文档内容
第2讲 圆锥曲线的方程与性质（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程...........................................................................................3
【考点二】椭圆、双曲线的几何性质..............................................................................................5
【考点三】抛物线的几何性质及应用..............................................................................................6
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离
心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024·全国·高考真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，
为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
3．（2023·全国·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
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学科网（北京）股份有限公司交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，
B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B
两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，
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学科网（北京）股份有限公司点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
11．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交
于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
12．（2022·全国·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
考点突破
【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程
核心梳理：
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF|＋|PF|＝2a(2a>|FF|)．
1 2 1 2
(2)双曲线：||PF|－|PF||＝2a(0<2a<|FF|)．
1 2 1 2
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
一、单选题
1．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，下顶点为 ，直线 交 于另一点
， 的内切圆与 相切于点 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西吕梁·二模）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆
上，则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
二、多选题
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学科网（北京）股份有限公司3．（2020·山东·高考真题）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
4．（2024·重庆·三模）已知双曲线 的左，右焦点分别为 为双曲线 上点，且
的内切圆圆心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线PF 的斜率为
1
C． 的周长为 D． 的外接圆半径为
三、填空题
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 中点 到 轴距
离的最小值是 ．
6．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线 为抛物线内一点，不经过 点的直线
与抛物线相交于 两点，连接 分别交抛物线于 两点，若对任意直线 ，总存在 ，
使得 成立，则该抛物线方程为 .
规律方法：
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
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学科网（北京）股份有限公司双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为 a2＝b2＋
c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．
【考点二】椭圆、双曲线的几何性质
核心梳理：
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取
值范围．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
一、单选题
1．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在直线
上运动，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．15
2．（2023·安徽蚌埠·三模）若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A．6 B． 或 C． D． 或
二、多选题
3．（2024·浙江·二模）已知椭圆 左右两个焦点分别为 和 ，动直线 经过椭圆左
焦点 与椭圆交于 两点，且 的最大值为8，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．离心率 D．若 ，则
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点， ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．C的离心率为
B．C的焦距为2
C．平面上存在两个定点A，B，使得
D． 的最小值为
三、填空题
5．（2024·湖北·二模）已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 是双曲线 上在第一象限内
的点，直线 的倾斜角分别为 ，则 ；当 取最小值时，
的面积为 ．
6．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中， ，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E
的两条渐近线的夹角为 ； 的取值范围为 ．
规律方法：
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建
立与|PF|·|PF|的联系．
1 2
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式
分解得到．
【考点三】抛物线的几何性质及应用
核心梳理：
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(2)|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
一、单选题
1．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 为 轴正半轴上一
点，线段 的垂直平分线 交 于 两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．64 C． D．80
2．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线 ： 的焦点为 ， 在 上， ，
则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标是
B．抛物线 关于 轴对称
C．抛物线 的准线方程为
D．抛物线 的焦点到准线的距离为4
4．（2024·河北·二模）已知 为坐标原点，焦点为 的抛物线 过点 ，过 且与
垂直的直线 与抛物线 的另一交点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．直线 与抛物线 的准线相交于点
三、填空题
5．（2024·河南郑州·二模）抛物线 的准线方程为 ，则实数a的值为 .
6．（2024·河南·模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，直线 与 的一个交点为 ，
直线 与 的另一个交点为 ，则 .
规律方法：
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来
沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
专题精练
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2023·江苏南通·三模）已知 为椭圆 ： 的右焦点， 为 上一点， 为圆 ：
上一点，则 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知椭圆 的焦点在 轴上，若焦距为4，则该椭圆的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁·三模）设点 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使
得 成立的点 恰好有4个，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线 的左焦点 作倾斜角为 的直线 交 于 两点．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线 的右支上一点 到右焦点的距离为9，则 到
左焦点的距离为（ ）
A．3 B．12 C．15 D．3或15
6．（2024·北京海淀·一模）若双曲线 上的一点到焦点 的距离比到焦点
的距离大 ，则该双曲线的方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2024·江苏南通·二模）设抛物线 的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在
第一象限的交点为M，N，且 ，则直线MN的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东·模拟预测）抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于A，B两点．则
的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于
两点，则（ ）
A． 的周长为4
B．|PF |的取值范围是
1
C．|PQ|的最小值是3
D．若点 在椭圆上，且线段 中点为 ，则直线 的斜率为
10．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 的图象是双曲线，设其焦点
为 ，若 为其图象上任意一点，则（ ）
A． 是它的一条对称轴 B．它的离心率为
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学科网（北京）股份有限公司C．点 是它的一个焦点 D．
11．（2024·全国·二模）已知圆O： 经过椭圆C： （ ）的两个焦点 ， ，
且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且 的面积为1，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2
C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为
三、填空题
12．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线 的焦点到它的准线距离为1，则实数m=
13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知 是双曲线 上任意一点，若 到 的两条渐近
线的距离之积为 ，则 上的点到焦点距离的最小值为 ．
14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P
是C上一点，且 ，H是线段 上靠近 的三等分点，且 ，则C的离心率为
.
四、解答题
15．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆 经过点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 交椭圆 于 ， 两点， 是坐标原点，求 的面积 .
16．（2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆 和部分双曲线 ，
组成的曲线 称为“盆开线”．曲线 与 轴有 两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之
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学科网（北京）股份有限公司积为 ．
(1)设过点(1,0)的直线 与 相切于点 ，求点 的坐标及直线 的方程；
(2)过 的直线 与 相交于点 三点，求证： ．
17．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知 是抛物线 上任意一点，且 到 的焦点
的最短距离为 .直线 与 交于 两点，与抛物线 交于 两
点，其中点 在第一象限，点 在第四象限.
(1)求抛物线 的方程.
(2)证明：
(3)设 的面积分别为 ，其中 为坐标原点，若 ，求 .
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