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微重点 4 函数的公切线问题
导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处
理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑
推理、数学运算素养．
考点一 求两函数的公切线
例1 (2022·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公共切线，则l的方程为
__________．
规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y＝
f(x)在点P(x ，f(x))处的切线方程是y－f(x)＝f′(x)·(x－x)；求过某点的切线方程，需先设
0 0 0 0 0
出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
跟踪演练1 已知函数f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线
相同，则m＝________，该切线方程为________．
考点二 与公切线有关的求值问题
例2 (2022·河南省百校大联考)已知f(x)＝＋ln x与g(x)＝2x－x3＋c的图象有一条公切线，
则c＝________.
规律方法 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上
构造方程．
跟踪演练2 (2022·湖北省新高考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线
y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是( )
A．2 B．1 C．0 D．－2
考点三 判断公切线条数
例3 (2022·菏泽质检)若直线l与曲线y＝ex和y＝ln x都相切，则满足条件的直线l有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
规律方法 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数
通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．
跟踪演练3 若a>，则函数y＝ax2与y＝ln x的公切线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
考点四 求参数的取值范围
例4 若曲线C ：y＝x2与曲线C ：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围为________．
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规律方法 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率 k的函数，转化成函
数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．跟踪演练4 若函数f(x)＝4ln x＋1与函数g(x)＝ax2－2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a
的取值范围为( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C. D.
