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第14讲 等差数列、等比数列基本量
【知识点总结】
一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在 中,当自变量 时,所对应的函数值
就构成一数列,通常记为 ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常
数叫做公差,常用字母 表示,即 .
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列 的首项是 ,公差是 ,则其通项公式为 ,是关于 的一次
型函数.或 ,公差 (直线的斜率)( ).
(3)等差中项.
若 成等差数列,那么 叫做 与 的等差中项,即 或 .在一个等差数列中,从第2
项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是
与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前 项和 (类似于 ),是关于
的 二次型函数 ( 二次项系数为 且常数项为 0 ). 的图像在过原点的直线 上或在过原点的抛物线
上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,
这个常数叫做公比,常用字母 表示,即 .
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项 ,是不含常数项的指数型函数.(3) .
(4)等比中项如果 成等比数列,那么 叫做 与 的等比中项,即 或 (两个同号实数的等比中
项有两个).
(5)等比数列的前 项和
二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当 时,则有 ,特别地,当 时,则有 .
(2)等差数列线性组合.
①设 是等差数列,则 也是等差数列.
②设 是等差数列,则 也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前 项和 的最值.
公差 为递增等差数列, 有最小值;
公差 为递减等差数列, 有最大值;
公差 为常数列.
特别地
若 ,则 有最大值(所有正项或非负项之和);
若 ,则 有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列 ,公差为 ,前 项和为 ,则 为等差数列,公差为 .
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若 时,则 ,特别地,当 时, .
(2)①设 为等比数列,则 ( 为非零常数), , 仍为等比数列.②设 与 为等比数列,则 也为等比数列.(3)等比数列 的单调性(等比数列的单调性由首项 与公比 决定).
当 或 时, 为递增数列;
当 或 时, 为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列 ,公比为 ,前 项和为 ,则 为等比数列,公比为 (当
时, 不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若 为正项等比数列,则 为等差数列.
(2)若 为等差数列,则 为等比数列.
(3)若 既是等差数列又是等比数列 是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{a}的首项为1，公差不为0.若a，a，a 成等比数列，则
n 2 3 6
{a}前6项的和为（ ）
n
A．－24 B．－3
C．3 D．8
【答案】A
【详解】
根据题意得
，即(a＋2d)2＝(a＋d)(a＋5d)，
1 1 1
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{a}的前6项和为 .
n
故选：A
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A．38 B．50 C．36 D．45【答案】D
【详解】．
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛a｝的前n项和为S，已知S = a +10a ，a = 9，则
n n 3 2 1 5
a=（ ）
1
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为S = a +10a，
3 2 1
所以 a +a= a +10a，
2 3 2 1
即a= 9a，即 = 9a，
3 1 1
解得 = 9，
又因为a = 9，
5
所以 = 9，
解得 ，
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{a}的前n项和记为S，若S ∶S=1∶2，则S ∶S=
n n 10 5 15 5
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解析:∵数列{a}为等比数列,且其前n项和记为S,
n n
∴S,S -S,S -S 成等比数列.
5 10 5 15 10
∵S ∶S=1∶2,即S = S,
10 5 10 5
∴等比数列S,S -S,S -S 的公比为 =- .
5 10 5 15 10∴S -S =- (S -S)= S.
15 10 10 5 5∴S = S+S = S.
15 5 10 5
∴S ∶S= .
15 5
故选：A.
例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层
中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，
下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【详解】
设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，所以 .
故选：C
例6．（2019·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知 是等差数列 前 项和， ， ，当取得最小值时 （ ）．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
【答案】D
【详解】
设等差数列 的公差为 ，∵ ， ，
∴ ， ，
联立解得： ， ，
∴ ，
令 ，解得 ．
当 取得最小值时 或7．
故选：D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ，
的前 项和为 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵ ，
∴ ，
故选：A
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ，且对任意的正整数n，是 和 的等差中项，证明： 是等差数列，并求 的通项公式．
【详解】
证明：由题知 ，
得 ，
所以 是以 为首项，公差为2的等差数列，即 ，
当 时，
，
当 时， 也符合题意，
所以 ，又
所以 .
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且点 在函数 的图
象上，求证： 是等比数列，并求 的通项公式：
【详解】
由点 在函数 的图象上，
可得 ，
所以 ，即 ，
也即 ，
由 ，所以 ，
所以 是首项和公比均为 的等比数列，
则 ，
所以 ；
例10．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列 是公比为 的等比数列，②是公差为1的等差数列，③ ，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，
使问题完整，并加以解答.
设数列 的前 项和为 ， ，对任意的 ，都有___________.已知数列 满足 ，
是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【详解】
记 ，从而有 ( ).
选择①，数列 是公比为 的等比数列，
因为 ，所以 ，即 .
所以 ，所以 .
由 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 或2时， 取得最大值，即 取得最大值.
所以存在 ，2，使得对任意的 ，都有 .
选择②，方法一： 是公差为1的等差数列，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
则 ，
当 时，上式成立，
所以 .
所以 ，从而 .由 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，即 取得最大值.
所以存在 ，使得对任意的 ，都有 .
方法二：利用“夹逼法”，即利用 来求解.，
由 ( )，得 ，解得 .
选择③，方法一： ，
则 ，
从而 ，
即 .
又 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 .
所以 ，从而 ，即 ，
所以数列 为单调递增数列，
故不存在 ，使得对任意的 ，都有 .
方法二：利用 求解.
， ，
则 ，
因为 ，所以不存在 ，使得对任意的 ，都有 .
【技能提升训练】
一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等差数列性质可知数列 为等差数列，由已知等式可求得其公差 ，结合等差数列通项公式
可求得 ，进而得到结果.
【详解】
数列 为等差数列， 数列 为等差数列，设其公差为 ，
又 ，解得： ，又 ，
， .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设数列 是公比为 的等比数列，数列 是公差为 的等差数列，运用等差数列和等比数列的通
项公式，以及等比数列和等差数列的中项性质，化简已知得 ， ，代入 即得解.
【详解】
设数列 是公比为 的等比数列，数列 是公差为 的等差数列，
若 ，
则 ， ，即为 ， ，
即 ， ，
则 ．
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公差
为（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3【答案】A
【分析】
设等差数列 的公差为 ，将条件转化为 和 表示，得到方程组，解得 的值.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，所以 ，
解得： .
故选：A.
4．（2021·湖北·高三阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．22 B．45 C．50 D．55
【答案】D
【分析】
利用等差中项和等差数列前n项和公式求解
【详解】
由题意得， ，
则 ，
故 .
故选：D
5．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））已知数列 的前 项和 ，且 满足 ，
，若 ，则 （ ）
A．9 B． C．10 D．【答案】B
【分析】
根据 判断出 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.
【详解】由 可知， 是等差数列，设公差为 ，所以 ，
由 ，所以 .
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，若对任意的n∈N*，
n n n n
都有 ＝ ，则 ＋ 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．
【详解】
由题意可知b＋b ＝b＋b ＝b＋b ＝2b，
3 13 5 11 1 15 8
∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{a}中，a＋3a＋a ＝120，则2a－a 的值是（ ）
n 1 8 15 9 10
A．20 B．22 C．24 D．8
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质可求.
【详解】
因为a＋3a＋a ＝5a＝120，所以a＝24，所以2a－a ＝a ＋a－a ＝a＝24.
1 8 15 8 8 9 10 10 8 10 8
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）设 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等差数列性质可知 ， ， 成等差数列，由此可构造方程求得结果.【详解】是等差数列， ， ， 成等差数列，
， .
故选：D.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 ，所有
偶数项之和为 ，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题可设等差数列 共有 项，然后通过 即可得出结果.
【详解】
设等差数列 共有 项，
则 ， ，中间项为 ，
故
，
，
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列 的前n项和为 ，若 ，则数列 的
通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得得 ，逐项排除可得答案.
【详解】
因为 是等差数列，且 ，得 ，
对于A， ，故错误；对于B， ，故正确；
对于C， ，故错误；
对于D， ，故错误.
故选：B.
11．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，
则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
等差数列前n项和 构成的数列{ }为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒
【详解】
设 的公差为d，
∵
∴ ，
即{ }为等差数列，公差为 ，
由 知 ，
故 ﹒
故选：A﹒12．（2021·安徽定远·高三阶段练习（理））等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的前 项和公式 ，由此能求出结果
【详解】
解：等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，
与 是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，
又等差数列的前 项和公式 ，
．所以
故选：B．
【点睛】
本题考查两个等差数列的前5项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性
质的合理运用．
13．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．28 B．34 C．40 D．44
【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质 并结合已知可求出 ，再利用等差数列性质可得
，即可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以由 ，可得
所以 ，
所以 ，故选：D
14．（2021·广东广州·高三阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，可得 ，再根据 ，得 ，从而可得出答案.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞
二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思
是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33
贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯
【答案】A
【分析】
由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要
的结果.
【详解】
解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a，a，a，a，a，
1 2 3 4 5
由数列{a}为等差数列，可记公差为d，依题意得：
n
，
解得a=64.4，d=﹣8.4，
1
所以a=64.4﹣33.6=30.8，
5
即戊所得钱数为30.8贯.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列项的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则（ ）
A． B．5 C．10 D．15
【答案】B
【分析】
利用等比中项和对数的运算性质可求得结果.
【详解】
因为等比数列 的各项均为正数，且 ，
所以 .
故选：B.
17．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若
， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等差中项和等比中项的性质分别求得 、 的值，然后利用特殊角的三角函数值可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得 ， ，
由等比中项的性质可得 ， ，
因此， .
故选：B.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 的前n项和为 ， ， ，则的公比为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】
因为 ， ， 为正项等比数列，
所以 ，解得 .
故选：B．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{a}中，每项均为正数，且aa＝81，则log a＋
n 3 8 3 1
log a＋…＋log a 等于（ ）
3 2 3 10
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【分析】
由对数运算法则，等比数列的性质求解．
【详解】
是等比数列，则 ，
所以log a＋log a＋…＋log a ．
3 1 3 2 3 10
故选：C．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}是等比数列，且a>0，aa＋2aa＋aa＝25，那么a
n n 2 4 3 5 4 6 3
＋a＝（ ）
5
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】
结合等比数列的中项性质以及完全平方公式即可求出结果.
【详解】
数列{a}是等比数列，所以 ，
n
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
故选：A.21．（2021·陕西安康·高三期中（理））等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （
）A．1 B．5 C．1或31 D．5或11
【答案】D
【分析】
由已知条件可得 ，求出公比 ，从而可求出结果
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，∴ 或1，
∴当 时， ，
当 时，
故选：D．
22．（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知 为等比数列， 是它的前n项和．若
，且 与 的等差中项为 ，则 （ ）
A．29 B．31 C．33 D．35
【答案】B
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由已知可得 和 ，代入等比数列的求和公式即可
【详解】
因为 ，
，
，
所以 ，，
故选：B.
23．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三阶段练习（文））记等比数列 的前 项和为 ，若
， ，则公比 （ ）A． B． C． D． 或2
【答案】D
【分析】
根据等比数列的性质可得 ，再由 ，可得 ，分别求出 ，即可得出答
案.
【详解】
解：在等比数列 中，若 ，则 ，
，所以 ，
由 ， ，解得 ，或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 或2.
故选：D.
24．（2021·山西运城·高三期中（文））数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由 可求得 的值.
【详解】
在等式 中，令 ，可得 ， ，所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于
中等题.
25．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【分析】
根据等比数列前 项和公式的结构求得 .
【详解】
设等比数列的公比为q，当 时， ，不合题意；
当 时，等比数列前 项和公式 ，
依题意 .
故选：A
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足 、 、 成
等差数列.其前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
先根据 ， ， 成等差数列以及 单调递减，求出公比 ，再由 即可求出 ，再根据等比数列通项公式以及前 项和公式即可求出.
【详解】
解：由 ， ， 成等差数列，
得： ，
设 的公比为 ，则 ，
解得： 或 ，
又 单调递减，
，
，
解得： ，
数列 的通项公式为： ，
.
故选：C．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等比数列，且 ， 与 的等差中项为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.【详解】
由 得 ，①
又 ，得 ，②由①②得 ， ， .
故选：A.
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a，a，9四个实数成等差数列，1，b，b，b，9五个数成
1 2 1 2 3
等比数列，则b（a﹣a）等于（ ）
2 2 1
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【答案】A
【分析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则有 ， ，
解之可得 ， ，
.
故选：A.
二、多选题
29．（2022·江苏·高三专题练习）等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，
下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
【答案】BD
【分析】
由题意可知 ，由已知条件 可得出 ，可判断出AB选项的正误，求出 关于 的
表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.
【详解】由于等差数列 是递增数列，则 ，A选项错误；
，则 ，可得 ，B选项正确；，
当 或 时， 最小，C选项错误；
令 ，可得 ，解得 或 .
，所以，满足 时 的最小值为 ，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
30．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 _______.
【答案】3
【分析】
根据条件可得 ，解出 ，即解.
【详解】
∵ 成等差数列，则 ，
由 为等比数列，设公比为q，则 ，
可得： ，解得 ，
所以 .
故答案为：3.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等差数列 的前 项和，且 ， ，
则当 取最大值时， 的值为___________.
【答案】7【分析】
根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.
【详解】
方法一：设数列 的公差为 ，则由题意得 ，解得则 .又 ，∴当 时， 取得最大值.
方法二：设等差数列 的公差为 .∵ ，∴ ，
∴ ，解得 ，
则 ，
令
解得 ，又 ，
∴ ，即数列 的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当 取得最大值时， .
故答案为：7.
32．（2022·上海宝山·一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则
___________.
【答案】
【分析】
根据通项公式列出方程求出 ，利用前n项和公式求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 是以2为公差的等差数列，
所以 ，
故答案为：33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，则
______．
【答案】15
【分析】
先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用 求得，进而根据等差数列性质可知 ，求得 ．
【详解】
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ．
故答案为：15
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和 有最小值，且 ，则使得
成立的 的最小值是________．
【答案】22
【分析】
根据等差数列 的前 项和 有最小值，得到公差 ，再由 ，得到
，利用等差数列的性质结合前n项和公式求解.
【详解】
因为等差数列 的前 项和 有最小值，
所以等差数列 的公差 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以使得 成立的 的最小值是22，
故答案为：2235．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 中， ， ，求 ____
【答案】
【分析】
利用等差数列等距离片段和的性质求 即可.
【详解】
由等差数列片段和的性质有 ，∴ .
故答案为：
36．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ，则公
比 等于________.
【答案】2
【分析】
由等比数列以及 ，可知 ，由已知条件结合等比数列通项公式可知
，联立方程求解，根据 可解的答案.
【详解】
解：由题意得
则 ，又因为
解得： 或 （舍去）
故答案为：2
37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列{a}中，各项均为正值，且aa ＋aa＝41，aa＝5，则
n 6 10 3 5 4 8
a＋a＝________．
4 8
【答案】
【详解】
分析：利用的等比数列的性质 ， 求解．详解：由题意 ，∴ ，
又 ，∴ ．
故答案为 ．
点睛：在等差数列和等比数列中一般可用基本量法求解，得数列的这个性质要尽量进行应用，若
是等差数列，若 ，则 ，若 ，则 ；若是等比数列，若 ，则 ，若 ，则 ．
38．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）若数列 为等比数列，且 ， ，则
___________.
【答案】256
【分析】
由等比数列片段和性质结合等比数列的通项公式，即可求解
【详解】
∵ 是等比数列，
∴ ， ， ， ， 为等比数列，
且公比 ，
∴ .
故答案为：
39．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， 为其前 项之和， ，则
______
【答案】260
【分析】
根据等比数列前n项和的性质，可知 ， ， 成等比数列，结合等比中项公式，即可求
解.
【详解】
解：根据等比数列前n项和的性质，
可知 ， ， 成等比数列，
则 ，即 ，解得 .
故答案为： .
40．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列 的前n项和 ，则
________．【答案】2
【分析】
由题设得 ，若 有 与 不相等，与假设矛盾，进而根据等比前n项和公式，
结合已知列方程求参数a即可.
【详解】
由题设， ，
若 时， ，故与 矛盾，
∴ ，即 ，显然成立.
故答案为：2.
四、解答题
41．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
【答案】答案见解析．
【分析】
首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前 项和公式证明结论即可．
【详解】
选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
设数列 的公差为 ，由题意可得： ， ，
数列的前 项和： ，
故 ，据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列 的公差为 ，则：
，数列 为等差数列，则： ，
即： ，整理可得： ， ．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得： ， ，
则数列 的公差为 ，
通项公式为： ，
据此可得，当 时， ，
当 时上式也成立，故数列的通项公式为： ，
由 ，可知数列 是等差数列．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， .
（1）证明数列 为等差数列；
（2）若数列 前n项和 ，求n的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【分析】
（1）根据等差数列定义，结合递推公式，可证明 ，即得证；
（2）由（1）可得 ，分组求和可得 ，化简 为
，解不等式即可
【详解】
（1）证明：因为
所以 ，因为 ，所以数列 为首项为 ，公差为 的等差数列.
（2）由（1）可得 ，即 .
令 ，则 ，故 为等比数列；
设 ，则 ，故 为等差数列.分组求和可得
，∴ ，∴ ，
∴n的最小值为5.
43．（2021·江西南昌·模拟预测（文））已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，根据已知条件列方程组求 、 ，写出通项公式 ；
（2）由（1）可知 时， ，而 ， ，分别求出 、 时数列 的前
项和 即可.
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，
∴ ，解得 ，
∴ .
（2）由（1）知： ，则 ，得 ，又 ，
∴ 时， ，而 ， ，
∴数列 的前 项和 ，而 ，，
∴ ，故 .
44．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且
（1）求 通项公式；
（2）求数列 的前 项和【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）根据 ，利用“ ”法求解.
（2）令 ，解得 ，然后分 ， 去掉绝对值，利用等差数列的前n项和公
式求解.
【详解】
（1）在等差数列 中，因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
（2）令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，
当 时， ，
，
所以 .
45．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 .（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的最大值及取得最大值时 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为 .
【分析】
（1）先由 求 通项公式，再利用定义法证明即可；
（2）先判断 的n的范围，得到数列的正负分布，即得何时 最大.【详解】
解：（1）证明：当 时， ，
又当 时， ，满足 ，
故 的通项公式为 ，
∴ .
故数列 是以32为首项， 为公差的等差数列；
（2）令 ，即 ，解得 ，
故数列 的前16项或前17项和最大，
此时 .
46．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足： .证明数列
是等比数列，并求数列 的通项；
【答案】证明见解析， .
【分析】
由已知数列b﹣a＝n，b＝2求得a，再将a +1＝2a+n，转化为 ，利用等比
n n 1 1 n+1 n
数列概念求解.
【详解】
证明：因为 ，所以 ．因为 ，所以 ，所以
．又 ，
所以 是首项为 ，公比为2的等比数列，所以 ．47．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列 满足： ， ．
（1）记 ，求证：数列 为等比数列；
（2）记 为数列 的前 项和，求 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）由已知可得 ，再由等比数列的定义即可证明.
（2）由（1）可得 ，再由等比数列以及等差数列的前 项和公式，分组求和即可求解.
【详解】
（1）∵ ，∴ ，
∴ ，∴数列 是以 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）知 ，∴ ，
．
48．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}满足 ， ， ， 成等差数列，证明:数
n
列 是等比数列，并求{a}的通项公式.
n
【答案】证明见解析， ；
【分析】
由已知得4a =3a+aa ，化简变形得 ，则可得 ，求出 ，所以
n+1 n n n+1
可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而可求出数的通项公式
【详解】
由已知得4a =3a+aa ，
n+1 n n n+1
∵a≠0，∴由递推关系可得a≠0恒成立，
1 n∴ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，，
，；
49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}，{b}，其中a＝3，b＝－1，且满足a＝ (3a －b
n n 1 1 n n－1 n
)，b＝－ (a －3b )，n∈N*，n≥2.求证：数列{a－b}为等比数列.
－1 n n－1 n－1 n n
【答案】证明见解析
【分析】
根据问题要证明等比数列，即证明 为常数，故将题中条件进行结合处理，即可得到，并求
出首项即可.
【详解】
证明：a－b＝ (3a －b )－ (a －3b )＝2(a －b )，即 ，
n n n－1 n－1 n－1 n－1 n－1 n－1
又a－b＝3－(－1)＝4，
1 1
所以{a－b}是首项为4，公比为2的等比数列；
n n
50．（2022·浙江·高三专题练习）已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 是等
比数列 的前3项.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）数列 是由数列 的项删去数列 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列 的
前20项的和.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）根据 以及等差数列的通项公式计算即可得到 结果，然后根据 可得 ，最后简单计算可得 .
（2）根据（1）的条件可知求解的是 ，计算即可.
【详解】（1）数列 是等差数列，设公差为 ，且 ， .
则 ，解得 ，
所以 .
又因为 ， ， 是等比数列 的前3项，则 ，
由于 ，代入上式解得 .
于是 ， ， ，因此等比数列 的公比 .
故数列 的通项公式为 .
（2）设数列 的前20项的和为 .
因为 ， ，
则
.
