文档内容
微专题：抛物线的对称性
【考点梳理】
1、考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性
2、圆与圆锥曲线相交问题，合理利用好它们的对称性是解决问题的关键.
【题型归纳】
题型一：抛物线的对称性的应用
1．已知抛物线 与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知抛物线C： ，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037 B．4044 C．2019 D．2022
3．已知点P为抛物线 上一动点， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：根据抛物线的对称性求相关的参数
4．已知圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知圆 与抛物线 交于 ， 两点，与抛物线的准线交于 ， 两点，若四边形
是矩形，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线 与椭圆 交于A，B两点，若 的面积为 (其中O为坐标原点)，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
7．已知曲线 的抛物线 及抛物线 组成， ， ， 是曲线 上关于 轴对称的两
点（ 四点不共线，且点 在第一象限），则四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知拋物线 的焦点 为椭圆 的右焦点，且 与 的公共弦经过 ，
则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆 的焦距为 ，左焦点为 ，右顶点为 ，若抛物线 与椭圆交
于 ， 两点，且四边形 是菱形，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．垂直于 轴的直线交抛物线 于 ， 两点，且 ，求直线 的方程（ ）
A． B． C． D．
11． 是抛物线 上的两点， 为坐标原点.若 ，且 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知正三角形 的顶点 在抛物线 上，另一个顶点 ，则这样的正三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．已知双曲线 （ ）的焦距为4，其与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，
若 为正三角形，则 的离心率为（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
14．已知圆 ： ( )，若抛物线 ： 与圆 的交点为 ， ，且 ，
则 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
15．设 为抛物线 ： 的焦点， 为抛物线 上的一点， 为原点，使 为等腰三角形的点 的
个数为
A． B． C． D．
16．已知抛物线 ，以 为圆心，半径为5的圆与抛物线 交于 两点，若 ，则
（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
17．已知 为抛物线 的焦点，过 作垂直 轴的直线交抛物线于 、 两点，以 为直径的
圆交 轴于 、 两点，且 ，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
18．已知抛物线 与圆 交于A，B两点，且 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
19． 是抛物线 的焦点，以 为端点的射线与抛物线相交于 ，与抛物线的准线相交于 ，若 ，
则
A． B． C． D．
20．已知点F为抛物线 的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说
法错误的是（ ）
A．使得 为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得 为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得 的点M有且仅有4个
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．使得 的点M有且仅有4个
【高分突破】
一、单选题
21．正三角形 的两个顶点 在抛物线 上，另一个顶点 是此抛物线焦点，则满足条件的三角
形 的个数为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，从点 发出的光线，沿平行于抛物线 的对称轴方向射向此抛物线上的点 ，经抛物线反
射后，穿过焦点射向抛物线上的点 ，再经抛物线反射后射向直线 上的点 ，经直线反射后又回到
点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
23．已知双曲线 与抛物线 （其中 ）交于A，B两点，若 ，则双曲
线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
24．已知 是抛物线 ： 上一点， 是抛物线 的焦点，若 ， 是抛物线 的准线与
轴的交点，则
A． B．
C． D．
25．已知椭圆C： 与抛物线E： 有公共焦点F，椭圆C与抛物线E交于A，B两点，且
A，B，F三点共线，则椭圆C的离心率为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
26．抛物线C： 的焦点为F，准线l交x轴于点 ，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两
点，则（ ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若 为等边三角形，可得直线AB的斜率为
27．若点 在抛物线 上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
28．设抛物线 的准线与对称轴交于点 ，过点 作抛物线的两条切线﹐切点分别为 和 ，则（ ）
A．点 坐标为 B．直线 的方程为
C． D．
29．在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2
D．若 为正三角形，则该三角形的面积为
30．已知 为坐标原点，过点 作两条直线分别与抛物线 ： 相切于点 、 ， 的中点为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．直线 过定点 ；
B． 的斜率不存在；
C． 轴上存在一点 ，使得直线 与直线 关于 轴对称；
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D． 、 两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
31．（多选）平面内到定点 和到定直线 的距离相等的动点的轨迹为曲线 ．则（ ）
A．曲线 的方程为
B．曲线 关于 轴对称
C．当点 在曲线 上时，
D．当点 在曲线 上时，点 到直线 的距离
三、填空题
32．一个顶点在原点，另外两点在抛物线 上的正三角形的面积为________．
33．已知圆 与抛物线 交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O
是 的中点，则p的值等于_________________.
34．过点 作直线 交 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，延长 至点 ，使得
，则 点的轨迹方程为_______________．
35．已知抛物线 的焦点为 ，过 作一条直线与抛物线 及其准线都相交，交点从左到右依次为
，若 ，则线段 的中点到 轴的距离为________.
36．设 ， 是抛物线 ： 上任意两点，点 的坐标为 ，若 的最小值为0，则实数
的值为______.
37．已知抛物线的方程为 ， 为坐标原点， ， 为抛物线上的点，若 为等边三角形，
且面积为 ，则 的值为__________．
38．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 （ ），正三角形的边长为 ，则
__________．
39．曲线 是平面内到定点 和定直线 ： 的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①曲线 关于 轴对称；
②若点 在曲线 上，则 满足 ；
③若点 在曲线 上，则 .
其中，正确结论的序号是________.
四、解答题
40．如图， 点在 轴正半轴上，抛物线 上有三个不同的点 ， ， ，使得四边形 是菱形， 点在
第四象限.
（1）若 点与坐标原点重合，求菱形 的面积；
（2）求 的最小值.
41．已知圆O 与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y）.且关于直线x+y＝1对称.
1 0
（1）求圆O及圆O 的方程：
1
（2）在第一象限内.圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线y2＝4x交于点B，与x轴交于点D，且以点D
为圆心的圆过点O，A，B？若存在.求出点A的坐标；若不存在.说明理由.
42．已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的
周长．
43．已知椭圆 ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆 上，
抛物线 焦点到准线的距离为 .
（1）求椭圆 、抛物线 的方程；
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）过椭圆 右顶点Q的直线 与抛物线 交于点A、B，射线 、 分别交椭圆 于点 、 .
（i）证明： 为定值；
（ii）求 的面积的最小值.
44．已知圆M：x2+(y- )2=4与抛物线E：x2=my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB//CD．
（1）若 ，求实数m的值；
（2）设AC与BD相交于点G，△GAD与 GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．
△
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立 得 ，解得 ，
则 ，将 代入 可得 ，则 .
故选：C.
2．A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解．
【详解】∵抛物线C： ，即 ，
由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦，
则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为 ，
由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有 条，
故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ．
故选：A．
3．B
【分析】先讨论 和 两种情况，解出 ；进而讨论 且 时，利用直线的到角公式结合基本不等
式即可求得.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设 ，
若 ，则 ， ， ，所以 ；
若 ，则 ， ， ，所以 ；
若 且 ，此时 且 ，
，所以 ，
因为 ,所以 ，则 ，当
且仅当 时取“=”，
而 ，所以 .
综上： 的最大值为 .
故选：B.
第 9 页【点睛】本题核心的地方在“ ”这一步，首先分式“
”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“ ”这一步的
拆分，三个式子一定要相同（ ），否则不能取得“=”.
4．B
【分析】由圆与抛物线的对称性及 ，可得 点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出 即可得解.
【详解】因为圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，
由对称性，不妨设 ，
代入抛物线方程，则 ，解得 ，
所以 ，
故
故选：B
5．D
【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦 为抛物线 的通径，进而有 ，解方程
即可得答案.
【详解】解：因为四边形 是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦 为抛物线 的通径，
因为圆的半径为 ，抛物线的通径为 ，
所以有： ，解得
故选：D
6．B
【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设 ，结合已知有 ， ，即
可求 ，进而求p值.
【详解】由抛物线与椭圆的对称性知： 关于y轴对称，可设 ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，而 ，
∴由上整理得： ，解得 ，则 .
故选：B.
第 10 页【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值.
7．B
【分析】根据 ， ， 是曲线 上关于 轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形
周长模型 ，再由抛物线的定义得到 ，然后由直线段最短求解.
【详解】设抛物线 的焦点为 ，
则四边形 的周长: ，
当 共线时取等号，
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题.
8．A
【分析】根据给定条件求出椭圆两焦点坐标，再求出 与 的公共点的坐标，借助椭圆定义计算椭圆长轴长即可
作答.
【详解】依题意，椭圆 的右焦点 ，则其左焦点 ，
设过 的 与 的公共弦在第一象限的端点为点P，由抛物线与椭圆对称性知， 轴，如图，
直线PF方程为： ，由 得点 ，于是得 ，
在 中， ， ，则 ，因此，椭圆 的长轴长 ，
所以椭圆的离心率 .
故选：A
9．D
【分析】由椭圆方程求出作 和 的坐标，由对称性设出 的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线
方程求出 的纵坐标，将点 的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率 的方程，即可得到该椭圆的离
心率.
【详解】解：由题意得，椭圆 ， 为半焦距），
第 11 页的左焦点为 ，右顶点为 ，则 ，
抛物线 与椭圆交于 两点，
两点关于 轴对称，可设 ，
四边形 是菱形，
，则 ，
将 代入抛物线方程得， ，
，则不妨设 ，
再代入椭圆方程 ，化简得 ，
由 ，即有 ，
解得 或 （舍去），
故选：D
10．A
【分析】先根据弦长结合抛物线的对称性，得出点 的坐标，代入抛物线方程即可得到答案.
【详解】由垂直于 轴的直线交抛物线 于 ， 两点，且
根据抛物线 关于 轴对称，则 ，
将点 坐标代入抛物线方程可得： ，解得
故选：A
11．C
【解析】由题可设 ， ，利用 的面积算出 ，再结合图形求出 .
【详解】如图，
∵ ，知 两点关于 轴对称，
设 ，
第 12 页∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
故选：C
12．D
【分析】通过两个顶点的位置关系进行分类，当两个顶点在 轴两侧时，等边三角形关于 轴对称，通过计算得到
两种情况；当两个顶点在 轴同侧时，通过计算抛物线上的点 与 的最小值可知顶点 在 的两边，
再计算 ，发现也是成立的，即可得到答案
【详解】由题意得，
①当等边三角形关于 轴对称时，两个边的斜率 ，
其方程为 ，
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，
这样的正三角形有2个，如图 和
②假设两个顶点同时在抛物线上方时，
假设抛物线上的点为
所以
所以当 时， ，此时
所以顶点 在 的两边，不妨设 在 的左侧，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
第 13 页所以能找到两个顶点同时在抛物线上方，同理可证能找到两个顶点同时在抛物线下方，
综上所述，共有4个正三角形，
故选：D．
13．C
【解析】设 的边长为 ，得到 ，再利用 在抛物线上解得 ，然后把 代入双曲线方
程，结合其焦距为4求解.
【详解】设 的边长为 ，由抛物线和双曲线均关于 轴对称，
设 ，
因为点A抛物线上，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
又点A在双曲线上，
所以 ，又 ，即 ，
解得 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率、抛物线和双曲线的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．D
【分析】设 ，则 ，由圆与抛物线的对称性可知 ，计算 ，AD，由正
弦余弦值联立方程即可求解.
【详解】设 ，则 ，如图，
由圆 ： ( )，得圆心 ，半径 ，
第 14 页所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，解得 ， ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：设 ，则 ，利用 ，用点的坐标表示 ，AD，建立关于
， 的方程组是解题的关键，属于中档题.
15．C
【详解】当MO=MF时，由两个点M；当OM=OF时，有两个点M，
所以点M的个数为4个．故选C．
点睛：本题考查抛物线的性质．本题中， 为等腰三角形，有两种情况，分别是MO=MF和OM=OF，结合
抛物线的对称性，所以有4个点M满足要求．
16．B
【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函
数表达式，再代入圆的方程求得p的值.
【详解】以 为圆心，半径为5的圆的方程为 ,
由抛物线 ，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值 ,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为 ,
又∵A在圆上，∴ ,解得 ,
第 15 页故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长
求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.
17．B
【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心， 为半径的圆，那么 中，利用勾股定理求解.
【详解】由题意可知通径 ，所以圆的半径是 ，
在 中， ， ，解得： ，
所以抛物线方程：
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是根据抛物线和圆的几何
性质抽象出数学等式，属于基础题型.
18．C
【分析】两个曲线都关于 轴对称，可知A，B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可设出两点坐标，分
别代入抛物线和圆的方程，从而可求出答案.
【详解】由题意，抛物线与圆交于A，B两点，且 ，
因为两个曲线都关于 轴对称，所以A，B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
故可设 ， ，代入圆的方程得 ，解得 ，
故 ， ，代入抛物线方程可得 ，即 .
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线和圆的方程的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
19．D
【详解】由题意，设 的横坐标为 ，则由抛物线的定义，可得 ．则 ．所以 ．所
以 ．故本题答案选 ．
20．C
第 16 页【分析】 为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点； 为直角三角形，考虑直角顶
点，结合图形，可得有4个点；考虑直线 ，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得
有2个；考虑直线 ，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点 有4个．
【详解】由 为等腰三角形，若 ，则 有两个点；
若 ，则不存在，若 ，则 有两个点，
则使得 为等腰三角形的点 有且仅有4个；
由 中 为直角的点 有两个；
为直角的点 不存在； 为直角的点 有两个，
则使得 为直角三角形的点 有且仅有4个；
若 的 在第一象限，可得直线 ，
代入抛物线的方程可得 ，解得 ，
由对称性可得 在第四象限只有一个，
则满足 的 有且只有2个；
使得 的点 在第一象限，可得直线 ，
代入抛物线的方程，可得 ， ，
可得点 有2个；
若 在第四象限，由对称性可得也有2个，
则使得 的点 有且只有4个．
故选：C
21．C
【分析】利用题中几何条件，得到等边三角形关于 轴对称的两条边的直线方程，再得到每条直线与抛物线均有
两个交点，构成两个等边三角形，即可得到结果.
【详解】解：抛物线 的焦点为 ，等边三角形的一个顶点是抛物线 的焦点，另外
两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于 轴对称的两条边所在直线的斜率 ，其方程为
，则每条直线与抛物线均有两个交点，构成两个等边三角形，所以满足条件的三角形 的个数为
.
故选：C.
22．B
【分析】分别求出点 、 、 的坐标，求出点 关于直线 的对称点 的坐标，根据题意可知 、 、 三点
共线，求出直线 的方程，即可求得 的值.
第 17 页【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为 轴，焦点为 ，所以，直线 的方程为 ，
在抛物线方程中，令 可得 ，即点 ，则 轴，
所以，点 、 关于 轴对称，即点 ，
在直线 的方程中，令 得 ，可得 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，可得 ，即点 ，
由题意可知， 、 、 三点共线，则直线 的方程为 ，故 .
故选：B.
23．D
【分析】由 ，求得 ，代入抛物线方程求得 ，然后把点的坐标代入双曲线方程，即
可解得离心率.
【详解】根据对称性，设A在第一象限，B在第四象限，由 ，知 ，
代入到抛物线方程中，即 ，解得 ，
则将 代入双曲线方程得 ，化简得 ，
解得离心率为 或 （舍）
故选：D
24．B
【详解】 由题意得，在抛物线 上一点 ，使得 ，则点 的坐标为 ，
又抛物线的准线方程为 ，所以准线与 轴的交点 ，
则 ，所以在直角 中， ，所以 ，故选B．
第 18 页25．A
【解析】根据抛物线和椭圆的对称性可知， ，点 ，然后由 ， 求解.
【详解】O为坐标原点，由题意知 ，点 ，
又因为A为抛物线和椭圆的交点，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，
得 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
所以椭圆C的离心率为 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的几何性质，利用对称性明确 是解题的关键，属于基础题.
26．C
【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，
逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，由 ，可得 ，故A选项不正确；
对于B，设A，B两点的坐标分别为 ， ，
根据题意得，焦点 ，则设直线AB的方程为 ，
联立方程 ，消去x后整理为 ，则 ， ，
， ，
，故B选项不正确；
对于C， ，
故C选项正确；
对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH⊥直线l，H为垂足，
根据B项可得N点坐标为 ，
第 19 页则 ，
由 为等边三角形可得 ，
则 ，
则 ，
由对称性及MN⊥AB可知直线AB的斜率为 ，
故D选项不正确．
故选：C.
27．B
【分析】利用抛物线关于x轴对称求解即可
【详解】由抛物线关于x轴对称易知，点 一定在该抛物线上.
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的对称性，是基础题
28．ABC
【分析】将抛物线方程转化为标准方程，求得准线方程，即可判断A正确；由A设切线方程为 ，
联立直线与抛物线方程，由 求出斜率，得出切点坐标，进而可判断B正确，D错误；再求得 与 的坐标，
判断 是否为零，即可判断C正确.
【详解】由题意，易知 ；
由 得， ，则焦点 ，其准线方程为 ， ，故A正确；
设切线方程为 ，由 得 ，
令 ，解得 ；
解方程 可得 ，则 ，即两切点坐标为 ， ，所以直线 的方程为
第 20 页， ，故B正确，D错；
不妨令 ， ， 则 ， ， ，从而
，即 ，C正确；
故选：ABC．
【点睛】思路点睛：
求解抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系等相关问题时，一般需要结合抛物线的性质进行求解，通常
会用到联立直线与抛物线方程，结合判别式、韦达定理等进行求解.
29．ABD
【分析】根据平行四边形的性质可判断A；利用对应边成比例，三角形相似可判断B；由两点求斜率可判断C；利
用三角形的面积公式可判断D.
【详解】A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点，
因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确；
B，如图所示，连接 ，
则当 ， ，
则 ，则∠A=∠C，故B正确；
C，设 ， ， ，
，解得 ，所以 ，故C错误；
D，设若 为正三角形，如图：
第 21 页由抛物线的对称性可知 ， ，
则直线 ： ，
则 ，解得 ， ，
，
，故D正确.
故选：ABD
30．BCD
【解析】利用导数的几何意义得到直线 的方程，从而得到定点坐标，得A错误；将直线 的方程与抛物线方
程联立，并利用根与系数的关系得到 点横坐标，从而得到 轴，得B正确；设 ，直线 、
的斜率分别为 、 ，并利用斜率公式及根与系数的关系得到当 时， ，得C正确；根据抛物线的
几何性质得到 两点到准线的距离的倒数之和，并借助根与系数的关系化简，得D正确.
【详解】设 、 ，∵ ，∴ ，
∴过点 的切线方程为 ，即 ，∴ ，
同理过点 的切线方程为 ，
将 分别代入上式，得 ， ，
∴直线 的方程为 ，∴直线 过定点 ，A选项错误，
联立方程 得： ， ，则 ， ，
∴点 的横坐标为 ，∴ 轴，B选项正确，
第 22 页设 ，由题意得 、 ，设直线 、 的斜率分别为 、 ，
则 ，
当 时， ，即直线 与直线 关于 轴对称，C选项正确，
∵点 到准线的距离为 ，点 到准线的距离为 ，
∴ ，D选项正确，
故选：BCD.
【点睛】本题考查导数的几何意义、抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系，以直线与抛物线相切为出
发点，利用根与系数的关系考查定值问题.
31．AB
【分析】由抛物线定义，可知曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为 ，依次判断，即得
解
【详解】由抛物线定义，知曲线 是以 为焦点，
直线 为准线的抛物线，其方程为 ，故A正确；
若点 在曲线 上，则点 也在曲线 上，故曲线 关于 轴对称，故B正确；
由 知 ，故C错误；
点 到直线 的距离 ，所以D错误
故选：AB
32．
【分析】根据对称性可得 关于 轴对称，得出直线 的方程，联立方程组，求得 的坐标，进而得到
，再利用三角形的面积公式，即可求解．
【详解】如图所示，根据对称性可得 关于 轴对称，故 .
直线 的方程为 ，
代入 ，得 ，解得 或 .
即得 的坐标为 ，则 ，
所以正三角形 的面积为 .
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及性质，以及三角形面积的计算，其中解答中根据抛物线的对称性，
第 23 页得到 两点关于 轴对称，联立方程组求得其坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
33．
【分析】抛物线的准线方程为 ，所以由对称性得点 ，代入圆的方程即可得p的值.
【详解】因为抛物线的准线方程为 ，所以由对称性得点 ，
代入圆的方程得 ，解得 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.
34．
【详解】分析：由题意可得点M为线段PN的中点，且FM是线段PN的垂直平分线，设点 ，点 ，
由 ，可得点 ，设点 ，再由线段的中点坐标公式可得P的轨迹方程.
详解：由题意可得，定点 ，点M为线段PN的中点，且FM是线段PN的垂直平分线，
设点 ，点 ，由 ，求得 ，
，
设点 ，再由线段的中点坐标公式可得：
，消去参数 ，可得 .
故答案为： .
点睛：本题主要考查求点的轨迹方程的求法，把参数方程化为直角坐标方程.
35．1
【分析】根据给定条件求出直线AB的斜率，再联立直线AB与抛物线E的方程，求出线段BC中点纵坐标作答.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，由抛物线对称性不妨令点C在第一象限，如图，
第 24 页过B作直线BP垂直于抛物线E的准线，垂足为P，则有 ，因 ，即 ，
则 ， ，直线AB的斜率 ，
直线AB方程为： ，由 消去x并整理得： ，
设 ，线段BC中点 ，则有 ，
所以线段 的中点到 轴的距离为1.
故答案为：1
36．1
【解析】 和 的夹角最大为 ，从点 向抛物线引两条切线，切点分别为 ， ，此时 和 的夹角
最大，从而可得到直线 的方程，与抛物线方程联立，则 ，可求出 的值.
【详解】由题意， 和 的夹角最大为 ，从点 向抛物线引两条切线，切点分别为 ， ，此时 和
的夹角最大，且直线 的斜率 ，方程为 ，
联立 ，消去 可得 ，则 ，解得 .
故答案为：1.
【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查平面向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，属于
中档题.
37．2
【详解】设 ， ，
∵ ，
∴ ．
又 ， ，
第 25 页∴ ，即 ．
又 、 与 同号，
∴ ．
∴ ，即 ．
根据抛物线对称性可知点 ， 关于 轴对称，
由 为等边三角形，不妨设直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，
∴ ．
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 ，∴ ．
答案：2
点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B关于x轴对称，然后在此基础上得
到直线直线 （或 ）的方程，通过解方程组得到点 （或A）的坐标，求得等边三角形 的边长后，根
据面积可得 ．
38．2
【详解】根据抛物线的对称性可知，正三角形 的另两个顶点 关于 轴对称，设 ，则由正三角形
边长为 可有 ，解得 .
39．②③
【解析】先求出曲线 的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案.
【详解】设动点 是曲线 上任意一点，则 ，即 ，
当 时， ，整理得 ，
当 时， ，整理得 ，
作出曲线 的图形，如下图，显然①不正确，曲线 不关于 轴对称；
当 时，可得 ，所以当点 在曲线 上时， 满足 成立，即②正确；
第 26 页令 ，可得 ，所以当点 在曲线 上时， 满足 ，且 ，又 ，所以
， ，即③正确.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题.
40．(1) ；(2) .
【分析】(1)设出点A的坐标，由抛物线对称性及菱形可得C，D坐标，再由|AB|=|BC|求解即得；
(2)设出点B，D的坐标，由此表示出A，C的坐标，借助AC⊥BD探求关系，构造函数求解即得.
【详解】(1)设点A(0，2a)，因四边形 是菱形且 点与坐标原点，则CD⊥x轴且|CD|=2a，
由抛物线对称性知C(a2，-a)，D(a2，a)，由|AB|=|BC|得 ，解得 ，
所以菱形 的边|AB|= ，高h=a2=3，其面积为 ；
(2)设点B(s2，s)，D(t2，t)，则线段BD中点坐标为 ，而线段AC与BD有相同中点，点A在y轴上，
则点 ， ，因AC⊥BD，即 ，
，
，而t≠s，则
令 ，则 ，而 ，m>0，有 ，
，令 ，
第 27 页，
， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
时， 取最小值 .
【点睛】关键点睛：涉及平面解析几何最值问题，合理选取变量，构造函数，转化在函数最值是解题的关键.
41．（1）圆O 的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；圆O的方程为x2+y2＝5（2）不存在，详见解析
1
【分析】（1）由题意可得 在直线 上，可得 的坐标，进而得到圆 的方程；设 关于直线
的对称点为 ，由两直线垂直的条件和中点坐标公式可得 ， ，进而得到圆 的方程；
（2）假设在第一象限内．圆 上存在点 ，且以点 为圆心的圆过点 ， ， ，则 ， 为 的中点，
设出 ， 的方程，分别联立圆 的方程和抛物线的方程，求得 ， 的坐标，再由中点坐标公式，解方程即
可判断存在性．
【详解】（1）圆O 与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y）.且关于直线x+y＝1对称，
1 0
可得P在直线x+y＝1上，即有﹣1+y＝1，即y＝2，P（﹣1，2），
0 0
可得r＝1+4＝5，则圆O的方程为x2+y2＝5；
设（0，0）关于直线x+y＝1的对称点为（a，b），可得a＝b，a+b＝2，
解得a＝b＝1，可得圆O 的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；
1
（2）假设在第一象限内.圆O上存在点A，且以点D为圆心的圆过点O，A，B，
则OA⊥OB，D为AB的中点，由题意可得直线OA的斜率存在且大于0，设OA的方程为y＝kx（k＞0），
OB：y x，
由 解得x ，即有A（ ，k ），
由 可得x＝4k2，即有B（4k2，﹣4k），
由D为AB的中点，可得k 4k＝0，
化为16k2+11＝0，方程无实数解，
则符合条件的k不存在，所以满足条件的A不存在.
【点睛】本题考查圆的方程和抛物线的方程的运用，直线和圆的方程、直线和抛物线方程联立，求交点，考查方
程思想和化简运算能力，属于中档题．
42．（1）见解析； （2）2 ＋4 .
【分析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2) 由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|＝ |OM|=2. 设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长．
第 28 页【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，
x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|.
因为F(2,0)，所以|OM|＝ |OF|＝3.
所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.
所以m＝2 或m＝－2 .
所以A(3,2 )，B(3，－2 )．
所以|OA|＝|OB|＝ .
所以△OAB的周长为2 ＋4 .
【点睛】本题考查了抛物线简单性质的应用，解题关键利用好三角形重心的性质，属于中档题.
43．（1） ， ；（2）（i）证明见解析，（ii） .
【分析】（1）由椭圆的对称性可得所给的四个点哪几个在椭圆上，代入椭圆的方程可得 的值，进而求出椭圆
的方程；
（2）（i）由题意可得直线 的斜率不为 ，设直线 的方程与抛物线联立求出两根之和，及两根之积可证得
为定值；
（ii）设直线 的斜率，设 的直线方程与椭圆联立求出 的坐标，求出 ， 的值，由（Ⅰ）可
得 ，求出面积 的表达式，由均值不等式求出面积的最小值．
【详解】（1） 关于 轴对称， 关于 轴对称，
在 上，
若 在 上，则 ，
不在 上， 在 上，
，
又 ， ；
（2）（i）由（1）可得右顶点 ，由题意可得直线 的不为 ，设 ，设 ，
第 29 页将直线 与代入抛物线的方程 ,可得
， ；
所以 ，
所以 为定值；
（ii） ，所以设直线
将直线 代入 中得：
所以 ，即 ；
同理得 ，
所以 ，即 ；
当 时， .
【点睛】本题考查求椭圆及抛物线的方程，和直线与椭圆，直线与抛物线的综合，及均值不等式的应用，属于中
档题．
44．（1）m=1；（2）G(0， )；S最大值为3．
【分析】(1)联立圆M与抛物线E的方程，设出点A，D坐标，利用向量数量积求解即得；
(2)利用抛物线的对称性，设出G点坐标，利用三点共线可得G的坐标，利用割补法借助(1)中有关关系式列出函数，
进而得解.
【详解】（1）依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，
不妨设 ，A，D在第一象限，A(x，y)，D(x，y)，则B(-x，y)，C(-x，y)，y0，即0
