专题24.1圆的有关性质--圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点(教师版)_初中数学_九年级数学上册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题24.1 圆的有关性质--圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 求过圆内一点的最长弦】................................................................................................................1 【考点二 利用垂径定理求值】........................................................................................................................2 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】........................................................................................................5 【考点四 垂径定理的推论】............................................................................................................................8 【考点五 垂径定理的实际应用】..................................................................................................................11 【考点六 圆心角概念辨析】..........................................................................................................................13 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】..............................................................................................14 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】..............................................................................................16 【过关检测】...........................................................................................................................................19 【典型例题】 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若 的直径长为 ，点 ， 在 上，则 的长不可能 是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直径是最长的弦即可求解． 【详解】解：∵若 的直径长为 ，点 ， 在 上， ∴ 的长不可能是 ， 故选：D．【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知 的半径是3cm，则 中最长的弦长是（ ） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm 【答案】B 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解： 圆的直径为圆中最长的弦， 中最长的弦长为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、 等圆、等弧等）． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 【考点二 利用垂径定理求值】 例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连接 ，若 ， ，则弦 的长为 ．【答案】 【分析】由题意易得 ，根据勾股定理可求 的长，然后问题可求解． 【详解】解：连接 ， ∵ 是 的直径， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知 的半径为 ，弦 的长为 ，则圆心 到的距离为 ． 【答案】 【分析】过点 作 于点H，由垂径定理得到 ，在 中，利用勾股定理即 可得到圆心 到 的距离． 【详解】解：如图， 的半径为 ，弦 的长为 ，过点 作 于点H， 则 ， ， ∴ ， 即圆心 到 的距离为 ， 故答案为： 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有 圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就 是：如图， 是 的直径，弦 ，垂足为E， 寸， 寸．则直径 的长为 寸． 【答案】26 【分析】连接 构成直角三角形，先根据垂径定理，由 得到点 为 的中点，由 可求 出 的长，再设出圆的半径 为 ，表示出 ，根据勾股定理建立关于 的方程，求解方程可得 的值，即为圆的直径． 【详解】解：连接 ， ，且 寸， 寸， 设圆 的半径 的长为 ，则 ， ， ， 在 中，根据勾股定理得： ，化简得： ， 即 ， （寸）． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末） 半径为5，弦 ， ， ，则 与 间的距离为（ ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过 点作 ， 为垂足，交 与 ，连 ， ，由 ，得到 ，根据 垂径定理得 ， ，再在 中和在 中分别利用勾股定理求出 ， ，然后讨 论：当圆 点在 、 之间， 与 之间的距离 ；当圆 点不在 、 之间， 与 之间的距离 ．【详解】解：过 点作 ， 为垂足，交 与 ，连 ， ，如图， ， ， ， ， 而 ， ， ， ， 在 中， ， ； 在 中， ， ； 当圆 点在 、 之间， 与 之间的距离 ； 当圆 点不在 、 之间， 与 之间的距离 ； 所以 与 之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及 分类讨论的思想的运用． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的 中，弦 ，弦 ，且 ，则 与 之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦 与 的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦 与 在圆心同侧； ②弦 与 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦 与 在圆心同侧时，如图①，过点O作 ，垂足为F，交 于点E，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴由勾股定理得： ， ， ∴ ； ②当弦 与 在圆心异侧时，如图， 过点O作 于点E，反向延长 交 于点F，连接 ， 同理 ， ， ， 所以 与 之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习） 的半径为13cm，AB、CD是 的两条弦， ， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 【答案】7cm或17cm． 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AE＝12cm，CF＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝12−5＝7cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴AE＝12cm，CF＝5cm， ∵OA＝OC＝13cm， ∴EO＝5cm，OF＝12cm， ∴EF＝OF＋OE＝17cm． ∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌 握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 【考点四 垂径定理的推论】 例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高 为4米，则 的半径为 米． 【答案】 【分析】连接 ，设 的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可． 【详解】解：连接 ， 设 的半径为R，则 ， 由题意得， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， 解得 ， 则 的半径为 米． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳 与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， 厘米．则“图上”太阳从目前所 处位置到完全跳出海平面，升起 厘米． 【答案】16 【分析】连接 ，作 于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得 厘米．在中，利用勾股定理求得 的长，据此求解即可． 【详解】解：连接 ，作 于点D，交优弧于点C，则 厘米． 由题意得 厘米， 在 中， 厘米， ∴ 厘米， 则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键． 2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大 小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图， 为 的半径，弦 ，垂足为 ， 寸， 尺 尺 寸 ，则此圆材的直径长是 寸． 【答案】 【分析】连接 ，依题意，得出 ，设半径为 ，则 ，在 中， ， 解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ ， ， ， 为 的半径， ∴ ，设半径为 ，则 ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ， ∴直径为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 【考点五 垂径定理的实际应用】 例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图， 的直径 与弦 交于点E， ，则下列 说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理及其推论判断即可． 【详解】解：∵ 是 的直径与弦 交于点 ， ， 根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧 的中点，点 为优弧 的中点， ∴ ， ， 但不能证明 ，故 选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【变式训练】 1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（ ） ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧 ③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【详解】根据垂径定理及其推论进行判断． 【解答】解：根据垂径定理， ①正确； ②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧； ③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心； ④正确． 故选：D． 【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真 仔细的习惯． 2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（ ）个 ①对角线相等的四边形是矩形 ②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 ③相等的圆心角所对的弧相等 ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 ⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可． 【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形 ，故错误； ②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正 确； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误； ⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确； 故选：A． 【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键． 【考点六 圆心角概念辨析】 例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 【变式训练】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是 ，∴B错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义． 2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB 所对的圆心角进行判断. 【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意； B、不是圆心角，故不符合题意； C、是圆心角，故符合题意； D、不是圆心角，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键． 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图， 是 的直径，点C，D在 上， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由 可得 ，再由 可得出． 【详解】解：∵在 中， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应 用是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在 上， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本 题的关键． 2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆； ④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴． 其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可 判断③；根据轴对称图形的定义判断④． 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； ②平分弦 不是直径 的直径垂直于弦，故错误； ③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确； ④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误， 正确的只有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌 握定义与性质是解题的关键． 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知 的半径 ， ， 在 上， 于 点 ， 于点 ，且 ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的判定定理可得 ，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可． 【详解】证明：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明是解题关键． 【变式训练】 1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD． 【答案】见解析 【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知 ，则有 ，由此可得 ，进而可证 AB=CD． 【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴AB=CD． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解 决本题的关键． 2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝ ∠B．【答案】见解析 【分析】连接 ，通过证明 即可得结论． 【详解】证明：如图，连接 ， 是 的中点， ， ， 在 和 中， ， ， ． 【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角 形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C均在 上，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，根据等边对等角得出 ，则 ，最后根据等角对等角得出 ，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握半径相等，等腰三角形 “等边对等角”． 2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的个数有（ ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等； ③等弧所对的圆心角相等； ④过三点可以画一个圆； ⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴； ⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三 点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案． 【详解】解：①当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，所以平分弦的直径， 平分这条弦所对的弧说法错误，故不符合题意； ②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意； ③等弧所对的圆心角相等，说法正确，故符合题意； ④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意； ⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意； ⑥由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误， 故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形 的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键． 3．（2023秋·九年级课时练习）如图， 的半径为 是圆外一点， ， 交 于点 ，则弦 的长为（ ） A．4 B．6 C． D．8【答案】D 【分析】过 作 于 ，连接 ，根据含 角的直角三角形的性质得出 ，根据勾股 定理求出 ，再根据垂径定理得出 ，最后求出答案即可． 【详解】解：过 作 于 ，连接 ，则 ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ， 即 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了含 角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记 垂直于弦的直径平分弦． 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 为 的直径，点 是 的中点，过点 作 于 点 ，延长 交 于点 ．若 ， ，则 的直径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】连接 ，首先证明 ，设 ,在 中，利用勾股定理构建方程即可解决 问题 【详解】解：如图，连接 ． ， ， ， 点D是弧 的中点， ， ， ， ， 设 , 在 中，则有 ， 解得 ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程 解决问题，属于中考常考题型． 5．（2023秋·全国·九年级专题练习）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图② 是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，连接 ， 与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 cm，碗深 ，则 的半径 为（ ）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【答案】A 【分析】首先利用垂径定理的推论得出 ， ，再设 的半径 为 ， 则 ．在 中根据勾股定理列出方程 ，求出 即可． 【详解】解： 是 的一部分， 是 的中点， ， ， ． 设 的半径 为 ，则 ． 在 中， ， ， ， ， 即 的半径 为 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设 的半径 为 ，列出关于 的方程是解题的 关键． 二、填空题 6．（2023秋·九年级课时练习）如图，若点 为 的圆心，则线段 是圆 的半径； 线段 是圆 的弦，其中最长的弦是 ； 或 是劣弧； 是半圆．【答案】 或 或 或 或 直径 【分析】根据圆的基本概念进行作答即可． 【详解】解：如图，若点 为 的圆心， 则线段 或 或 是圆 的半径； 线段 或 或 是圆 的弦，其中最长的弦是直径 ； 或 是劣弧； 是半圆． 故答案为： 或 或 ； 或 或 ；直径 ； ； ； 【点睛】本题考查了圆的基本概念，正确掌握圆的基本概念相关内容是解题的关键． 7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐 标是 ． 【答案】 【分析】运用垂径定理的推论作图确定圆心位置，写出坐标即可． 【详解】解：分别作 的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，由图知，圆心P的坐标为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，掌握作圆中弦的垂直平分线必过圆心值解题的关键． 8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，C是 延长线上一点，点D在 上，且 ， 的延长线交 于点E．若 ，则 度数为 ． 【答案】50 【分析】根据 求出 ，根据三角形的外角性质求出 ， 根据等腰三角形的性质求出 ． 【详解】解：连接 ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出 ∠ODE的度数是解此题的关键． 9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果 M是 中弦 的中点， 经过圆心O交 于点E，若 ， ，则 的半径为 m． 【答案】 【分析】连接 ，根据垂径定理可得 ， ，然后在 中，利用勾股定理 求出x即可． 【详解】解：连接 ，∵M是 弦 的中点， ， ， ∴ ， ， 设圆的半径是x米， 在 中，有 ， ∴ ， 解得： ， 即 的半径为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键． 10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ， 截三边所得的弦长 ，则 度．【答案】125 【分析】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，由于 =，利用弦、圆 心角和对应的弦心距的关系得到OM=OK=OP，则可判断OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根据角平 分线的定义和三角形内角和求解． 【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图， ∵ ∴OM=OK=OP， ∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB， 1 1 ∴∠OAC+∠OCA= 1 （∠BAC+∠ACB）= 1 （180° ∠B）=90° B90 7055， 2 2 - - 2 2 ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA） =180°55 =125°． 故答案为：125． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系． 三、解答题� � AB AC AC BD 11．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，点A、B、C、D在⊙O中，且 ， 与 相等吗？ 为什么？ 【答案】相等，理由见解析 ABCD ABBC BCCD AC BD AC BD 【分析】由 可得 ，即 ，因此 与 相等． 【详解】AC与BD相等． ABCD 理由如下：∵ ， ABBC BCCD ∴ ， AC BD 即 ， ∴AC BD． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等， 则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化． 12．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角AODBOC 90． (1)判断AOC和BOD的数量关系，并说明理由； COD30 AOB (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)AOC BOD，见解析 (2)AOB150【分析】（1）根据条件和AODAOCCOD，BOC BODCOD即可求解； （2）根据第（1）问的结论和COD30即可求解． 【详解】（1）解：AOC BOD； ∵AODAOCCOD，BOC BODCOD，AODBOC 90， ∴AOC BOD （2）解：∵AODAOCCOD，BOC BODCOD，AODBOC 90，COD30， ∴AOC BOD60， ∴AOBAOCCODBOD603060150； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，OAOB，AB交O于点C，D，OE是半径，且OE AB 于点F ． (1)求证：AC BD． (2)若CD8，EF 2，求O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由垂径定理得CF DF ，根据等腰三角形的性质可得AF BF ，再根据线段的和差关系可 得结论； （2）连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵OEAB， CF DF， ∵OAOB， AF BF ， AFCF BFDF， ACBD； （2）解：如图，连接OC，设O的半径是r， ∵CO2 CF2OF2， r2 42r22 ， r5， O的半径是5． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题． 14．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB24，则CD的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H 两点，若ABEF ，求证CDGH ． 4 6 【答案】(1) (2)见解析 1 【分析】（1）连接 ， ，过 点作 ，则 为 ， 的中点，得出AH  AB， OA OC O OH  AB H AB CD 2 1 CH  CD ，根据勾股定理即可求出 的长； 2 CD 1 1 1 （2）过 作 ，作 ，垂足分别为 、 ，得出 DM  CD ，HN  GH ，AM  AB， O OM AB ON EF M N 2 2 21 EN  EF ，连接 、 、 、 ，通过证明 和 ，即可得 2 OA OE OD OH RtOAM RtOEN RtODM RtOHN 证CDGH ． 【详解】（1）连接OA，OC，过O点作OH  AB，则H 为AB，CD的中点， ∵AB24， 1 1 1 ∴ AH  AB 2412 ，CH  CD， 2 2 2 ∵OH  AB， ∴OH2 OA2AH2，OH2 OC2CH2， ∴OA2AH2 OC2CH2， ∴132122 72CH2， CH 2 6 ∴ ， CD2CH 4 6 ∴ ， 4 6 故答案为： （2）过O作OM AB，作ON EF ，垂足分别为M 、N ， 1 1 1 1 ∴ DM  CD ，HN  GH ，AM  AB，EN  EF ， 2 2 2 2 又∵ABEF ， ∴AM EN， 连接OA、OE、OD、OH ， 在Rt△OAM 和RtOEN中，OAOE  AM EN， ∴RtOAM RtOEN， ∴OM ON ， 在RtODM 和RtOHN 中， ODOH  OM ON ， ∴RtODM RtOHN ， ∴OM HN， ∴CDGH ． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题 的关键． 15．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况 下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的O．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当 t0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时AOM 30，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数 2 1.414，31.732 据， ） 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，BOM 的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)BOM 45；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米． 【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解； （2）作BC OM 于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长， 在Rt△OBC中，利用勾股定理求得OC的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒， 360 ∴每秒旋转 3， 120 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，AOB36039575， ∵AOM 30， ∴BOM 753045； （2）解：作BC OM 于点C，设OM 与水平面交于点D，则OD AD， 在Rt△OAD中，AOD30，OA2， 1 ∴ AD 2 OA1 ， OD 2212  3 ， 在Rt△OBC中，BOC 45，OB2， 2 ∴BC OC  OB 2， 2 CDODOC  3 2 0.3 ∴ (米)， 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米． 【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件． 16．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦 所在直线的交点叫做等垂点．(1)如图1，AB，AC是O的等垂弦，OD AB，OE AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正 方形； (2)如图2，AB是O的弦，作ODOA，OC OB，分别交O于D，C两点，连接CD．求证：AB， CD是O的等垂弦； (3)已知O的半径为10，AB，CD是O的等垂弦，P为等垂点．若AP3BP，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 AB8 5 4 5 (3) 或 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出ODOE，即 可判定矩形ADOE是正方形； 1 BAC BOC 45 （2）连接 ，由圆心角、弦的关系可得 ，由圆周角定理可得 ， AC ABCD 2 1 ACD AOD45，可证 ，可得结论； 2 ABCD （3）分两种情况讨论，过点O作OH  AB，作OGCD，可证矩形OHPG为正方形，利用勾股定理可求 解． 【详解】（1）证明：∵AB，AC是O的等垂弦，OD AB，OE AC， ∴AADOAEO90， ∴四边形ADOE是矩形， ∵AB，AC是O的等垂弦， ∴AB AC， ∵OD AB，OE AC， ∴ODOE， ∴矩形ADOE是正方形；（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC， ∵ODOA，OC OB， ∴AODBOC 90， ∴AOBCOD， ∴ABCD， 1 1 ∵BAC BOC 45，ACD AOD45， 2 2 ∴BEC ACDBAC 90， 即ABCD， ∵ABCD，ABCD， ∴AB，AC是O的等垂弦； （3）解：若点P在O内，过点O作OH  AB，垂足为H，作OGCD，垂足为G，如图， ∵AB，CD是O的等垂弦， ∴ABCD，ABCD， ∴四边形OHPG是矩形， ∵OH  AB，OGCD， 1 1 ∴AH  AB，DG CD， ， 2 2 AHODGO90 ∴AH DG，又∵OAOD， ∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL)， ∴OH OG， ∴矩形OHPG为正方形， ∴OH HP， ∵AP3BP，且AH BH ， ∴AH 2BP2OH ， 在Rt△AOH 中，AO2  AH2OH2， 2OH2 OH2  AO2 100 即 ， OH 2 5 解得 ， HP2 5 ∴ ， AB4HP8 5 ∴ ； 若点P在O外，过点O作OH  AB，垂足为H，作OGCD，垂足为G，如图， AH 2 5 AB2AH 4 5 同理， ，则 ； AB8 5 4 5 ∴ 或 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分 类讨论思想解决问题是本题的关键．