专题1.5四边形存在性问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 1.5 四边形存在性问题 【例题精讲】 【例1】如图，以 的各边，在边 的同侧分别作三个正方形 ， ， ． （1）求证： ； （2）求证：四边形 是平行四边形． （3）直接回答下面两个问题，不必证明： ①当 满足什么条件时，四边形 是矩形？ ②当 满足什么条件时，四边形 是正方形？ 【解答】（1）证明： 四边形 、四边形 、四边形 都是正方形， ， ， ， ． （同为 的余角）． 在 和 中， ， ， （2） ， ， ． 是正方形 的对角线， ． ，， 四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等）． （3）①当四边形 是矩形时， ． 则 ， 即当 时，平行四边形 是矩形； ②当四边形 是正方形时， ，且 ． 由①知，当 时， ． 四边形 是正方形， ． 又 四边形 是正方形， ， ． 当 且 时，四边形 是正方形． 【题组训练】 菱形存在性 1．在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于 点 ． （1）求证： ； （2）当 满足什么条件时，四边形 是菱形，并证明． 【解答】（1）证明： 是 的中点， ，， ， 在 和 中， ， ； （2）解： 时，四边形 是菱形． 理由如下： ， ， ， 是 的中点， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是菱形． 2．如图，在 中， 是 边上的中点，连接 ，并延长 交 的延长线于点 ． （1）求证： ； （2）连接 、 ，当 平分 时，求证：四边形 是菱形． 【解答】（1）证明： 四边形 为平行四边形， ． 点 在 的延长线上， ．． 是 中点， ． 在 和 中， ， ； （2）证明： ， ． ， ， 四边形 是平行四边形． 平分 ， ． ， ， ． ． 四边形 是菱形． 3．已知：如图，在 中， ， 平分 ， ，垂足为 ， ．连接 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）点 在 上，连接 ， ．现有三个论断：① ；② ；③ ．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形 是菱形． 【解答】（1）证明： ， 的平分线交 于 ， ，， 在 和 中， ， ； （2）选择① ． 证明如下： ， ， 平分 ， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 为菱形． 4．如图，已知 ， ，且 ． （1）请你判断 是 的中线还是角平分线？请证明你的结论； （2）连接 ， ，是否可以在 中添加一个条件，使四边形 是菱形？如果 可以，试写出这个条件；若不可以，请说明理由． 【解答】解：（1） 是 的中线．（1分） 理由如下： ， ，（1分） 又 ， ， ．（2分） ，即 为 的中线； （2）不可以．若四边形 是菱形，则 ，与垂线段最短矛盾，故不可能是菱形． 矩形存在性 5．如图， 中，点 是边 的中点，过 作直线 ， 的平分线交直 线 于点 ，点 是 的边 延长线上的点， 的平分线交直线 于点 ． 求证：四边形 是矩形． 【解答】证明： ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 点 是边 的中点， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 平行四边形 是矩形．6．已知：如图， 中， 平分 交 于点 ， 为 中点，过点 作 ，交 延长线于点 ． （1）求证： ； （2）当 满足什么条件时，四边形 是矩形？请证明你的结论． 【解答】（1）证明： ， ， 为 的中点， ， 在 和 中， ， ， ； （2）解：当 满足 时，四边形 是矩形，理由如下： 由（1）可知， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平分 ， ， ， 平行四边形 是矩形． 7．已知在四边形 中，作 交 于 点且 ，交 于点 ，连接 ， ， ．求证：四边形 为矩形．【解答】证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形 为矩形． 8．如图， ，且 ， 是 的中点，线段 和 相交于 点 （1）求证： ； （2）连接 、 ，若要使四边形 是矩形，则需要给 添加什么条件，请说 明理由． 【解答】（1）证明： ， 是 的中点，， ， 四边形 是平行四边形， ； （2）解：要使四边形 是矩形，添加条件 是等腰三角形， ，理由如下： ， 是 的中点， ， ， 四边形 是平行四边形 ， 是 的中点， ， ， 四边形 是矩形． 9．如图，在 中，点 是边 上一个动点，过点 作直线 分别交 、 外角 的平分线于点 、 ． （1）若 ， ，求 的长； （2）连接 、 ．问：当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？ 并说明理由． 【解答】解：（1） 平分 ， ， 平分 ， ， ， 在 中， ，， ， ， 同理 ， ； （2）当点 在边 上运动到 中点时，四边形 是矩形．理由如下： 连接 、 ，如图所示： 当 为 的中点时， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是矩形． 10．如图，在 中， 是边 上的一个动点，过点 作直线 ，交 的平分 线于点 ，交 的外角 的平分线于点 ．给出下列信息：① ；② ；③ ． （1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明： ； （2）在（1）的条件下，连接 、 ，当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？请说明理由． 【解答】解：（1）选择 ，理由如下： ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ，， ， ， ， ； （2）当点 在边 上运动到 中点时，四边形 是矩形，理由如下： 当 为 的中点时， ， 由（1）可知， ， 四边形 是平行四边形， 平分 ， 平分 ， ， ， ， 即 ， 平行四边形 是矩形． 11．如图， 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ．设 交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长； （3）当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由． 【解答】（1）证明： 交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ，， ， ， ； （3）答：当点 在边 上运动到 中点时，四边形 是矩形． 证明：当 为 的中点时， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是矩形． 12．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发向点 运动，运动 到点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度都 是 ．连接 、 、 ．设点 、 运动的时间为 ． （1）当 为何值时，四边形 是矩形； （2）当 为何值时，四边形 是菱形； （3）分别求出（2）中菱形 的周长和面积． 【解答】解：（1） 在矩形 中， ， ，， ， 由已知可得， ， ， 在矩形 中， ， ， 当 时，四边形 为矩形， ，得 ， 故当 时，四边形 为矩形； （2） ， ， 四边形 为平行四边形， 当 时，四边形 为菱形 即 时，四边形 为菱形，解得 ， 故当 时，四边形 为菱形； （3）当 时， ， 则周长为 ； 面积为 ． 正方形存在性 13．如图， 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ，设 交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ． （1）探究：线段 与 的数量关系并加以证明； （2）当点 在边 上运动时，四边形 会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说 明理由； （3）当点 运动到何处，且 满足什么条件时，四边形 是正方形？【解答】解：（1） ． 证明如下： 是 的平分线， ． ， ． ． ． 同理可证 ． ． （2）四边形 不可能是菱形，若四边形 为菱形，则 ， 而由（1）可知 ，在平面内过同一点 不可能有两条直线同垂直于一条直线． （3）当点 运动到 中点时，且 是直角三角形 时，四边形 是 正方形． 理由如下： 为 中点， ， 由（1）知 ， 四边形 为平行四边形； ， ， ， ，即 ， 为矩形， 又 ， ， ， ．是正方形． 当点 为 中点且 是以 为直角三角形时，四边形 是正方形． 14．如图， 中， 交 于 ， 、 的平分线分别交 于 、 ． （1）求证： ； （2）当 与 的交点 在什么位置时，四边形 是矩形，说明理由； （3）在（2）条件中，当 满足什么条件时，四边形 是正方形．（不需要证 明） 【解答】证明：（1） 平分 ， ． ， ． ， ． 同理： ． ． （2）当 是 中点时四边形 是矩形， ， ， 四边形 是平行四边形． ， ，四边形 是矩形．（3）当 时，四边形 是正方形． 15．如图，在 中，点 是 边上的一个动点，过点 作直线 ，设 交 的角平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ． （1）求证： ； （2）当点 运动到何处时，四边形 是矩形？并证明你的结论． （3）当点 运动到何处，且 满足什么条件时，四边形 是正方形？并说明理由． 【解答】解：（1） ， ， 又 平分 ， ， ， ， 同理： ， ．（2）当点 运动到 的中点时，四边形 是矩形． 当点 运动到 的中点时， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， 由（1）可知， ， ， ，即 ， 四边形 是矩形． （3）当点 运动到 的中点时，且 满足 的直角三角形时，四边形 是正方形． 由（2）知，当点 运动到 的中点时，四边形 是矩形， ， ， ， ， 四边形 是正方形． 16．如图，在 中， ， ，垂足为点 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为点 ，连接 交 于点 ． （1） ． （2）求证：四边形 是一个矩形． （3）当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？请给出证明．【解答】（1）解：如图1， ， ，垂足为 ， ． 是 外角的平分线， ， 与 是邻补角， ， ， 故答案为： （2） ， ， ， ， 四边形 为矩形． （3）如图2，当 是等腰直角三角形时，四边形 是一个正方形． ，且 ， ， ，， ， ． 四边形 为矩形， 四边形 为正方形． 17．如图， 是等腰 底边 上的高，点 是 中点，延长 到 ，使 ，连接 ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）①若 ， ，则四边形 的面积 12 0 ． ②若 ，则 时，四边形 是正方形． 【解答】（1）证明： 点 是 中点， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 是等腰 底边 上的高， ， 四边形 是矩形； （2）① 是等腰 底边 上的高， ， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， 四边形 的面积是 ．②当 ， 时，四边形 是正方形，理由如下： ， ， ， ， 四边形 是正方形； 故答案为：120； ．