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15.1.1 从分数到分式
夯实基础篇
一、单选题：
1．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】∵1-2x≠0，解得：x≠ 。
故答案为：B.
【分析】使分式有意义的条件是分母不等于0，根据此条件列出不等式，再解得x的取值即可。
2．使分式 无意义的x的值是（ ）
A．x=﹣ B．x= C．x≠﹣ D．x≠
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；解一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意2x﹣1=0，
解得x= ．
故答案为：B．
【分析】分式无意义的条件是分母为零，从而得出方程求解即可。
3．下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、当 时，分式 无意义，故此选项不符合题意；
B、当 时，分式 无意义，故此选项不符合题意；
C、 为任何实数时，分式 一定有意义，故此选项符合题意；
D、当 时，分式 无意义，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
4．使分式 等于0的x的值是（ ）
A．1 B． C． D．不存在
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝1.
故答案为：A.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
5．若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意数 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的值；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：∵分式 的值为负数，而分母x2+4>0，∴2x-5<0，
解得 .
故答案为：B.
【分析】根据分式的值为负数可得分子、分母异号，由分母为正数可得分子为负数，从而列出不等式
求解可得x的范围.
6．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x=2时， 的值为零
B．当x≠3时， 有意义
C．无论x为何值， 不可能得整数值
D．无论x为何值， 的值总为正数
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】A、当x=2时，该分式的分母x-2=0，该分式无意义，故A选项不符合题意.
B、当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义. 显然，x=0满足x≠3. 由此可见，当x≠3时，该分
式不一定有意义. 故B选项不符合题意.
C、当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项不符合题意.
D、无论x为何值，该分式的分母x2+1>0；该分式的分子3>0. 由此可知，无论x为何值，该分式的值
总为正数. 故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据分式的值为0及分式的值为整数或正数应满足的条件逐项求解即可。
7．对于分式 ，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣2时分式有意义 B．当x＝±2时分式的值为零C．当x＝0时分式无意义 D．当x＝2时分式的值为零
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵要想分式 有意义，
∴ 即 ，故A不符合题意；
∵要想分式 无意义，
∴ 即 ，故C不符合题意；
∵要想分式 的值为0，
∴ 即 ，故B不符合题意，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 分式 ， 对每个选项一一判断即可。
二、填空题：
8．在式子 中，分式有 个．
【答案】3
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】分式有 ， ， 共3个.
【分析】根据分式的定义，分母中含有字母，去判断，即可得出结论。注意： 是数。
9．已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=1时无意义”，请写出一个这样的分式： ．【答案】
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件
【解析】【解答】所以这样的分式可以是 （答案不唯一），
故答案为： .
【分析】由分式满足条件“只含有字母x，且当x=1时无意义”，可知分式的分母中含有因式x-1，只
要写出满足这个条件得就行了，答案不唯一。
10．如果分式 有意义，那么x的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件；0指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题意可得： ， ，
且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】利用分式有意义的条件求出 ， ，再求解即可。
11．当x 时，分式 有意义；当x 时，分式 的值为正；若分式
的值为0，则x= ；
【答案】≠ ；＜ ；3
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意，∴2x﹣1≠0，
即x≠ ；
∵分式 的值为正，
∴5﹣2x＞0，
∴x＜ ；
∵分式 的值为0，
∴|x|﹣3=0，x+3≠0，
∴x=3
故答案为：≠ ；＜ ；3
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，可求出x的取值范围；分式的分母为正，所以要使分
式为正，分母应该大于0，求出x的数值即可；分式的值为0，所以可得，分子|x|-3=0，且分母
x+3≠0，求出x的数值即可。
12．当x 时，分式 的值为1；当x 时，分式 的值为-1．
【答案】- ；
【知识点】分式的值
【解析】【解答】当4x+3=x-5时，分式的值为1，即x=-
当4x+3=-(x-5)时，分式的值为-1，即x=【分析】对于分式 的值为1或-1要分两种情况讨论，若分式 的值为1，则分式 中的
A=B，若分式的值为-1.则分式 中的A=-B，也即A、B互为相反数.
13．若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】x＞3
【知识点】分式的值；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x2+1＞0且分式 的值为正数，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3．
故答案为：x＞3．
【分析】由偶次方的性质可知x2≥0，故此x2+1＞0，由分式的值为正数可知x﹣3＞0，最后解不等式即
可．
14．若分式 的值为0，则 ＝ .
【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意可得
解得 ＝-3
故答案为：-3.
【分析】根据分式值为0的条件可得|x|-3=0，x-3≠0，x+2≠0，求解即可.
三、解答题：
15．下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧ ；⑨ ；⑩ ；⑪ ；⑫ 。
【答案】解：①②④⑧⑨⑫是整式，
③⑤⑥⑦⑩⑪是分式，
【知识点】分式的定义；整式及其分类
【解析】【分析】根据分母中含有字母的有理式是分式，分母中不含字母的有理式是整式，逐个判断
即可。
16．当x取何整数时，分式 的值是整数？
【答案】解：∵分式 的值是整数
∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1
解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
【知识点】分式的值
【解析】【分析】要使已知分式的值为整数，可得出6是（x-1）的倍数，因此可得出x-1＝
±6、±3、±2、±1，分别解方程求出x的值。
17．如果分式 的值为0，求x的值是多少？
【答案】解：依题意得： 且 ，
解得 ，
即分式 的值为0时，x的值是1.
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【分析】当分式的分子为0且分母不为0的时候，分式的值为0，从而列出混合组，求解即可。18．已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?
【答案】解：x=0时，y的值是零；
x＝ 时，分式无意义；
x＜ 且x≠0时，y的值是正数．
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相
除得正的法则，逐个解答即可。
能力提升篇
一、单选题
1．分式 中，当x=-a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零；
B．分式无意义
C．若a≠- 时，分式的值为零；
D．若a≠ 时，分式的值为零
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】解答：由题意可得，当x=-a时,分子为0,但是要求分母不为0所以还得加上一个限定的条件,
即a≠ -
分析：本题中除了要注意分子为0外,还一定注意分母不为02．已知 ，且 ，则 的值是（ ）
A．-12 B．0 C．8 D．8或12
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】 解： ，且 ，
且 ，
则 .
故答案为：C.
【分析】根据已知等式可得 且 ，再代入求值即可得.
3．若分式 的值为正整数，则整数a的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：分式 的值为正整数，则a+1=1或2或3或6．
则a=0或1或2或5．
故选B．
【分析】分式 的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求得a的值．
二、填空题：
4．若分式 无意义，且 ，那么 ＝ ．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 无意义，
∴a＋2＝0，
解得a＝－2；
∵ ，
∴b－4＝0，
解得b＝4，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据分式无意义和分式值为零的条件即可解答。
5．已知 时，分式 无意义， 时，此分式的值为0，a+b= ．
【答案】7
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：因为x=﹣3时，分式 无意义，
所以﹣3＋a=0，所以a=3，
又因为x=﹣4时，此分式的值为0，
所以﹣4＋b=0，所以b=4，
所以a＋b=3+4=7．
故答案为：7
【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为0 求解即可。6．若 ，且 ，则分式 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵2a−b＝0，∴b＝2a；
∴ ．
故答案为−3．
【分析】根据2a−b＝0，得到b＝2a，再将b=2a代入分式求解即可。
三、解答题：
7．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得① ，或② ，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3.
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式 的值为负数，求x的取值范围.
【答案】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解 ，
根据“两数相乘，同号得正”
得① ，或② ，
解不等式组①得，x＞3，
解不等式组②得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；（2）由题得不等式 ，
根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得① ，或② ，
解不等式组①得， ，
不等式组②无解，
∴原不等式的解集为 .
【知识点】分式的值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；
（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可.
