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第14讲 等差数列、等比数列基本量
【知识点总结】
一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在 中,当自变量 时,所对应的函数值
就构成一数列,通常记为 ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常
数叫做公差,常用字母 表示,即 .
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列 的首项是 ,公差是 ,则其通项公式为 ,是关于 的一次
型函数.或 ,公差 (直线的斜率)( ).
(3)等差中项.
若 成等差数列,那么 叫做 与 的等差中项,即 或 .在一个等差数列中,从第2
项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是
与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前 项和 (类似于 ),是关于
的 二次型函数 ( 二次项系数为 且常数项为 0 ). 的图像在过原点的直线 上或在过原点的抛物线
上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,
这个常数叫做公比,常用字母 表示,即 .
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项 ,是不含常数项的指数型函数.(3) .
(4)等比中项如果 成等比数列,那么 叫做 与 的等比中项,即 或 (两个同号实数的等比中
项有两个).
(5)等比数列的前 项和
二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当 时,则有 ,特别地,当 时,则有 .
(2)等差数列线性组合.
①设 是等差数列,则 也是等差数列.
②设 是等差数列,则 也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前 项和 的最值.
公差 为递增等差数列, 有最小值;
公差 为递减等差数列, 有最大值;
公差 为常数列.
特别地
若 ,则 有最大值(所有正项或非负项之和);
若 ,则 有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列 ,公差为 ,前 项和为 ,则 为等差数列,公差为 .
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若 时,则 ,特别地,当 时, .
(2)①设 为等比数列,则 ( 为非零常数), , 仍为等比数列.
②设 与 为等比数列,则 也为等比数列.
(3)等比数列 的单调性(等比数列的单调性由首项 与公比 决定).当 或 时, 为递增数列;
当 或 时, 为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列 ,公比为 ,前 项和为 ,则 为等比数列,公比为 (当
时, 不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若 为正项等比数列,则 为等差数列.
(2)若 为等差数列,则 为等比数列.
(3)若 既是等差数列又是等比数列 是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{a}的首项为1，公差不为0.若a，a，a 成等比数列，则
n 2 3 6
{a}前6项的和为（ ）
n
A．－24 B．－3
C．3 D．8
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A．38 B．50 C．36 D．45
例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛a｝的前n项和为S，已知S = a +10a ，a = 9，则
n n 3 2 1 5
a=（ ）
1
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{a}的前n项和记为S，若S ∶S=1∶2，则S ∶S=
n n 10 5 15 5
（ ）
A． B． C． D．
例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层
中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
例6．（2019·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知 是等差数列 前 项和， ， ，当
取得最小值时 （ ）．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ，
的前 项和为 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ，且对任意的正整数n，
是 和 的等差中项，证明： 是等差数列，并求 的通项公式．
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且点 在函数 的图
象上，求证： 是等比数列，并求 的通项公式：
例10．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列 是公比为 的等比数列，②是公差为1的等差数列，③ ，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，
使问题完整，并加以解答.
设数列 的前 项和为 ， ，对任意的 ，都有___________.已知数列 满足 ，
是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公差
为（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
4．（2021·湖北·高三阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．22 B．45 C．50 D．55
5．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））已知数列 的前 项和 ，且 满足 ，
，若 ，则 （ ）A．9 B． C．10 D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，若对任意的n∈N*，
n n n n
都有 ＝ ，则 ＋ 的值为（ ）
A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{a}中，a＋3a＋a ＝120，则2a－a 的值是（ ）
n 1 8 15 9 10
A．20 B．22 C．24 D．8
8．（2022·全国·高三专题练习）设 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 ，所有
偶数项之和为 ，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列 的前n项和为 ，若 ，则数列 的
通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，
则( )
A． B．
C． D．
12．（2021·安徽定远·高三阶段练习（理））等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．28 B．34 C．40 D．4414．（2021·广东广州·高三阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞
二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思
是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33
贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯
16．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A． B．5 C．10 D．15
17．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若
， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 的前n项和为 ， ， ，则
的公比为( )
A．1 B． C．2 D．4
19．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{a}中，每项均为正数，且aa＝81，则log a＋
n 3 8 3 1
log a＋…＋log a 等于（ ）
3 2 3 10
A．5 B．10 C．20 D．40
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}是等比数列，且a>0，aa＋2aa＋aa＝25，那么a
n n 2 4 3 5 4 6 3
＋a＝（ ）
5
A．5 B．10 C．15 D．20
21．（2021·陕西安康·高三期中（理））等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （
）
A．1 B．5 C．1或31 D．5或11
22．（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知 为等比数列， 是它的前n项和．若，且 与 的等差中项为 ，则 （ ）
A．29 B．31 C．33 D．35
23．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三阶段练习（文））记等比数列 的前 项和为 ，若
， ，则公比 （ ）
A． B． C． D． 或224．（2021·山西运城·高三期中（文））数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足 、 、 成
等差数列.其前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等比数列，且 ， 与 的等差中项为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a，a，9四个实数成等差数列，1，b，b，b，9五个数成
1 2 1 2 3
等比数列，则b（a﹣a）等于（ ）
2 2 1
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
二、多选题
29．（2022·江苏·高三专题练习）等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，
下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为三、填空题
30．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 _______.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等差数列 的前 项和，且 ， ，
则当 取最大值时， 的值为___________.
32．（2022·上海宝山·一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则___________.
33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，则
______．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和 有最小值，且 ，则使得
成立的 的最小值是________．
35．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 中， ， ，求 ____
36．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ，则公
比 等于________.
37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列{a}中，各项均为正值，且aa ＋aa＝41，aa＝5，则
n 6 10 3 5 4 8
a＋a＝________．
4 8
38．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）若数列 为等比数列，且 ， ，则
___________.
39．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， 为其前 项之和， ，则
______
40．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列 的前n项和 ，则
________．
四、解答题
41．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， .
（1）证明数列 为等差数列；（2）若数列 前n项和 ，求n的最小值.
43．（2021·江西南昌·模拟预测（文））已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求数列 的前 项和 .
44．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且
（1）求 通项公式；
（2）求数列 的前 项和
45．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的最大值及取得最大值时 的值.
46．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足： .证明数列是等比数列，并求数列 的通项；47．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列 满足： ， ．
（1）记 ，求证：数列 为等比数列；
（2）记 为数列 的前 项和，求 ．
48．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}满足 ， ， ， 成等差数列，证明:数
n
列 是等比数列，并求{a}的通项公式.
n
49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}，{b}，其中a＝3，b＝－1，且满足a＝ (3a －b
n n 1 1 n n－1 n
)，b＝－ (a －3b )，n∈N*，n≥2.求证：数列{a－b}为等比数列.
－1 n n－1 n－1 n n
50．（2022·浙江·高三专题练习）已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 是等比数列 的前3项.
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）数列 是由数列 的项删去数列 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列 的
前20项的和.
