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第35讲 圆锥曲线基础过关小题
【知识点总结】
一．椭圆的定义
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫
做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表示为：
注明：当 时，点的轨迹是线段；
当 时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
焦点的位
焦点在 轴上 焦点在 轴上
置
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （ ）
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 短轴长 长轴长 短轴长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、焦距
离心率
点和椭圆
的关系
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= （最短的过焦点的弦）
设直线与椭圆的两个交点为 ， , ,
则弦长
弦长公式
（其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式）
三、双曲线的定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当 时，点的轨迹是以 和 为端点的两条射线；当 时，点的轨迹是线段 的
垂直平分线.
（3） 时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 ， 的值），注意
的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
标准方
程y
B
A 1 2
图形
F A
1 2
F x y
2 F
1
B
1 A
1
B 1 B 2
x
A
2
焦点坐
标 ， ，
F
2
对称性 关于 ， 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐
标 ， ，
范围
实轴、
实轴长为 ，虚轴长为
虚轴
离心率
渐近线
方程 令 ， 令 ，
焦点到渐近线的距离为 焦点到渐近线的距离为
点和双
曲线
的位置
关系
共渐近
线的双
曲线方
程
设直线与双曲线两交点为 ， ， .
弦长公 则弦长 ，
式
，其中“ ”是消“ ”后关于“
”的一元二次方程的“ ”系数.通径
通径（过焦点且垂直于 的弦）是同支中的最短弦，其长为
五、抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 叫抛物线的焦
点，定直线 叫做抛物线的准线.
注 若在定义中有 ，则动点的轨迹为 的垂线，垂足为点 .
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有 4种形式： ，其中一次项与对称轴
一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）
表10-3
标准
方程
y
y y y
图形 l
F
O F x
F O x O x O x
对称 l 轴 l l 轴 F
轴
顶点 原点
焦点
坐标
准线
方程
三、抛物线中常用的结论
1. 点 与抛物线 的关系
（1） 在抛物线内（含焦点） .
（2） 在抛物线上 .
（3） 在抛物线外 .
2. 焦半径
抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径，若 ，则焦半径 ，
.
3. 的几何意义
为焦点 到准线 的距离，即焦准距， 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦
若 为抛物线 的焦点弦， ， ，则有以下结论：
（1） .
（2） .
（3）焦点弦长公式1： ， ，当 时，焦点弦取最小值 ，
即所有焦点弦中通径最短，其长度为 .
焦点弦长公式2： （ 为直线 与对称轴的夹角）.
（4） 的面积公式： （ 为直线 与对称轴的夹角）.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆C：x2＋y2
－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
圆C：(x－1)2＋y2＝16，∴ 2a＝4，即a＝2．由 ，
而 ，所以椭圆的标准方程是： ，
故选：B
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】B
【详解】对于A，当m＞n＞0时，有 ，
方程化为 ，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为 ，
该方程表示半径为 的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为 ，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线 的中心在原点，焦点在x轴上，
与抛物线 的准线交于A、B两点， ，则 的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【详解】
解：设等轴双曲线 的方程为 ． ，①
抛物线 ， ， ， ．
抛物线的准线方程为 ．
设等轴双曲线与抛物线的准线 的两个交点 ， ， ，
则 ， ．
将 ， 代入①，得 ，
等轴双曲线 的方程为 ，即， 的实轴长为 ．
故选： ．
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C： ，右顶点为A，以A
为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 ，则有
（ ）A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为
【答案】AC
【详解】
双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30° ，
可得： ，即 ，故e ．
且 ，故渐近线方程为渐近线方程为
故选：AC．
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）
A．椭圆 的长轴长为4，短轴长为
B．离心率为 的椭圆较离心率为 的椭圆来得扁
C．椭圆 的焦点在 轴上且焦距为2
D．椭圆 的离心率为
【答案】ABD
【详解】
对于A：椭圆 中， ，
故长轴长为4，短轴长为 ，故A正确；
对于B：因为椭圆的离心率越大，该椭圆越扁，所以离心率为 的椭圆较离心率为 的椭圆来得扁，故B正确；
对于C：椭圆 的焦点在 轴上，故C错误；
对于D：椭圆 中， ，故离心率为 ；
故选：ABD
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆 ： 的一个焦点坐标为 ，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B． 的长轴长为 C． 的短轴长为 D． 的离心率为
【答案】AD
【详解】
由已知可得 ，解得 或 (舍去)，
椭圆 的方程为
∴ ， ，即 ， ，
长轴长为 ，短轴长 ，离心率 .
故选：AD.
（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F，F 分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P
1 2
是其一条渐近线上一点，且以线段FF 为直径的圆经过点P，则（ ）
1 2
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以FF 为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
1 2
C．点P的横坐标为±1
D．△PFF 的面积为
1 2
【答案】ACD
【详解】
等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知FF＝ ，
1 2
所以以FF 为直径的圆,圆心为 ，半径为 ，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
1 2点P(x，y)在圆x2＋y2＝2上，
0 0
不妨设点P(x，y)在直线y＝x上，
0 0所以由 解得|x|＝1，
0
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PFF 的面积为 ，故D正确．
1 2
故选：ACD.
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 与椭圆
有相同的焦距，且一条渐近线方程为 ，则双曲线 的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】
解： 椭圆 中， ，
焦距 ，
双曲线 与椭圆 有相同的焦距，一条渐近线方程为 ，
设双曲线的方程为 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
双曲线的方程为 ；
当 时， ，解得 ，
双曲线的方程为 ；
综上，双曲线的方程可能为 或 ．
故选：AD.
例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线 焦点 的直线 交拋物线于
两点，若两点的横坐标之和为5，则 ___________.【答案】7
【详解】
由抛物线方程可得 ，则由抛物线定义可得 .
故答案为：7.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上
的点P满足 轴， ，则该椭圆的离心率为___________．
【答案】
【详解】
设 ，则 .
由椭圆的定义可知： ，所以 .
所以
因为 轴，所以 为直角三角形，
由勾股定理得： ，
即 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 为椭圆 上一点，若 到一个焦点的距离为1，则
到另一个焦点的距离为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．12
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义求解.
【详解】
椭圆 的长轴长为 ，由椭圆的定义得： ，
又因为 到一个焦点的距离为1，即 ，
所以 到另一个焦点的距离为 ，
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左右焦点分别是 ， ，椭圆上任
意一点到 ， 的距离之和为4，过焦点 且垂直于 轴的直线交椭圆 于 ， 两点，若线段 的长
为3，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件结合椭圆定义求出a，设出点F 坐标，由给定弦长求出b即可得解.
2
【详解】
依题意，由椭圆定义得 ，即 ，
令椭圆 ： 的半焦距为c，则F(c，0)，直线AB：x=c，
2
由 得 ，于是得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，
且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】D
【分析】先由椭圆方程求出 ，再利用椭圆的定义进行求解.
【详解】由椭圆 ，得： ，
由题意可得 的周长为:
.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆 ，F，F 分别为椭圆的左、右焦点，
1 2
若椭圆上存在一点P，使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合椭圆定义求出焦半径 ，利用 可得离心率的不等关系，求得其范围．
【详解】
所以 ，又 ，所以 ，
，
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设 是椭圆 上的点．若 是椭圆的两个焦点，则
等于A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D【详解】
试题分析：因为椭圆的方程为 ，所以 ，由椭圆的的定义知 ，
故选D．
考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义．
6．（2022·浙江·高三专题练习）若动点 始终满足关系式 ，则动点
M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由等式 表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】
因动点 满足关系式 ，
则该等式表示点 到两个定点 的距离的和为8，而 ，
即动点M的轨迹是以 为焦点，长轴长 的椭圆，于是短半轴长b有 ，
所以动点M的轨迹方程为 .
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆 的圆心为 ，点 是圆内一定点，点 为圆周上
任一点，线段 的垂直平分线与 的连线交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D【分析】
由垂直平分线的性质可知 ，从而得到 ，可知 轨迹满足椭圆定义，可得 ，
进而求得 ，从而得到所求轨迹方程.
【详解】
为 垂直平分线上的一点
点的轨迹是以 为焦点的椭圆 ，
的轨迹方程为
故选：
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为
，过 的直线与椭圆C交于A，B两点．若 的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用椭圆的定义，可求解a，由椭圆的离心率求得c，即可得到b，得到结果.
【详解】
如图：由椭圆的定义可知， 的周长为4a，
∴4a=8,a=2,又离心率为 ，
∴c=1，
b2 ，
所以椭圆方程为 ,
故选A．
【点睛】
本题考查椭圆的定义及简单性质的应用，属于基础题．
9．（2022·全国·高三专题练习）设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且
.则 的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
利用椭圆的几何性质，得到 ， ，进而利用 得出
，进而可求出
【详解】
解：由椭圆 的方程可得 ，
所以 ，得
且 ， ，
在 中，由余弦定理可得，
而 ，所以， ，
又因为， ，所以 ，所以，
故选：B
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ､ 是椭圆 ： ( )的两个焦点， 为椭圆 上
的一点，且 .若 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 的面积以及该三角形为直角三角形可得 ， ，然后结合
，简单计算即可.
【详解】
依题意有 ，所以
又 ， ，所以 ，
又 ，可得 ，
即 ，则 ，
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以 为直径的
圆过点P，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，在 中，设 ，则 ，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.
【详解】
在 中，设 ，则 ，
又由椭圆定义可知
则离心率 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆
的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.
12．（2022·全国·高三专题练习）如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． ， D．
【答案】D
【分析】
化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得 ，求解此不等式可得 的取值范围.
【详解】
由方程 ，可得 ，
因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，可得 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得 的关系，即可求解.
【详解】由 ，根据选项中的椭圆的方程，可得 的值满足 ，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆 的离心率最大，故其形状最扁．
故选：A.
14．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．5 D．9
【答案】A
【分析】
由焦点坐标及椭圆方程中参数关系有 ，即可求参数m.
【详解】
由题设知： ，可得 .
故选：A.
15．（2022·全国·高三专题练习）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准
方程为（ ）
A． ＋y2＝1 B． ＋y2＝1
C． ＋y2＝1或 D．以上答案都不正确
【答案】C
【分析】
由直线方程得直线与坐标轴的交点，分焦点在x轴上、焦点在y轴上讨论可得答案.
【详解】
由直线方程x－2y＋2＝0 得直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为 ；当焦点在y轴
上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为 .
故选：C.16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭
圆于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，可得 ， ，将 两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求
出 = = = ，进而可求出 的值.
【详解】
设 ，则 ， ，
则 ，
两式相减得： ，
∴ = = = ，
又 = = ，∴ ，
联立 ，得 .
∴椭圆方程为 .
故选：D．
17．（2022·全国·高三专题练习）过点(－3，2)且与 有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
先得焦点坐标，设方程为 ，将点 代入解出 的值，进而可得结果.
【详解】因为焦点坐标为 ，设方程为 ，
将 代入方程可得 ，解得 ，故方程为 ，
故选：A.
18．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆过点 和点 ，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B． 或
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】
设经过两点 和点 的椭圆标准方程为 ，利用待定系数法
能求出椭圆方程．
【详解】
设经过两点 和点 的椭圆标准方程为
，
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为 ．
故选：A．
19．（2022·浙江·高三专题练习）已知点 是椭圆 上的一点，椭圆的长轴
长是焦距的 倍，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】
由长轴长是焦距的 得 ，再把已知点的坐标代入，结合 可解得 得椭圆方程．
【详解】由题意 ，解得 ，所以椭圆方程为 ．
故选：D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 经过点 ，且 的离心率为 ，
则 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.
【详解】
依题意可得 ，解得 ，
故 的方程是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.
21．（2022·上海·高三专题练习）若椭圆的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，则该椭圆的标
准方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由题意得到 ，求出 ，再由椭圆的焦点在 轴上，设椭圆方程为： ，将代入方程，即可求出结果.
【详解】
因为焦距为 ，所以 ，即 ；
又椭圆的焦点在 轴上，所以设椭圆方程为： ，
又椭圆过点 ，所以 ，解得 ，
因此所求椭圆的方程为： .
故选D
【点睛】
本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，
属于常考题型.
22．（2022·全国·高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点 ， 在 轴上， 是椭圆上一点，
且 、 、 成等差数列，则椭圆方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由于 ， ， 成等差数列，及 是椭圆上的一点，可得 ，即可得到
，又 是椭圆上一点，利用待定系数法即可．
【详解】
解： ， ， 成等差数列， 是椭圆上的一点，
，
．设椭圆方程为 ，则
解得 ， ， ．故椭圆的方程为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与性质，考查待定系数法的运用，正确设出椭圆的方程是关键．
23．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而设双曲线的方程，根据点 在双曲线上，代入解方程最终求
出双曲线的方程．
【详解】
椭圆 的焦点坐标是 ．
设双曲线的标准方程为 ，
因为双曲线过点 ，
所以 ，又 ，
解得 ，
所以所求双曲线的标准方程是 ．
故选：B.
24．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆 与 关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
【答案】D
【分析】
分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案【详解】
由题意，对于椭圆 ，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝ ＝4，则离心率e＝ ＝ ，对于椭圆 ，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝ ≠5，b＝ ≠3，
所以c＝ ＝4，则离心率e＝ ＝ ≠ ，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
25．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ，
为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，设 ，可得 ， ，可将 和 均用 表示，即可计算出该椭圆的离心率.
【详解】
设该椭圆的焦距为 ，如下图所示：
设 ， 轴， ，
， ，
由椭圆定义可得 ，因此，该椭圆的离心率为 .
故选：B.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 ，F、F 分别为椭圆的左、右焦点，
1 2
A为椭圆的上顶点，直线AF 交椭圆于另一点B，若∠FAB＝90°，则此椭圆的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由∠FAB＝90°，得△FAF 为等腰直角三角形，从而得 ，易得离心率．
1 1 2
【详解】
若∠FAB＝90°，则△FAF 为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF|，即b＝c．
1 1 2 2
所以 ， ．
故选：C．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知F，F 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在
1 2
点P，使∠FPF=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
如图，椭圆上存在点P，使得PF⊥PF，化为 ，即可得出椭圆的离心率的范围.
1 2
【详解】
若椭圆上存在点P，使得PF⊥PF，
1 2
则以原点为圆心，FF 为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
1 2
可得 ，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥ ，又e<1，所以e∈ ．
故选：B
28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆
相切，则实数m的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的离心率为 ，得 ，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出．
【详解】
由题意知， ，则 ，∵直线 ，即 ，代入 得，
，由 解得 ．
故选：B．
29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 是椭圆 的左右焦点，椭圆上一点M满足： ，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
根据椭圆定义和余弦定理，即可求解.
【详解】
设 ，由椭圆定义知： .由余弦定理得： ，即 ，所以
.故选D.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别是 ， ，直线
与椭圆 交于 ， 两点， ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知， ，设 ，由 以及椭圆定义可得 ，
，在 中再根据余弦定理即可得到 ，从而可求出椭圆 的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得 .设 ，则 .由椭圆的定义，知 ，即
，解得 ，故 ， .
在 中，由余弦定理，得 ，即，则 ，故 .
故选：B.
31．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线 上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
【答案】A
【分析】
直接根据双曲线的定义得到答案.
【详解】
设P到另一个焦点的距离为d， ，则 ＝2×8＝16，∴d＝20，
故选：A.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且
；则C的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
结合双曲线的定义列式求得双曲线的离心率.
【详解】
.
故选：B
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左右焦点为 ，过 的直线交双曲
线右支于 ，若 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 根据 ，且 ，结合双曲线的定义求得 ，再 在 中，利用勾股定理求解.
【详解】设 因为 ，且 ，
所以 ，
由双曲线的定义得： ， ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以在 中， ，
即 ，
解得 ，
故选：D
34．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 ： 的一个焦点为 ，则双曲线 的一
条渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题知 ,双曲线的焦点在 轴上,进而计算 ,再求渐近线方程即可得答案.
【详解】
解:由题知 ,双曲线的焦点在 轴上,
所以 ,
所以双曲线的渐近线为
故选:B35．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为 ，则下列关于双曲线说法正确的是
（ ）
A．虚轴长为4 B．焦距为C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】D
【分析】
根据双曲线方程求得 的值，由此求得虚轴、焦距、离心率和渐近线方程，由此判断出正确选项.
【详解】
双曲线的方程为 ， ，可得虚轴长为6，实轴长为4，离心率 ，
渐近线方程为： ，即 ．所以ABC选项错误，D选项正确.
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查根据双曲线方程求 ，考查双曲线虚轴、焦距、离心率和渐近线方程的求法，属于基
础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，它的焦距
为2，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据双曲线 的一条渐近线方程为 ，可得 ，再结合焦距为2和 ，
求得 ，即可得解.
【详解】
解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，
又因焦距为2，即 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：B.37．（2022·全国·高三专题练习）过点 且与椭圆 有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设双曲线的方程为 ，再代点解方程 即得解.
【详解】
解：由 得 ，
所以椭圆的焦点为 .
设双曲线的方程为 ，
因为双曲线过点 ，
所以 .
所以双曲线的方程为 .
故选：D
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 是双曲线 ： 的右焦点，过 作与 轴垂
直的直线与双曲线交于 . 两点，过 作一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的标准方
程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别根据所给双曲线方程求出 ， ，根据 解出 即可.
【详解】
设 ，代入双曲线方程可得 ，
所以 ，不妨取一条渐近线 ，则 到直线的距离 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ,
所以双曲线的方程为 ，
故选：A
39．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的离心率 ，虚轴长为 ，则其标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】
根据给定条件结合 求出 ，再按焦点位置即可写出标准方程.
【详解】
设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则 ，即 ，
于是得 ，而 ，解得 ，
所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为 ，当焦点在y轴上时，双曲线方程为 .
故选：D
40．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
根据离心率可得 ，再由 可得曲线的方程为 ，然后将点代入即可求解.
【详解】，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
41．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线 的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】
求出焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出距离.
【详解】
设双曲线 的一个焦点 ，其中 ，渐近线方程： ，则F到渐近线的
距离d为： .
故选：C
42．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线 的焦点F与双曲线 的一个焦点重合，则n的
值为（ ）
A． B．1 C．2 D．13
【答案】B
【分析】
计算抛物线焦点为 ，计算得到答案.
【详解】
抛物线 的焦点 ，故 ， .
故选： .
【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.
43．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，则的焦距等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
根据渐近线方程可求 ，从而可求双曲线的焦距.
【详解】
由双曲线 ： 可得其渐近线方程为 ，
故 ，故半焦距 ，故焦距为 ，
故选：C.
44．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 与双曲线 有相同的焦点.则 的渐近线
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据两个双曲线有相同的焦点，由 ，得到双曲线 的方程求解.
【详解】
由 ，得 ，
由题得 ，
解得 ，
所以 ，
所以 的渐近线方程为 .
故选：C.
45．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C与椭圆 有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在 轴上，且 ，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由
焦点到该双曲线渐近线的距离等于 及双曲线中 即可求解.
【详解】
解：因为椭圆的方程为 ，所以椭圆的焦点坐标为 ，
由题意，双曲线C的焦点在 轴上，且 ，
设双曲线C的方程为 ，则有 ，
其渐近线方程为 ，即 ，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有 ，所以 ，
所以双曲线C的方程为 ，
故选：A.
46．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，
则双曲线 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【分析】
先求出m，再求出焦点坐标和短轴顶点坐标，直接求面积即可.
【详解】
因为双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，
所以 ，解得：m=9.双曲线 的两个焦点为 ，虚轴的一个端点 .
所以三角形的面积为 .故选：B
47．（2022·浙江·高三专题练习）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则该双曲
线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径即可求得.
【详解】
双曲线的渐近线方程为 ，即 ，∵a>0，则 ，解得 ，则该双曲线的实
轴长为 .
故选：B.
48．（2022·全国·高三专题练习）直线 是双曲线等 的一条渐近线，且双
曲线的一个顶点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】
由双曲线的一个顶点到渐近线的距离求得 ，再由渐近线方程的斜率求得答案.
【详解】
双曲线的顶点不妨设为 ，到渐近线 的距离为 ，
得 ，又渐近线方程为 ，得 ，解得 ，∴ .
故选：A.49．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，则该双曲
线的渐近线方程为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】A【分析】
由条件求出双曲线的方程，然后可得答案.
【详解】
因为双曲线的顶点坐标为 ，焦点坐标为
所以 ，所以 ，所以双曲线的方程为
所以其渐近线方程为 和
故选：A
50．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 求出 即可
【详解】
因为 ，所以
所以其渐近线方程为
故选：A
【点睛】
在椭圆中有 ，在双曲线中有 .
51．（2022·全国·高三专题练习）渐近线方程为 的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2【答案】C
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计
算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得 ，所以c
则该双曲线的离心率为 e ，
故选C．
【点睛】
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
52．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线C： 的一条渐近线与直线 平行，则m的值
为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
首先判断 ，即可表示出双曲线的渐近线方程，再根据两直线平行斜率相等得到方程，即可求出 ；
【详解】
解：双曲线C： ，所以 ，则双曲线的渐近线为 ，又双曲线的一条渐近线与直线
平行，所以 ，所以 ，
故选：B
53．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的一条渐
近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，可知该双曲线焦点在 轴上，则它的渐近线方程为 ，再根据双曲线离心率
，求出 的值，从而可求出该双曲线的一条渐近线方程.【详解】
解：根据题意，双曲线 的离心率 ，
可知该双曲线焦点在 轴上，则它的渐近线方程为 ，而 ，则 ，所以 ，
故其中一条渐近线方程为 ，
故选：D.
54．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ， 为双曲线 ： 的两个焦点，若双曲
线 的两个顶点恰好将线段 三等分，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由双曲线 的两个顶点恰好将线段 三等分得到 求解.
【详解】
因为双曲线 的两个顶点恰好将线段 三等分点，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 ，
故选：A．
55．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，
O为坐标原点，若 ，则△PFO的面积为A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，
利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由 ．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 上，
，故选A．
【点睛】
忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可
求三角形面积．
56．（2022·河北张家口·高三期末）已知 是拋物线 上一点， 是 的焦点，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】
结合抛物线的定义以及抛物线的标准方程列方程，化简求得 的值.
【详解】
由定义 ，又 ，
所以 ，解得 .
故选：C
57．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦
点为 ，点 在抛物线上，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据点在抛物线上，可求出参数m的值，方法一，可根据两点间的距离公式求出 的值；方法二，可由
抛物线的定义，根据到焦点的距离与到准线的距离相等，得出结论.
【详解】
抛物线的焦半径求解法一：由题意可知，点 在抛物线上，
则 ，解得 ，即 ，且 ，
所以 .
故选：D．
法二：由题意可知，抛物线的渐近线为 ，
点 在抛物线上，则 ，解得 ，即 ，
则由抛物线的定义可得， .
故选：D．
58．（2022·全国·高三专题练习）抛物线 上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，由抛物线的定义，列出方程求得 ，代入抛物线的方程，即可求解.
【详解】
设 ，由抛物线的定义，可得 ，解得 ，
代入抛物线的方程，可得 ，解得 ，
所以点P点坐标为 ．
故选：D.
59．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 是 上的一点，
到直线 的距离是 到 的准线距离的2倍，且 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A
【分析】
利用抛物线的定义求解.【详解】
设 ，
由题意得 ，
解得 ，
故选：A
60．（2022·全国·高三专题练习）已知A（3，2），点F为抛物线 的焦点，点P在抛物线上移动，
为使 取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
【答案】B
【分析】
设点P到准线的距离为 ，根据抛物线的定义可知 ，即可根据点到直线的距离最短求
出．
【详解】
如图所示：
设点P到准线的距离为 ，准线方程为 ，
所以 ，当且仅当点 为 与抛物线的交点时， 取得最小值，
此时点P的坐标为 ．
故选：B．61．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点M（6，y）到焦点F的距离为8，
则p＝（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
解方程 即得解.
【详解】
因为 到焦点F的距离为8，
所以 ，得 .
故选：D
62．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 是C上一点， ，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【详解】
由抛物线 可得 ，
准线方程 ，
， 是 上一点， ， ．
，
解得 ．
故选：B．
63．（2022·全国·高三专题练习（理））若抛物线 （ ）上一点 到其焦点的距离为2，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用焦半径公式解方程算出 即可获解.
【详解】
∵抛物线 上的点 到焦点的距离为2，
∴ ，即 ，则 ，
∴ ，则 .
故选：D.
64．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的
交点的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x
【答案】A
【分析】
由直线求出抛物线焦点坐标，根据焦点坐标求出抛物线方程.
【详解】
对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则 ＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则 ＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x．
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．
故选：A
65．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线 ，过焦点 且倾斜角为 的直线交 于 ，
两点，则弦 的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先求得 的方程为 ，联立方程组，结合根与系数的关系，求得 ，进而求得弦
的中点到准线的距离，得到答案.
【详解】
由题意，抛物线 ，可得焦点 ，准线方程为 ，
设 ， ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，所以弦 的中点的横坐标为 ，
则弦 的中点到准线的距离为 .
故选：C.
66．（2022·江苏·高三专题练习）过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 两点（点 在第一象
限），若直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A，B坐标，即可由抛物线定义求得 ，得出所求.
【详解】
由题可得 ，设 ，（ ），
直线 的倾斜角为 ， 直线斜率为 ，
则直线l的方程为 ，联立 可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可得 ，
则 .
故选：B.67．（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C ：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C 是以F为圆心， 为
1 2
半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C ，C 从上到下依次相交于点A，B，C，D，则 ＝（ ）
1 2
A．16 B．4
C． D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线的定义以及圆的知识将 转化为 ，再联立直线与抛物线，解得 ， 即可得到答案.
【详解】
如图：
因为直线4x－3y－2p＝0过C 的焦点F(C 的圆心)，
1 2
故|BF|＝|CF|＝ ，所以 ＝ ，
由抛物线的定义得|AF|－ ＝ ，|DF|－ ＝ ，由 ，整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得 ， ，
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的性质，考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的交点，属于中档题.
68．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 被斜率为1的直线截得的弦的
中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】B
【分析】
设弦的坐标分别为(x，y)，(x，y)，代入双曲线方程并作差整理得：
1 1 2 2
，再结合直线的斜率为1和弦的中点，可得 ，从而可求出离
心率
【详解】
设弦的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则
1 1 2 2
， ，
两式作差整理得： ．
∵斜率为1，弦的中点为（4，2），
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，∴ . 故 .
故选：B
69．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被双曲线C： ﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0
【答案】C
【分析】
运用代入法、点差法求出直线l的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】
解：设P，Q的坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2
∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x+x=2，y+y=4，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ﹣(y﹣y)(y+y)=0，
1 2 1 2
整理得 ，即直线l的斜率为 ，
故直线l的方程为y﹣2= (x﹣1)，
即x﹣8y+15=0，
故选：C.
二、多选题
70．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，P为椭圆C上异于
长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周长为10
B． 面积的最大值为
C．当 时， 的面积为
D．存在点P使得
【答案】AB
【分析】由椭圆 的方程可得 ，由 的周长为 可判断A，当点位于短轴端点时， 的面积最大，可判断B，利用余弦定理可椭圆的定义求出 ，可判
断C，设 ，则 ，由 可得 ，解出方程可判断D.
【详解】
由椭圆 的方程可得
的周长为 ，故A正确
当点 位于短轴端点时， 的面积最大，最大值为 ，故B正确
当 时，由余弦定理可得
所以 ，所以 ，可得
所以 的面积为 ，故C错误
设 ，则
由 可得 ，从而可得解得 ，不成立，故D错误
故选：AB
71．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为 （ 且 ），则下列结论正
确的是（ ）
A．当 时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当 时，曲线C是离心率为 的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当 时，曲线C是渐近线方程为 的双曲线
【答案】AD
【分析】
根据给定方程，逐一利用各个选项中的条件，再列式计算并判断作答.【详解】
对于A，当 时，曲线C的方程为 ，表示双曲线，且 ，即焦距为4，A正确；
对于B，当 时，曲线C的方程为 ，表示椭圆，离心率 ，B错误；对于C，令 ，得 ， ，该方程无解，则曲线C不可能是一
个圆，C错误；
对于D，当 时，曲线C的方程为 ，表示双曲线，渐近线方程为 ，即
，D正确.
故选：AD
72．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（
）
A．当 ，曲线 为椭圆
B．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C．“ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件
D．不存在实数 使得曲线 为离心率为 的双曲线
【答案】BCD
【分析】
根据椭圆双曲线方程的特点分别判断每个选项即可.
【详解】
对A，若 ，则曲线方程 表示圆，故A错误；
对B，当 时，曲线方程为 ，表示双曲线，其渐近线方程为 ，故B正确；
对C，要使曲线为双曲线，需满足 ，解得 或 ，故“ 或 ”是“曲线
为双曲线”的充要条件，故C正确；
对D，若离心率为 ，则 ，则可得 ，则 或 ，两个方程均无解，故D
正确.
故选：BCD.73．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 )在抛物线 上，若
，则（ ）
A． B．
C． D． 的坐标为【答案】AC
【分析】
根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】
由题可知 ,由 ， ，
所以 ， .
故选：AC．
74．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物
线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【答案】BCD
【分析】
根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式
可判断D.
【详解】
易知点 的坐标为 ，选项A错误；
根据抛物线的性质知， 过焦点 时， ，选项B正确；
若 ，则 过点 ，则 的最小值即抛物线通径的长，为 ，即 ，选项C正确，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
过点 ， ， 分别作准线的垂线 ， ， 垂足分别为 ， ， ，所以 ， ．
所以 ，
所以线段 ，
所以线段 的中点 到 轴的距离为 ，选项D正确．
故选：BCD
75．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，抛物
线的焦点为 ，延长 与抛物线相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．
C． 的面积为 D．
【答案】AD
【分析】
根据条件求出 ，再联立直线与抛物线求出 ，进而求出结论．
【详解】
解： 点 在抛物线 上，
，
，焦点为 ，准线为 ， 对，
因为 ，故 ，
故直线 为： ，联立 或 ，
， ，
， ，
， 错，
， 对，
的面积为 ．故 错，
故选： ．
三、填空题
76．（2022·浙江·高三专题练习）已知点 ， 的周长是 ，则 的顶点 的轨
迹方程为___.
【答案】
【分析】
由于点P满足 ，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且 的椭圆（由于P
与M、N不共线，故 ），再利用待定系数法求解.
【详解】由于点P满足 ，
知点P的轨迹是以M、N为焦点，且 的椭圆（由于P与M、N不共线，故 ），
∴ ，
又 ，∴ ，故 的顶点P的轨迹方程为 ，
故答案为： .
77．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为________．
【答案】9
【分析】
根据椭圆的定义可得 ，结合基本不等式即可求得 的最大值.
【详解】
∵ 在椭圆 上
∴
∴根据基本不等式可得 ，即 ，当且仅当 时取
等号.
故答案为：9.
78．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上的点 满足
，则 ________
【答案】
【分析】
根据椭圆定义，得到 ，再由题中条件，即可得出结果.
【详解】
由题意，在椭圆 中， ，
又 ，所以 ，因此 .
故答案为：【点睛】
本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.
79．（2022·全国·高三专题练习）点P是椭圆 上一点， 是椭圆的两个焦点，且 的内
切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为________．
【答案】
【分析】
由椭圆的定义可知 ，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形 分成三个三
角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．
【详解】
解：根据椭圆的定义可知 ，
令内切圆圆心为O
则
又∵ ．
所以 ， ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆的定义以及焦点三角形的内切圆问题，属于中档题.
80．（2022·浙江·高三专题练习）过点( ，－ )，且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程为
_______．
【答案】
【分析】
由题设条件设出椭圆方程 ，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.
【详解】
所求椭圆与椭圆 的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点( ，－ )在所求椭圆上，即 ，联立两个方程得 ，即 ，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为 .
故答案为：
81．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为2，且经过点 ，则该椭圆的标准
方程为______．
【答案】
【分析】
根据焦距和与 轴交点得到 ，由 求得 ，进而得到标准方程.
【详解】
椭圆焦距为
又焦点在 轴上，经过点
椭圆的标准方程为
故答案为
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.
82．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆 有相同离心率且经过点 的椭圆标准方程为
________．
【答案】 或
【分析】
分焦点在 轴上两种情况，结合基本量间的关系计算求解即可
【详解】方法一 ∵ ，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
，则 ，从而 ，又 ，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为 .
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为 ，
则 ，且 ，解得
故所求椭圆的标准方程为
故答案为： 或
83．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
，则椭圆方程为_____．
【答案】
【分析】
设椭圆方程为 （ , ,且 ）,将两点坐标代入椭圆方程，求出 即可.
【详解】
设椭圆方程为 （ , ,且 ）.
椭圆经过两点 ，则 ,解得 ,
所以所求椭圆方程为 .
故答案为：
84．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线 有共同的渐近线，且过点M（2,-2）的双曲线方程
为________.【答案】
【详解】
设双曲线方程为所以双曲线方程为
85．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的准线为 ，若M为 上的一个动点，设
点N的坐标为 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】
先求得抛物线 的方程，设 ，结合两点间的距离公式，求得 的最小值，由此求得 的最
小值.
【详解】
由题意知， ，
∴抛物线 ： .
设 ，由题意知 ，
则 ，
当 时， 取得最小值8，
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
86．（2022·全国·高三专题练习）О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若
，则三角形POF的面积为 _________.
【答案】
【分析】
由抛物线的焦半径公式（或定义）求得 点坐标，然后可计算三角形面积.
【详解】由题意，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，由 ，
设 ，则 , ,所以 ，即点 的坐标为 ，
则 的面积为 ．
故答案为： .87．（2022·全国·高三专题练习）直线 过抛物线 的焦点 ，与 交于 俩点，则
________．
【答案】10
【分析】
先求出 ，再利用公式可求 .
【详解】
因为直线 过抛物线 的焦点 ，故 即 ，
故抛物线 ，
设 ，
由 可得 ，
故 ，
故答案为：10.
