ，设直线 的方程为 ，联立直线与
直线，直线与椭圆，利用坐标关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意可知 ，因此 ，则椭圆方程为：
因为由 消去 可得 ， ，则该方程有两个不相等的实根，所以直线 与椭圆 相交于两点；
设 为直线 与椭圆 的交点，则 ， ，
直线 的方程为 ，即 ，代入椭圆方程得
，
所以 ，
整理得 ，
即 ，所以 ，
故 是椭圆的切线.
（2）因为 四点共线，由（1）可知 在线段 外， 在线段 内，所以 与 的方向相同， 与
的方向相同，
要证 ，只需要 ，即证 ，
设 ，不妨设 ，
因为 四点共线，所以 等价于 ，即 ，
显然 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由 ，可得 ；
由 可得 ，从而可知 ，
因此
，
所以结论成立.
20．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ．
(1)设M是C上任意一点，M到直线 的距离为d，证明： 为定值．
(2)过点 且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且 ， ，O
为坐标原点，证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆方程及左焦点可得到 ，设 ，代入椭圆方程，即可计算出 为定值；
（2）设 ， ，联立直线与椭圆可得二次方程，利用判别式可得 ，写出韦达定理，然后利用
题意的向量关系可得 ，结合韦达定理即可求证
【详解】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，即 ，所以 ，故 为定值．
（2）依题意可知过点P的直线方程为 ， ， ，
联立 得 ，
由 ，得 ，
， ．
依题意可设 ，由点Q在线段AB上，得 ，
所以 ，
由 ， ，得 ，即 ，
则 ，即 ，
将 ， 代入上式并整理得 ，解得 ，
所以 ．
又 ，所以 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.21．（2023·山西大同·校联考模拟预测）已知双曲线 过点 ，且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)已知点 ，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列方程组求出 ，即可得出C的方程；
（2）根据 四点共线，要证 即证 ，设出直线 ，
， ，联立直线方程与椭圆方程得出 ，将其代入 ，计算结
果为零，即证出．
【详解】（1）由题意可得 ，故 ，所以C的方程为 ．
（2）设 ， ，
当 时，即 ，解得 ，则 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
故当直线 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线 方程为 ，
令 ，则 ，故 ．
则直线 ．
由 得 ，所以 ， ．
．
所以 ，所以
即 ．
【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，
采取设 ，从而得到直线 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明
即可.
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·陕西安康·统考二模）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ， ，且 ，则直线的
方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】联立直线和抛物线的方程，由韦达定理结合向量的运算得出斜率，进而写出方程.
【详解】 ，经分析，直线斜率必存在，设直线方程为 ， ， .
∴ ， .
由韦达定理得 ， ．
∵ ，
∴ 代入韦达定理消元得 ，∴ ，故直线方程为 ，
故选：A．
23．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知 为双曲线 左支上的一点，
双曲线的左、右顶点分别为 、 ，直线 交双曲线的一条渐近线于点 ，直线 、 的斜率为 、 ，若
以 为直径的圆经过点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 ，可得出 ，利用圆的几何性质可得 ，由 ，即可得出 的值，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设点 ，则 ，即有 ，①
由 、 以及以 为直径的圆经过点 可知 ，
所以 ，
又 ， ，所以， ，
由题意知 ，所以 ，②
由①和②得 ，由 得 ．
故选：D.
24．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ，直线 过坐标原点并
与双曲线交于 两点（ 在第一象限），过点 作 的垂线与双曲线交于另一个点 ，直线 交 轴于点 ，
若点 的横坐标为点 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，根据垂直关系及 坐标可得直线 的方程，联立可求得 点坐标，
代入双曲线方程中，结合 在双曲线上，可化简整理得到 ，由离心率 可求得结果.
【详解】由题意知：直线 斜率存在且不为零，则可设直线 ，设 ，则 ， ，
， ，则直线 ，
又 ， 直线 ，
由 得： ，即 ，
在双曲线 上， ，
又 在双曲线 上，即 ， ，
，
即 ，
，
，又 ， ，
双曲线离心率 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题；解题关键是能够通过两直线方程联立的方式，求得
点坐标，从而根据 点在双曲线上构造方程，化简整理得到 之间的关系.
25．（2023·福建·统考一模）过抛物线 的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段 中点的纵坐标
为2，则 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C【分析】设直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，利用韦达定理求出 值，再利用弦
长公式即可.
【详解】由抛物线方程知焦点坐标为 ，
设直线 的方程为 ，联立 得 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，解得 ，
则 ，
故选：C.
二、多选题
26．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）， 的左、右焦点分别为 ， ，
为 上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若 ，且 轴，则 的方程为
B．若 的一条渐近线方程是 ，则 的离心率为
C．若点 在 的右支上， 的离心率为 ，则等腰 的面积为
D．若 ，则 的离心率 的取值范围是
【答案】AD
【分析】由双曲线上一点 ，及 轴，可得 的值，即可求得双曲线方程，从而判断A；根据双曲
线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰 的
面积，从而判断C；由已知结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从
而判断D.【详解】对于A，若 ，且 轴，则 ， ，
所以 ，则 ，所以 ，则 的方程为 ，
故A正确；
对于B，若 的一条渐近线方程是 ，则 ，离心率 ，故B不正确；
对于C，若 的离心率为 ，则 ，所以 ，若点 在 的右支上， 为等腰三角形，
则 ，连接 ，如图，
则 是直角三角形，所以 ，故C不正确；
对于D，若 ，由正弦定理得 ，可知点 在双曲线的左支上，故
，
则 ，又 ，所以 ，整理得 ，解得 ，
所以 的离心率 的取值范围是 ，故D正确.
故选：AD.
27．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆 的左右顶点， 为椭圆的上
顶点.设 是椭圆 上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，则（ ）
A．若直线 与 的斜率分别为 ， ，则
B．直线 与 轴垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】设 ，由斜率公式及点在椭圆上可得 判断A，联立直线的方程求出 、 坐标，由条件可得
即可判断B，求出 中点在 上，即可判断CD.
【详解】如图，
设 ，则 ，故A正确；
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立 得 ，即
，同理可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，则直
线 与 轴垂直，故B正确；
同理 ，所以 ，故 的中点在直
线 上，故C正确；D错误，
故选：ABC.
28．（2023·山西·校联考模拟预测）过抛物线C： 的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，
则下列判断正确的是（ ）
A． 可能为锐角三角形
B．过点 且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
C．若 ，则 的面积为
D． 最小值为
【答案】CD
【分析】对于A：联立直线AB与抛物线 的方程，由韦达定理得 ， ，从而得到 ，由
此判断即可；对于B：判断得点 在抛物线 外，由此得以判断；对于C：利用抛物线的定义可求得
，进而求得 ，从而根据 即可判断；对于D：利用抛物线的定义得到
，从而利用基本不等式即可判断.
【详解】对于A：因为抛物线C： 的焦点为F，所以 ，设 ， ，AB方程为 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
故 ，所以∠AOB为钝角，故A错误；
对于B：因为对于 ，当 时， ，
所以 在抛物线 外，显然过 与抛物线C相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点，
所以过点 且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故B错误；
对于C：当 时，设 ，则 ，
，即 ，不妨设 ，
此时 ，故AB方程为 ，
联立抛物线C： ，解得 ，
所以 ，故C正确；
对于D：由选项A知 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故D正确．
故选：CD．
29．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，点 在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，
N，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出抛物线 的方程，确定四边形 形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断
A，B；设出直线 的方程，与抛物线方程联立，求出弦 长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 ，故 ， ，
抛物线 的焦点 的坐标为 ，
因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 面积的最大值为2，故A正确.
由 ，
得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 周长的最大值为 ，故B不正确.
设直线 的方程为 ，联立 消x得 ，
方程 的判别式 ，设 ， ，则 ，
则 ，
同理得 ，
，C正确.
，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于点 ，过点 的直线交该抛物
线于 两点，则直线 与直线 的斜率之和为________．
【答案】
【分析】过 分别作 轴与准线 的垂线，利用直角三角形的边角关系以及直线斜率与倾斜角的关系，即可得直线 与直线 的斜率之和.
【详解】如图，过 作 的垂线 ，垂足为 ，作准线 的垂线 ，垂足为 ，过 作 的垂线 ，垂
足为 ，作准线 的垂线 ，垂足为 ，连接 ，
则 ，
，
因为 ，所以 ，即 .
故答案为： .
31．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）设过点 的直线l与椭圆 交于M，N两点，已
知点 ，若直线AM与直线AN的斜率分别为 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】先根据题意假设直线l的方程，联立椭圆 的方程，由韦达定理得到 ， ，从而利用斜率公式直
接运算即可得解.
【详解】因为椭圆 ，所以 ，其右顶点为 ，下顶点为 ，
所以过点 的直线l的斜率存在且不为0和 ，设直线l的方程为 ，即 ，
设 ， ，点M，N的坐标均不为 ，联立 整理得 ，
则 ，解得 ,
因为 时， ， ，
所以
.
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
32．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，经过 的直线 ， 与 的对称轴不垂
直， 交 于 ， 两点，点 在 的准线上，若 为等腰直角三角形，则 ______．
【答案】
【分析】联立方程组，利用设而不求法，结合条件，通过讨论求出直线的斜率，由此可求弦长.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
过点 的斜率为0的直线与抛物线 有且只有一个交点，不满足条件，设直线 的方程为 ，
联立 ，消 得， ，
方程 的判别式 ，
设 ， ， ，
设 的中点为 ，
则 ， ，
，
所以 ，
因为 为等腰直角三角形，
当点 为直角顶点时，
过点 作 轴的垂线 ，过点 作 ，垂足为 ，
过点 作 ，垂足为 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，又 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，当 为直角顶点时，同理可得 ，
当 为直角顶点时，则点 在以 为直径的圆上，
因为 的中点坐标为 ，
所以以 为直径的圆的方程为 ，
取 ，可得 ，此时 与 平行，与 矛盾，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】方法点睛：
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x
1
＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
233．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）经研究发现，若点 在椭圆 上，
则过点 的椭圆切线方程为 .现过点 作椭圆 的切线，切点为 ，当
（其中 为坐标原点）的面积为 时， ___________.
【答案】
【分析】点 ，由题意可得切线方程，进而可求点 的坐标，根据 的面积整理可得 ，结合椭
圆方程即可得结果.
【详解】设点 ，则切线 ，
令 ，得 ，
可得 ，则 ，
∵点 在椭圆 上，则 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：以点 为切入点，设点 ，根据题意可得切线 ，这样就可得 ，
再根据题意运算求解即可.
四、解答题(共0分)34．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的焦距为10，且经过点 ．A，B
为双曲线E的左、右顶点，P为直线 上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线CD过定点，定点坐标为 ．
【分析】（1）方法一：将 代入方程，结合 求得 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义
求得 得双曲线方程.
（2）方法一：设CD的方程为 ，与双曲线联立，由A点与C点写出AC方程，求出 ，由B点与D点写
出BD方程，求出 ，利用两个 相等建立关系式，代入韦达定理可求得 为定值.
方法二：设CD的方程为 ，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方程，由P点与B点写出BD方
程，将 代入以上两方程，两式相比消去 建立关系式，代入韦达定理可求得 为定值.
【详解】（1）法一．由 解得 ，∴双曲线E的标准方程为 ．
法二．左右焦点为 ， ，
，
∴双曲线E的标准方程为 ．
（2）直线CD不可能水平，故设CD的方程为 ，联立 消去x得 ，
， ， ，
AC的方程为 ，令 ，得 ，
BD的方程为 ，令 ，得 ，
，
解得 或 ，即 或 （舍去）或 （舍去），
∴CD的方程为 ，∴直线CD过定点，定点坐标为 ．
方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为 ，
联立 ，消去x得 ，
，AC的方程为 ，BD的方程为 ，
分别在AC和BD上， ，
两式相除消去n得 ，
又 ， ．
将 代入上式，
得
．
整理得 ，解得 或 （舍去）．
∴CD的方程为 ，∴直线CD过定点，定点坐标为 ．
【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程 ，通过韦达定理和已知条件若能求出 为定
值可得直线恒过定点，若得到 和 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.
35．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知椭圆 的一个焦点为 ，且椭圆经过点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A、B是x轴上的两个动点，且 ，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：
直线PQ的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）将 代入椭圆的方程，化简求值即可.
（2）联立直线PQ和椭圆的方程，然后将 转化为 ，化简即可得到直线PQ的斜率为定值.
【详解】（1））由已知 ，得 ①，
设椭圆方程 ，代入点 得 ②，联立①②，
解得 ， ，所以椭圆方程为 ．
（2）由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ．
设点 ， ，
联立 得， ，满足 时，
有 ， ，
由 可得 ，
即 ，即 ，
化简得 ，
代入韦达定理，可得 ，
又点 不在直线PQ上，因此 ，
所以 ，即 ，故直线PQ的斜率为定值 ．
36．（2023·河南·统考模拟预测）已知椭圆 的右焦点 ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．若 ， ，求 的最小值（ 是坐标
原点）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义求出 ，再由焦点得 ，即可得解；
（2）设出点的坐标，利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出 ，即 是直线
上动点，再由点到直线距离求最小值即可.
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为 ， ，
由椭圆定义知
所以
所以椭圆的标准方程为
（2）由题意知 ，设
由 ， ，得 且
又 ， 都在椭圆上，所以
两式作差，得
把 代入 式，得
又由 ，得所以
所以 到直线 的距离
经检验，此时垂足 在椭圆内部.
所以 的最小值为 .
