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第08讲 函数的应用
【知识点总结】
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
四、二分法
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程 的近似
解就是求函数 零点的近似值.
五、用二分法求函数 零点近似值的步骤
（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）—
（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，
又f(0)＜0，f（2）＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．
故选：A.
例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为
（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
【答案】A
【详解】
因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
所以b＝－2a，
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．
令g(x)＝0，得x＝0，x＝－ ．
1 2
故选：A
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则函数 的零点为（ ）
A． B． ，0 C． D．0
【答案】D
【详解】
函数
当 时，
令 ，解得
当 时，令 ，解得 （舍去）综上函数的零点为0.
故选：D.
例4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点一定位于下列哪个区间内（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：解不等式 得 或 ，
所以函数的定义域为 ，
因为 ，
， ， ， ，
所以 ，
所以根据零点的存在性定理得在区间 上必有零点，
所以函数 的零点一定位于 区间内.
故选：C
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
【答案】D
【详解】
当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞ .故选：D.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数 仅有一个零点，
所以 与 图像只有一个交点.
对于 ，求导得 .令 ，得 或 .
所以当 时 单调递增；当 时 单调递减；当 时 单调递增.
所以当 时函数有极大值 ，当 时函数有极小值 .
作 与 的图像如下图所示.
由图可知，当 与 图像只有一个交点时， 或 ，即 或 .
故选:D
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 的部分函数值如下表所示：
x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625
0.6321 0.2776 0.0897
那么函数 的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89
【答案】B【详解】
根据给的数据知道方程的根在区间 内，所以近似解为0.57
故选：B
例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度 （单位： ）与
时间 （单位： ）的关系式为 ，其中 为 时的药物浓度， 为常数.已知给某患者注射某
剂量为 的药物后，测得不同时间药物浓度如下：
1.0 2.0
109.78 80.35
则该药物的 的值大约为（ ）
A．0.287 B．0.312 C．0.323 D．0.356
【答案】B
【详解】
由题得 ， ，
两式相除得 ，所以 .
故选：B.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 经过点 ，则函数 的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【分析】
转化条件为 ，解方程即可得解.
【详解】
函数 经过点 ， ，∴ ，∴ ，
令 ，则所以函数 的零点是0和 ．
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
【答案】C
【分析】
根据函数零点的定义，令 ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，令 ，即 ，解得 ，
即函数的零点为 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的零点为（ ）
A． B． ，0 C． D．0
【答案】D
【分析】
函数 的零点，即令 分段求解即可.
【详解】
函数
当 时，
令 ，解得
当 时，
令 ，解得 （舍去）
综上函数的零点为0
故选：D．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点之和为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】
根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.
【详解】
函数
当 时， ，设其零点为 ，则满足 ，解得 ；
当 时， ，设其零点为 ，则满足 ，解得 ；
所以零点之和为
故选:A.
【点睛】
本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若函数 存在零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
在同一坐标系中，作出指数函数 ， 根据函数 存在零点，利用数形结合法求解.
【详解】
如图所示：指数函数 ，没有零点，
有唯一的零点 ，
所以若函数 存在零点，
须 有零点，即 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 实数根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由 解出 或 ，根据 解析式分别求出当 和 时 的值，即
可判断实数根的个数.
【详解】
做出 图像如下：或 ，
①若 时，
⑴当 ， 或 ，符合题意；
⑵当 ， ，符合题意；
②若 ,
综上： 共有3个实数根．
故选：B．
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 是函数 的一个零点，若
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
转化 是函数 的一个零点为 是函数 与 的交点的横坐标，画出函数图像，
利用图像判断即可
【详解】因为 是函数 的一个零点，则 是函数 与 的交点的横坐标，画出函数图像，
如图所示，则当 时， 在 下方，即 ；
当 时， 在 上方，即 ，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：
1 2 3 4 5
1.4 3.5 5.4 －5.5 －6.7
则方程 必存在有根的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的零点存在性定理即可求解.
【详解】
因为函数 的图象是连续的曲线，
且 ， ，
所以 ，
根据零点存在性定理可得函数 必定存在零点位于区间 ，故方程 必存在有根的一个区间是 ，故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求方程 的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数 并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.
【详解】
，
令 ， 在 上单调递增，并且 图象连续， ， ，
在区间 内有零点，
所以可以取的一个区间是 .
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则下列区间中， 的零点所在的区间
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算 ，得出 ，根据零点存在定理可得选项.
【详解】
由函数 ，所以 ，
所以 ，所以函数 所在零点的区间为 ，
故选：C.
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点存在定理得出 ，代入可得选项.
【详解】
由题可知：函数 单调递增，若 一个零点在区间 内，则需： ，
即 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查零点存在定理，属于基础题.
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 的零点位于区间 ， 上，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用零点存在定理求得整数 的值，进而可求得 的值.
【详解】
易知函数 单调递减，又因为 ， ，
由零点存在定理可知，函数 的零点在区间 内，则 .
所以 ．
故选：D.
【点睛】
本题考查利用零点存在定理求参数值，同时也考查指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.
13．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
因为 为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可.【详解】
因为 、 为增函数，
所以 为增函数，
且 ， ， ，
，
根据零点存在性定理知 的零点在区间 内.
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】
因为 为开口向上的抛物线，且对称轴为 ，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：B
15．（2022·江苏·高三专题练习）若函数 的两个零点分别在区间 和区间 内，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
利用零点存在定理进行列不等式方程组，进而求解即可
【详解】
函数 的两个零点，根据题意有，
，解得
故选：C
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于x的方程 有实数解，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 （ ），则原方程等价于关于 的一元二次方程在 上有解，分离 ，利用基本不等式
和不等式的性质求值域即可.
【详解】
解：令 （ ），则原方程等价于 在 上有解.
则a＝﹣ ﹣4 ＝﹣（t+ ）﹣4，
因为 t+ ≥4，所以﹣ ﹣4≤﹣8．当且仅当t＝2，即x＝ 时取等号．
所以a的范围为（﹣∞，﹣8]．
故选：D.
【点睛】
思路点睛：本题考查有关二次函数的复合函数的问题，先换元转化为一元二次方程有解的问题，然后再根
据有解问题进行参变分离解题.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ( )的一个零点附近的函数值的参考数
据如下表:x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099由二分法,方程 的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【分析】
按照二分法的方法流程进行计算，根据 的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于
0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【详解】
在 上单调递增.
设近似值为 ，
由表格有 ，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查了二分法求近似根的解法步骤，在解题时要注意先判断该解区间是否单调，然后再进行计算，此
类题计算量较大，要避免计算错误．属于基础题.
18．（2022·浙江·高三专题练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出散点图，结合图形可得出合适的函数模型.
【详解】
在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，
递增的速度比较快，排除B、C两个选项，当 时，不符合A选项．
故选：D.
19．（2022·浙江·高三专题练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： ）满足函数
关系 （ 为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在
22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
【答案】C
【分析】
根据食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，求出k、b，然后再将x＝33代
入即可得出答案.
【详解】解：由题意，得 ，即 ，
于是当x＝33时， ＝24(小时).故选：C.
20．（2022·全国·高三专题练习）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能
在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令
人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据
历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间 （单位：
天），增加总分数 （单位：分）的函数模型： ， 为增分转化系数， 为“百日冲
刺”前的最后一次模考总分，且 ．现有某学生在高考前 天的最后一次模考总分为 分，
依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（ ）
A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
【答案】B
【分析】
由 可求得 ，将 ， ， 代入 中，可求得增加分数，由此可得结果.
【详解】
由题意得： ， ；
，
该学生在高考中可能取得的总分约为 分.
故选：B.
21．（2022·全国·高三专题练习）为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始
时刻的病例数为N ，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，
0
在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N (1+K)t，若N =2，K=2.4，则利用此模
0 0
型预测第5天的病例数大约为（ ）(参考数据：log 454≈18，log 454≈7，log 454≈5)
1.4 2.4 3.4
A．260 B．580 C．910 D．1200
【答案】C
【分析】首先根据题意得到 ，再根据参考数据求解即可.
【详解】，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列区间中含 零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
计算出各端点处的函数值，若两端一正一负即可判断出存在零点.
【详解】
， ，
， ，
，
根据零点的存在性定理可知 和 存在零点.
故选：AD.
【点睛】
本题考查零点的存在性定理，属于基础题.
23．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 若函数 恰有2个
零点，则实数m可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】ABC【分析】
转化为函数 的图象与直线 恰有两个交点，画出函数 的图象，根据图象可得解.
【详解】因为函数 恰有2个零点，
所以函数 的图象与直线 恰有两个交点，
画出函数 的图象如图：
由图可知， 或 ，结合选项，因此 可以为-1，0，1．
故选：ABC．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的零点在区间 上，则k的值为
___________.
【答案】3
【分析】
利用零点存在性定理即可得到答案.
【详解】
易知函数 在其定义域（1，+∞）上连续不断，
而 ， ，则函数的零点在区间（3，4）上，故k=3.故答案为：3.25．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线 与曲线 有四个交点，则a的取值范围
是___________．
【答案】
【分析】
直线 与曲线 有四个交点等价于方程 有四个解，即直线 与函数
的图象有四个交点，借助图形求解即得.
【详解】
直线 与曲线 有四个交点等价于方程 ，即 有四个解，
等价于直线 与函数 的图象有四个交点，在同一坐标系中，画出它们的图象，如图，
观察图象可知，当且仅当 时，直线 与函数 图象有四个交点，
所以a的取值范围是： .
故答案为：
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ ，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数
根，则实数k的取值范围是___________.
【答案】(0，1)
【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0，1).
故答案为：
27．（2022·全国·高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______．
【答案】2
【分析】
令 ，得到 ，将等号左右两边看成两个函数，在同一坐标系下画出图像，找到它们的
交点个数，即得到 的零点个数.
【详解】
函数 的定义域为 ，
画出两个函数 ， 的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查函数零点问题与交点问题的转化，数形结合的思想，属于简单题.28．（2022·浙江·模拟预测）我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子･本经训》和
《山海经･海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500
光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真
空中沿直线经过一年时间的距离，光速 ；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数
字 的数量级是3）.
【答案】19
【分析】
根据题意得到距离地球约3500光年，一年走过的路程为 ，3500光年走过的路程为
计算出结果即可.
【详解】
根据题意得到距离地球约3500光年，一年有 秒，光速 ，
一年走过的路程为
3500光年走过的路程为
数量级为19.
故答案为：19.
29．（2022·全国·高三专题练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温
度是T，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－T＝ ，其中T 称为环境温度，h称为
0 a a
半衰期，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这
杯咖啡要从37℃降到29℃，还需要________ min．
【答案】16
【分析】
根据所给函数模型，由T＝21℃．令T＝85℃，T＝37℃，求得 ，然后令T＝37℃，T＝29℃，求得 ．
a 0 0
【详解】
由题意知T＝21℃．令T＝85℃，T＝37℃，得37－21＝ ，∴h＝8．
a 0令T＝37℃，T＝29℃，则29－21＝ ，∴t＝16．
0
故答案为：16．
