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考点 8-5 圆锥曲线综合应用
1．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，P是双曲线 （ ， ）上不同的三点，且
A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，根据对称性，知 ，然后表示出 ，又由于点A，P在双
曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得 ，化简可求出离心率
【详解】设 ， ，根据对称性，知 ，
所以 ．
因为点A，P在双曲线上，
所以 ，两式相减，得 ，
所以
所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：D
2．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，
当 取最小值时，C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的标准方程可得 ，根据 的关系可得 ，由基本不等式的求解即可得 ，进而 ，即可求离心率.
【详解】由 可得 ，所以 ，
故可得 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ， ，又 ，
所以 ，
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公
共焦点，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得 的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ，
因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ，
又因为双曲线 满足 ，即 ，
又由 ，即 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
故选：A．
4.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设抛物线 的焦点为F，准线 与x轴的交点为K，
点A在C上，已知点A的横坐标为 ， ，则 的面积 ___________.
【答案】4
【分析】先由抛物线的定义得点K的横坐标为 ，进而求得 轴，再计算 的面积即可.【详解】
如图，作 于 ，由抛物线定义知 ，又点A的横坐标为 ，则点K的横坐标为
，
点F的横坐标为 ，则 轴，则 .
故答案为：4.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的实轴为 ，对于实轴 上的任
意点 ，在实轴 上都存在点 ，使得 ，则双曲线 的两条渐近线夹角的最大值为
___________；
【答案】
【分析】通过分析得到 ，设渐近线与x轴的夹角为 ，则 ，求出 ，从而求出双曲
线 的两条渐近线夹角的最大值.
【详解】对于实轴 上的任意点 ，在实轴 上都存在点 ，使得 ，
当点 位于原点时，则要 ，才能满足要求，
所以 ，设渐近线与x轴的夹角为 ，则 ，
因为 ，则双曲线 的两条渐近线夹角为 ，
故答案为：6.（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知点 为抛物线 ： （ ）的焦点，
点 为点 关于原点的对称点，点 在抛物线 上，则下列说法错误的是（ ）
A． 的范围决定了点 的个数
B．不存在使得 的点
C．使得 的点 有且仅有 个
D．使得 的点 有且仅有 个
【答案】D
【分析】问题可转化为过点 作抛物线的切线,求出切线斜率,即可得到 的最大值,结合抛物线
的图像,问题即可解决.
【详解】
设焦点为 ,则
设过点 抛物线的切线方程为:
代入 后整理得
因为相切, 故化简得 , 解得 , 所以 的最大值为 ,
做出图像:显然当 在切点位置时, 最大为 ,此时点 有两个（ 轴上下各有一个,位置①）;
当 时,点 有四个（ 轴上下各有两个,位置②;
当 时, 点即为原点 ,只有一个,
故ABC选项的命题正确, D选项错误.
故选：D
7．（2022·河南·高三开学考试（文））在正方体 中，E为 的中点，F为底面ABCD上
一动点，且EF与底面ABCD所成的角为 ．若该正方体外接球的表面积为 ，则动点F的轨迹长度为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取AD的中点H，连接EH，判断出 为EF与底面ABCD所成的角，即 ．设正
方体的棱长为a，利用外接球的表面积求出 .判断出F的轨迹为以H为圆心， 为半径的圆在正方形
ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.
【详解】
如图1，取AD的中点H，连接EH，则 .
在正方体 中， 底面ABCD，所以 底面ABCD.
所以 为EF与底面ABCD所成的角，则 ．
设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，从而 ，所以F的轨迹为以H为圆心， 为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．
在图2中， ，
所以 ，则 ，
根据对称性可知 ，所以 ，
故动点F的轨迹周长为 ．
故选：A
8．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知第一象限内的点 既在双曲线
的渐近线上，又在抛物线 上，设 的左、右焦点分别为 、
，若 的焦点为 ，且 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得抛物线的准线方程为： ，过M作MA垂直准线 ，利用抛物线的定义得到
，则四边形 是正方形，从而 是等腰直角三角形，然后结合图形和离心率
公式即可求解.
【详解】因为 的左、右焦点分别为 、 ， 的焦点为 ，
所以抛物线的准线方程为： ，
又因为 是以 为底边的等腰三角形，
过M作MA垂直准线 ，如图所示：
则 ，所以四边形 是正方形，
则 是等腰直角三角形，所以 ，
， ，.
故选：B
9.（2022·广东·高三开学考试）已知双曲线 ， 、 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线
右支上一点， 是 的平分线，过 作 的垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为_______．
【答案】
【分析】延长 ，交 于 ，可证得 ，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半
径为2的圆的一部分，即可求出点 的轨迹方程.
【详解】延长 ，交 于 ，因为 ， ，
，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为M是双曲线C右支上一点，所以 ，
又因为P是 的中点，O是 的中点，所以 ，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为 ．
故答案为： .
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆 和双曲线 的左右顶点， ， 分别为双曲线和椭圆上不同于 ， 的动点，且满足 ，设直线
、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 ，则 _________．
【答案】0
【分析】依题意可得 ，即点 ， ， 三点共线，设 ， ，即可得到 与
，从而得解.
【详解】解：依题意 、 为椭圆 和双曲线 的公共顶点，
、 分别为双曲线和椭圆上不同于 、 的动点，
由 ， ，
即 ，
可得 ，则点 ， ， 三点共线．
设 ， ，
则 ，
同理可得 ，
， ， ，
，
．
11.（2022·上海黄浦·二模）将曲线 ( )与曲线 ( )合成的曲线记作 ．设 为
实数，斜率为 的直线与 交于 两点， 为线段 的中点，有下列两个结论：①存在 ，使得点 的轨迹总落在某个椭圆上；②存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【分析】对①，分析当 时点 的轨迹总落在某个椭圆上即可；
对②，设 ， ， ，则 ，利用点差法，化简可得
，故若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上则 为常数，再化简分析
推出无解即可
【详解】设 ， ， ，则 .
对①，当 时， ， ，易得 ，故两式相减有 ，易得此时 ，
故 ，所以 ，即 .代入 可得
，所以 ，故存在 ，使得点 的轨迹总落在椭圆
上.故①正确；
对②， ， .由题意，若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上，则
， ，
两式相减有 ，即 ，又 ，故
，即 ，又 ，故若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条
直线上，则 为常数.即为定值，因为分子分母 次数不同，故若为定值
则 恒成立，即 ，无解.即不存在 ，使得点 的轨迹总落
在某条直线上
故选：C
12．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ，点 在
抛物线 上，点 在圆 上，直线 分别与圆 仅有1个交点，且与抛物线
的另一个交点分别为 ，若直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据题意求得 ，得到 ，设过点 与圆 相切直线的斜率为 ，得到切线方程
，利用 ，结合韦达定理，求得 ，联立方程组
，取得 ，得到 ，
结合 ，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线 的焦点到准线的距离为 ，可得 ，
所以抛物线的方程为 ，
又由 ，可得圆心坐标为 ，半径 ，
设过点 与圆 相切的直线的斜率为 ，
可得方程为 ，即 ，即 ，
则圆心到直线的距离为 ，整理得 ，可得 ，
联立方程组 ，可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为直线 的倾斜角为 ，所以
可得 ，
解得 或 .
故选：C.
13．（2021·全国·高三专题练习（文））如图，已知 分别为双曲线 的左、右焦
点，P为第一象限内一点，且满足 ，线段 与双曲线C交于点Q，若
，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取 的中点E，由已知可知 ，由三
线合一知三角形 为等腰三角形，再由余弦的定义表示 的余弦值，又由双曲线的定义表示 ，
最后在 中，由余弦定理构建方程，求得 ，将其代入渐近线方程，得答案.
【详解】取线段 的中点E，连接 ，
因为 ，所以 ，
故三角形 为等腰三角形，且 ．
在 中， ，
连接 ，又 ，点Q在双曲线C上，
所以由双曲线的定义可得， ，故 ．
在 中，由余弦定理得，
．
整理可得 ，所以 ，
故双曲线C的渐近线方程为 ．
故选：B
【点睛】本题考查由几何关系求双曲线的渐近线，由余弦定理构建方程，还考查了平面向量加法的平行四
边形法则和垂直关系，属于难题.
14．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（理））已知抛物线 的焦点为 ，平行 轴的直
线 与圆 交于 两点（点 在点 的上方）， 与 交于点 ，则 周长的取值范
围是____________
【答案】【分析】过点 作 垂直与抛物线的准线，垂足为点 ，由抛物线的定义得 ，从而得出
的周长为 ，考查直线 与圆 相切和过圆心 ，得出 、 、 不共线时 的范围，
进而得出 周长的取值范围．
【详解】如下图所示：
抛物线 的焦点 ，准线为 ，过点 作 ，垂足为点 ，
由抛物线的定义得 ，圆 的圆心为点 ，半径长为 ，
则 的周长 ，
当直线 与圆 相切时，则点 、 重合，此时 ， ；
当直线 过点 时，则点 、 、 三点共线，则 ．
由于 、 、 不能共线，则 ，所以， ，即 ，
因此， 的周长的取值范围是 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问
题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，
有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
15．（2021·河南省实验中学模拟预测（理））已知直线 与椭圆 相切于第一象限的点
，且直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，当 ( 为坐标原点)的面积最小时，
( 、 是椭圆的两个焦点)，若此时在 中， 的平分线的长度为 ，则实数 的值是
__________．
【答案】
【详解】分析：求出切线方程，可得三角形面积，利用基本不等式求出最小值时切点坐标，设，利用余弦定理结合椭圆的定义，由三角形面积公式可得 ， ，根据
与椭圆的定义即可的结果.
详解：由题意，切线方程为 ，
直线 与 轴分别相交于点 ，
，
，
，
，
，当且仅当 时，
为坐标原点）的面积最小，
设 ，
由余弦定理可得 ，
，
‘
， ，
的内角平分线长度为 ，
，
，
，故答案为 .
点睛：本题考查椭圆的切线方程、椭圆的定义、椭圆几何性质以及利用基本不等式求最值、三角形面积公
式定义域、余弦定理的应用，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题.在解答与椭圆两
个焦点有关的三角形问题时，往往综合利用椭圆的定义与余弦定理解答.
